第3章-地基土的應力

第三章地基土的應力1第一節(jié)概述土體在建筑物或構筑物等外荷載作用下將產生應力和變形，如果土體的變形過大，則會影響工程的正常使用，甚至會使土體發(fā)生整體破壞而喪失穩(wěn)定性。因此，在工程實踐中，必須弄清楚土體中各點應力的大小及分布規(guī)律，計算出地基土的沉降變形量，使地基土的實際沉降變形量控制在上部結構安全和正常使用的允許范圍之內。

2土體中的應力可以分為兩部分，一部分為自重應力，另一部分為附加應力。*自重應力——指建筑物或構筑物在建造之前，由土體自重引起的應力。一般來說，對于天然沉積的土層，經過漫長的地質年代，土體已沉降穩(wěn)定，所以自重應力不會引起土體的變形，但對尚未沉降穩(wěn)定的新近沉積粘性土、人工填土等欠固結土，自重應力會引起土體的沉降變形。*附加應力——指由于建筑物或構筑物等外荷載的作用，在土體中引起的應力。

附加應力是超出自重應力的那部分應力，附加應力使地基土體產生沉降變形。3土體是由固體顆粒、孔隙水、孔隙氣三部分組成的三相體，所以，土體具有其他材料所沒有的特殊性。對無粘性土，土體為彈塑性體；而對粘性土，土體一般為粘彈塑性體，由于其性狀不同，所以其應力、應變關系也比較復雜，土體的應力、應變關系一般為非線性的，如圖3－1示。本章在研究土體的應力、應變關系時，通常把土體假設為均勻的、連續(xù)的、各向同性的線彈性體，用J．Bossinessq解來求地基中的應力，這與工程實際有出入，但當荷載較小時，根據(jù)彈性理論計算的應力值與現(xiàn)場用壓力盒觀測到的應力值比較接近，由此產生的誤差滿足工程設計所允許的范圍。

45自重應力是指建筑物或構筑物在建造之前由土體本身的自重引起的應力，自重應力是土粒間傳遞的應力，也稱有效自重應力，簡稱自重應力。在計算土體的自重應力時，假定地基土體為半無限體（半空間），即土體在水平及豎直方向均無限延伸，由彈性力學的知識知道，土體中任一水平面及豎直面上只有正應力而無剪應力。

第二節(jié)土的自重應力6對于天然重度為γ的均質地基土體，在天然地面以下z深度處，任取一土柱體，假設土柱體的橫截面積為A，則土柱體的重量為由于土體的水平面及豎直面上無剪應力存在，所以，由于土柱體的自重在Z深度處的水平面上引起的自重應力為

78對均質土，γ為常數(shù)，所以自重應力的分布為一直線，其分布圖形為一直角三角形。在天然地面以下z深度處，由土體的自重而產生的水平向正應力，稱為土的側壓力，土的側壓力按下式計算式中k0x——x向土體的側壓力系數(shù)；

k0y——y向土體的側壓力系數(shù)。且σcx=σcy

9對多層土組成的地基，在天然地面以下任意深度處的自重應力可以按下式計算式中γi——第i層土的天然重度，地下水位以下取浮重度；

hi——第i層土的厚度。10多層土組成的地基土體，其自重應力的分布為一折直線，若在計算深度范圍內，如果有不透水層（致密巖石層或很厚的堅硬粘土層）存在，則土的自重應力還應加上由水產生的壓力，即

式中γw——水的重度；

hi——地下水位面至不透水層面的距離。11建筑物或構筑物及其基礎的自重等外荷載通過基礎的底面?zhèn)鹘o地基，基礎底面對地基土體的壓力稱為基底壓力p；相反，地基土體對基礎底面的支撐力稱為基底反力q，二者是一對作用力與反作用力。

第三節(jié)基底壓力（接觸應力）的計算12 實際上，地基與基礎及上部結構是共同工作的，基底壓力不僅受到地基土剛度的影響，而且也直接與基礎本身的剛度有關。理論上，基礎按其剛度大小可分為柔性基礎、剛性基礎和半剛性基礎。

柔性基礎——指在外荷載作用下基礎的變形與地基土表面的變形相一致，即基礎隨地基一起變形。當中心受荷時，基底壓力均勻分布，如路堤、土壩及油罐薄板等。剛性基礎——指基礎本身的剛度遠遠超過地基土的剛度，在外荷載作用下基礎本身不發(fā)生變形，在中心荷載作用下，基礎底面的沉降均勻。磚、石、混凝土和鋼筋混凝土等大塊式整體基礎均可看作剛性基礎。半剛性基礎——指剛度介于柔性和剛性之間的一種基礎，在外荷載作用下，基礎本身也發(fā)生彎曲變形，鋼筋混凝土薄板基礎可看作是半剛性基礎。1314大量的實測資料表明，對剛性基礎，當基礎所受的外荷載較小時，基底壓力為兩端大、中間小的馬鞍型分布，隨著外荷載的增大，基底兩端點及中部的壓力不斷增大，形成拋物線分布；當荷載進一步增大時，基底中部的壓力也進一步增大，基底壓力的分布變?yōu)殓娦头植肌Q定基底壓力的大小及分布的因素不僅與荷載的大小有關，還與地基土的種類、基礎的埋深及基礎底面尺寸有關，如果把這些因素都考慮進去，則基底壓力的大小及分布的確定將不是一件容易的事。在地基基礎設計中，一般采用基底壓力的簡化計算方法，即假設剛性基礎本身不變形，基礎底面保持一平面，則基底壓力的分布為一直線，大量的工程實踐表明，這樣簡化的結果是可行的。15

一．中心受荷作用 如圖，有一基礎，受中心荷載作用，設基礎的底面積為A、埋深為d、室內設計地面到基礎底面的距離為h，由簡化計算方法知：基底壓力的分布為一水平直線，則基底壓力的大小可用下式表示

P=(F+G)/A式中P——基底壓力；

F——上部結構荷載傳至基礎頂面的設計值；

G——基礎及上部覆土的自重，G=γGAd

γG——基礎材料及其上部覆土的平均重度，一般取

γG=20kN／m3；

d——基礎的埋深。d=（D十h）／2；16二、偏心受荷作用如圖，有一基礎，受偏心荷載作用，此時，基礎一般設計成矩形基礎底面，設基礎底面的長度為l，寬度為b，基礎自重為G，由材料力學的偏心受壓原理知，基底壓力的大小可用下式表示式中P(X、Y)——（X、Y）點的基底壓力；

∑Mx、∑My——分別為偏心荷載對x軸、y軸的合力矩；

Ix、Iy——分別為基底面積對x軸、y軸的慣性矩。17

一般常見的偏心荷載主要作用于矩形基礎底面的長邊方向上，則基底壓力可按下式計算：

作用于基礎底面兩端點基底壓力的最大（最小）值為式中W——矩形截面抵抗矩，W=bl2／6；

e——荷載合力的偏心矩，∑M=（∑F＋G）×e。將W、∑M代入上式

1819下面分析基底壓力分布的三種形式： 當1-6e／l＞0，即e＜l／6時，Pmin＞0，則基底壓力的分布圖形為梯形； 當1-6e／l＝0，即e＝l／6時，Pmin＝0，則基底壓力的分布圖形為三角形； 當1-6e／l＜0，即e＞l／6時，Pmin<0，則基底壓力的分布圖形也為三角形。 從理論上講，Pmin＜0說明基礎底面一側出現(xiàn)了拉應力，而基礎底面與地基土體之間不可能存在拉應力，實際上此時基礎底面受拉一側已與地基脫開，則拉應力消失，因此基底壓力要重新分布，基底壓力重新分布后的圖形仍為三角形分布，重新分布后的最大基底壓力計算如下：20三、基底附加壓力一般建筑物及構筑物的基礎要有一定的埋深，其原因是一方面為保護基礎，另一方面為保證上部結構的穩(wěn)定性。在未開挖基坑土石方前，基礎底面已存在自重應力，因此，在計算地基土體的沉降時，不應該直接用基底壓力來計算，而應該用扣除基礎底面自重應力后的壓力，即基底附加壓力來計算地基土體的沉降，基底附加壓力P0

按下式計算：

式中P0——基礎底面的附加壓力；

P——基底壓力；

γ0——基礎底面以上各土層的加權平均重度，地下水位以下用浮重度。2122

地基中的附加應力計算是指地基土體內任一深度處任一點的附加應力，為了求得地基中附加應力的大小及分布，假設地基土是均勻、連續(xù)、各向同性的彈性半空間，即地基土中各點的變形模量E及泊松比μ相同。采用彈性理論來計算地基土中的附加應力。下面先介紹集中荷載作用下地基中附加應力的求法，然后介紹線荷載及面荷載下地基中的附加應力。第四節(jié)地基中的附加應力計算23一、集中荷載作用下地基中的附加應力

此課題首先由法國學者布辛捏斯克（J．Bossinessq）于1885年提出。設有一豎向集中力F作用在均勻、連續(xù)、各向同性的彈性半空間表面上。則由于集中力F在地基中任意點M（x、y、Z）產生的應力和變形分別為242526在工程實踐中，用途最廣泛的是J．Bossinessq的豎向附加應力公式σz，從而利用來σz求地基土的豎向變形，下面討論點的大小及分布規(guī)律：式中K——集中荷載作用下的豎向附加應力系數(shù)。K值取決于r／z，為計算方便起見，見表2-1。27

由公式σz=KF／z2可知，當深度z一定，在r=0處的附加應力σz最大，隨著z的逐漸增大，附加應力σz逐漸減小，見圖；當距離r一定，隨著深度z的增加，附加應力σz逐漸減小，見下圖，土中應力分布的等值線見圖，這就是土中應力的擴散現(xiàn)象。 但當r=0，z=0時，即集中荷載F的作用點處，附加應力σz為無窮大，這說明用彈性理論推導出的應力公式不適合于集中力附近點的附加應力計算，實際上，該點土體已出現(xiàn)了塑性，因此，用彈性理論將得出不合理的結論。

2829 當有幾個集中力同時作用于地基土表面時，可采用應力疊加原理，把每個荷載在M點產生的附加應力疊加起來，則

式中K1、K2、…、Ki——分別為各集中荷載作用下的豎向附加應力系數(shù)；

n——集中荷載的個數(shù)。30二、矩形荷載作用下地基中的附加應力建筑物或構筑物的荷載都是通過一定尺寸的基礎傳給地基土體的，實際工程中，絕大多數(shù)是面積荷載，而集中荷載是少見的。又基礎的底面形狀大多是矩形的。前面已講過，矩形基礎基底壓力的分布為均勻分布，矩形基礎受單向偏心荷載時基底壓力的分布圖形為梯形，為了便于理解，把梯形荷載分解成兩部分，一部分為均市的矩形荷載，另一部分為三角形分布的矩形荷載。我們分別計算出均布的矩形荷載和三角形分布的矩形荷載在地基中產生的附加應力，然后疊加起來，即為梯形分布的矩形荷載在該點產生的附加應力。31

1．均布的矩形荷載角點下的附加應力 如圖，有一矩形基礎底面，長為l，寬度為b，基底附加壓力為P，在矩形基礎底面上，任取一微面積dA=dxdy，其上作用的均布荷載可用集中荷載dF代替，dF=P0dxdy，由微集中荷載dF在M（0、0、Z）點產生的微附加應力為：

3233整個矩形面積荷載在M（0、0、Z）點產生的附加應力可用積分法求得式中Kc——均布的矩形荷載作用角點下的豎向附加應力系數(shù)，按m及n值查表2－2；

l——基礎底面尺寸的長邊；

b——基礎底面尺寸的短邊；

P?！赘郊訅毫Α?4

2．均布的矩形荷載任意點下的附加應力知道了矩形基礎角點下的附加應力以后，就可以用角點法求矩形基礎底面以內及以外任意點下任意深度處的附加應力，具體計算方法如下：若求某點下任意深度處的附加應力，首先利用作輔助線的方法，劃分為若干個小矩形面積，把該點變?yōu)楦餍【匦蚊娣e的角點，利用角點法分別求出各小矩形角點下的附加應力，然后疊加起來。用角點法求任意點下的附加應力，可分成如下四種情況：3536

（1）基礎底面邊線上任意點下的附加應力。如圖（a），作一輔助線將基礎底面劃分為I、II兩個矩形，I矩形的尺寸為l1×b，II矩形的尺寸為l2×b，則M點既是I矩形的角點又是II矩形的角點，I、II兩個矩形在M點產生的附加應力分別為

式中Kc1

、Kc2——分別為I、II兩矩形角點下的附加應力系數(shù)，分別由l1/b、z/b和l2/b、z/b查表2-2求得。值得注意的是：l1＞b，即l1為長邊，b為短邊；若l1＜b，則應由b/l1；、z/l1

查表2-2求得，即l始終是長邊，b始終是短邊。以下如遇此種情況，按此種方法處理。則整個矩形荷載在M點下產生的附加應力應為I、II兩個矩形在M點產生的附加應力之和，即

37（2）基礎底面內任意點下的附加應力。如圖（b），作兩條輔助線，將基礎底面劃分為I、II、III、IV四個矩形，這四個矩形的尺寸分別為：l1×b1、l2×b2、l3×b3；、l4×b4；則M點分別是這四個矩形的角點，它們在M點產生的附加應力可由角點法分別求出

式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分別為I、II、III、IV四個矩形角點下的附加應力系數(shù)，分別由各自的長短邊之比、深寬比從查表2－2求得。由疊加法知：整個矩形荷載在M點下產生的附加應力應為I、II、III、IV四個矩形在M點產生的附加應力之和，即

38(3)基礎底面邊線外任意點下的附加應力。如圖（C），作四條輔助線，則出現(xiàn)四個矩形：AMCDA、AMKBA、EMCFE、EMKHE，M點分別為這四個矩形的角點，先算出矩形AMCDA在M點下產生的附加應力σz1=Kc1P0，再算出矩形EMCFE在M點下產生的附加應力σz2=Kc2P0，則兩者之差σz1-σz2；即為矩形AEFDA在M點下產生的附加應力。同理：算出矩形AMKBA在M點下產生的附加應力σz3=Kc3P0，再算出矩形EMKHE在M點下產生的附加應力σz4=Kc4P0，兩者之差σz3-σz4。即為矩形AEHBA在M點下產生的附加應力，整個矩形BHFDB在M點下產生的附加應力為

式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分別為AMCDA、EMCFE、AMKBA、EMKHE四個矩形角點下的豎向附加應力系數(shù)。39（4）基礎底面角點外任意點下的附加應力。如圖（d），作圖示的輔助線，規(guī)定：矩形AMDFA為I矩形，AMCGA為I矩形，BMDEB為II矩形，BMCHB為IV矩形，則矩形GHEFG在M點下產生的附加應力為式中Kc1、Kc2、Kc3、Kc4——分別為I、II、III、IV四個矩形角點下的豎向附加應力系數(shù)。40

3．三角形分布的矩形荷載任意點下的附加應力如圖，有一三角形分布的矩形荷載，三角形分布荷載邊的邊長為b，另一邊的邊長為l，荷載最大值為P0(1)零值邊角點下的豎向附加應力:零值邊角點下任意點M（0，0，z）處的附加應力的求法是：先求微面積dA在M點下產生的附加應力，然后再積分，即為整個矩形面積在M點產生的附加應力。4142在矩形基礎底面上取一微面積dA=dxdy，其上的荷載可用集中荷載dF代替，則

dF在M點產生的附加應力dσz為

對整個矩形面積積分，則整個矩形面積在M點產生的附加應力為

通過積分得

式中Kc1——零值邊角點下的豎向附加應力系數(shù)，據(jù)m=l／b，n=z／b查表2－3求得。

43（2）最大值邊角點下的豎向附加應力:同理：最大值邊角點下的豎向附加應力為

式中Kc2——最大值邊角點下的豎向附加應力系數(shù)，據(jù)m=l／b，，n=z／b查表2－3求得。（3）任意點下的附加應力:三角形分布的矩形荷載在任意點下引起的附加應力的求法與均布的矩形荷載下附加應力的求法類似，也是利用角點法，先作輔助線，將其劃分為若干矩形，求出各矩形在此點產生的附加應力，然后利用疊加法，求出三角形分布的荷載在此點下產生的附加應力。下面舉例說明：

44如圖,求M點下的附加應力，先劃分為l、II兩個矩形。對I矩形：屬于三角形分布的矩形荷載，M點位于最大值邊，則I矩形在M點產生的附加應力為

式中P01=l1P0/l。對II矩形，屬于梯形分布的矩形荷載，將其分解為荷載為P01的矩形荷載和最大值為P0-P01的三角形分布荷載，對均布的矩形荷載，在M點產生的附加應力為：σz2=Kc2P01，對三角形分布的矩形荷載，在M點產生的附加應力為σz3=Kl1(P0-P01)。整個矩形面積在M點產生的附加應力為這三部分之和，即：45三、均布圓形荷載下地基的附加應力對煙囪、油罐、水塔、糧庫等圓柱形的構筑物，一般采用圓形基礎，圓形荷載作用下地基中附加應力的求法同矩形荷載的求法，也是利用Boussinessq解的公式對圓形面積進行積分。如圖在圓形面積上任取一微面積dA，dA=P0rdθdr；微面積上的荷載可用集中力dF代替，dF=P0dA；微面積荷載dF在圓形面積中心點下任一點產生的附加應力為

4647對整個圓面積進行積分式中P0——圓形面積上的均布荷載；

Kr——圓形面積中心點的附加應力系數(shù)，查表2－4求得；

R0——圓形荷載面積的半徑。

48四、均布條形荷載下的附加應力土壩、路基及擋土墻下的基礎是長條形的，即為條形基礎，它的長邊要比短邊大很多倍，一般認為：矩形基礎的長邊比短邊大10倍以上，即認為是條形基礎。對條形基礎，我們可以認為長度為無限長，這樣就可以把空間問題轉化為平面問題，這樣假設的結果與長條形面積荷載所產生的應力很接近，一般為工程實踐所容許。49

1．均布線形荷載下的附加