高中專題復(fù)習(xí)及考試要求 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第1節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理；2.會用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法.知

識

梳

理m＋nm×n3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.[常用結(jié)論與微點提醒]

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.1.分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.2.分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(

)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(

)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(

)解析分類加法計數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×2.(老教材選修2－3P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(

) A.24種 B.30種 C.36種 D.48種

解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種).

答案

D3.(老教材選修2－3P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架中任取1本書，則不同取法的種數(shù)為________.

解析從書架上任取1本書，有三類方法：第1類方法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.

答案94.(2019·保定期末)從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

) A.30 B.20 C.10 D.6

解析從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為兩類：第一類，取出的兩個數(shù)都是偶數(shù)，有0和2，0和4，2和4，共3種不同的取法；第二類，取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)，有1和3，1和5，3和5，共3種不同的取法.由分類加法計數(shù)原理得，共有3＋3＝6種不同的取法.

答案D5.(2020·重慶診斷)將3張不同的冬奧會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，不同的分法種數(shù)為(

) A.720 B.240 C.120 D.60

解析將3張不同的門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計數(shù)原理得，共有10×9×8＝720種不同分法.

答案A6.(2020·石家莊模擬改編)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有________種.

解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計數(shù)原理，共有24＝16種不同的走法.

答案16考點一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用解析(1)若焦點在x軸上，則a＞b，a＝2時，有1個；a＝4時，有3個；a＝6時，有5個；a＝8時，有7個，共有1＋3＋5＋7＝16個.若焦點在y軸上，則b＞a，b＝3時，有1個；b＝4時，有1個；b＝5時，有2個；b＝6時，有2個；b＝7時，有3個；b＝8時，有3個.共有1＋1＋2＋2＋3＋3＝12個.故共有16＋12＝28個.故選C.(2)根據(jù)“凸數(shù)”的特點，中間的數(shù)字只能是3，4，5，故分三類，第一類，當(dāng)中間數(shù)字為“3”時，此時有2個(132，231)；第二類，當(dāng)中間數(shù)字為“4”時，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6個；第三類，當(dāng)中間數(shù)字為“5”時，則百位數(shù)字有三個選擇，個位數(shù)字有四個選擇，則“凸數(shù)”有4×3＝12個；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，得到由1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個數(shù)是2＋6＋12＝20.答案(1)C

(2)20規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.【訓(xùn)練1】(1)從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為(

) A.6 B.5 C.3 D.2 (2)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為________.

解析(1)5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法. (2)當(dāng)a＝0時，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的個數(shù)為4；當(dāng)a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，則b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的個數(shù)為4；若a＝1，則b的值可以是－1，0，1，(a，b)的個數(shù)為3；若a＝2，則b的值可以是－1，0，(a，b)的個數(shù)為2.由分類加法計數(shù)原理可知，(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案(1)B

(2)13考點二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用【例2】

(2019·青島二模)若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法運算時各位均不進位(例如：2019＋100＝2119)，則稱(m，n)為“簡單的”有序?qū)Γ鴐＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為2019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是(

) A.100 B.96 C.60 D.30

解析m＋n＝2019且各位均不進位，從高位分步處理：千位有2＋0，1＋1，0＋2，共3種；百位有0＋0，共1種；十位有0＋1，1＋0，共2種；個位有0＋9，1＋8，2＋7，3＋6，4＋5，5＋4，6＋3，7＋2，8＋1，9＋0，共10種，由分步乘法計數(shù)原理可知，值為2019的“簡單的”有序?qū)Φ膫€數(shù)是3×1×2×10＝60.故選C.

答案C規(guī)律方法1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【訓(xùn)練2】

(2019·蚌埠一模)某電商為某次活動設(shè)計了“和諧”“愛國”“敬業(yè)”三種紅包，活動規(guī)定每人可以依次點擊4次，每次都會獲得三種紅包中的一種，若集全三種即可獲獎，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對應(yīng)的獎次也不同.員工甲按規(guī)定依次點擊了4次，直到第4次才獲獎.則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為(

) A.9 B.12 C.18 D.24

解析根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎，則其第4次才集全“和諧”“愛國”

“敬業(yè)”三種紅包，則甲第4次獲得的紅包有3種情況，前三次獲得的紅包為其余的2種，有23－2＝6種情況，則他獲得獎次的不同情形種數(shù)為3×6＝18，故選C.

答案C角度1與數(shù)字有關(guān)的問題【例3－1】(多填題)(2020·濟南模擬)用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為________(用數(shù)字作答).

解析0，1，2，…，9共能組成9×10×10＝900(個)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個)，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個).

答案648

252考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用多維探究角度2與幾何有關(guān)的問題【例3－2】

如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(

) A.60 B.48 C.36 D.24

解析長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.

答案B【例3－3】

(一題多解)如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).解法一按所用顏色種數(shù)分類.法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點染色，有5種方法；第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當(dāng)A與C同色時，D點有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).規(guī)律方法1.在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.(2)對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.例題中，相鄰頂點不同色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.【訓(xùn)練3】(1)(角度1)用