材料有限元分析

材料成型中的有限元方法西華大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院 傅建.基本要求學(xué)習(xí)、理解和掌握有限元法的基本原理、基本方法、解題思路及解題步驟；結(jié)合教學(xué)實驗，較好地掌握一種有限元分析工具。.

學(xué)時安排

總學(xué)時 50

課堂教學(xué)

30

實驗教學(xué) 20

學(xué)習(xí)方法自學(xué)為主，課堂教學(xué)與實驗教學(xué)相結(jié)合。推薦參考教材1、杜平安，甘娥忠，于亞婷，有限元法—原理、建模及應(yīng)用，國防工業(yè)出版社，20042、王成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法（第二版），清華大學(xué)出版社，19973、董湘懷，材料成形計算機模擬，機械工業(yè)出版社，20024、王國強，實用工程數(shù)值模擬技術(shù)及其在ANSYS上的實踐，西北工業(yè)大學(xué)出版社，2000.第一章 有限元法的基本概念1.有限元分析法1.1.問題的提出（以結(jié)構(gòu)設(shè)計為例）結(jié)構(gòu)設(shè)計通常要解決的兩類問題強度 經(jīng)典分析法（如材料力學(xué)）：

剛度 經(jīng)典分析法（如彈性力學(xué)）：例如：深筒拉伸當(dāng)d很小時，凸模（成型桿）的強度和剛度能否滿足要求？材料在非線性大變形過程中的應(yīng)力應(yīng)變怎樣分布，成型缺陷可能產(chǎn)生在何處？.經(jīng)典分析法的弱點：（1）靠經(jīng)驗類比（公式中的各種系數(shù)）與較大的安全系數(shù)來確定結(jié)構(gòu)尺寸和用材；（2）對結(jié)構(gòu)動特性和耦合特性的分析基本無能為力；（3）對設(shè)計結(jié)果難以把握，一般要通過實驗來驗證。.1.2.2.特點把連續(xù)體簡化成由有限個單元組成的等效體（物理上的簡化），針對該等效體建立的基本方程將是一個代數(shù)方程組，而不是原先描述真實連續(xù)體的微分方程組。由于不存在數(shù)學(xué)上的近似，故有限元法的物理概念清晰，通用性較強，能靈活處理各種復(fù)雜的工程問題。1.2.有限元分析法（FiniteElementAnalysis，F(xiàn)EA）1.2.1.基本思路將一個連續(xù)體的求解區(qū)域離散（剖分）成有限個形狀簡單的子區(qū)域（單元），各子區(qū)域相互連接在有限個節(jié)點上，承受等效節(jié)點載荷（應(yīng)力載荷、溫度載荷、流動載荷、磁載荷等）；根據(jù)“平衡”條件分析并建立各節(jié)點的載荷場方程，然后將它們組合起來進行綜合求解，以獲得對復(fù)雜工程問題的近似數(shù)值解。

即：離散化處理 單元分析 整體分析.例如：分析一端固定，一端受靜力的零件上應(yīng)力和應(yīng)變分布情況.顏色表示應(yīng)力分布，形狀改變表示彈性形變情況：.還可以用動畫表示應(yīng)力和形變的傳播：.1.2.3有限元分析法應(yīng)用領(lǐng)域舉例固體力學(xué)：如線性和非線性靜力分析、動力分析或穩(wěn)定性分析、斷裂力學(xué)和復(fù)合材料力學(xué)分析，求解結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、位移、溫度分布和頻率特性等。流體力學(xué)：如不可壓縮和可壓縮的非粘性和粘性流體分析，求解流場的壓力、溫度、密度和流速的分布等。傳熱學(xué)：如分析熱傳導(dǎo)過程，求解熱傳導(dǎo)速度和溫度分布、材料相變等。材料成型：如分析注射（或鑄造）過程中塑料（或金屬）熔體的流動充模、冷卻凝固、溫度變化、分子鏈取向、翹曲變形；板金沖壓過程中的應(yīng)力應(yīng)變分布、制件起皺、破裂、回彈等。.S型零件的沖壓成形.成形過程中的剪切應(yīng)力變化及分布.手機面板的注射充模過程.鑄件凝固過程分析.1.3.有限元分析過程（以結(jié)構(gòu)分析為例）幾何參數(shù)載荷邊界條件材料性能前置處理求解后置處理節(jié)點位移清單應(yīng)力值清單位移圖形顯示等值線圖形顯示單元顏色變化圖動態(tài)圖形顯示建立有限元模型有限元分析分析結(jié)果判定.1.4.有限元分析法存在的問題及發(fā)展方向有限元模型的建立

有限元網(wǎng)格的自動劃分與動態(tài)劃分－－自適應(yīng)網(wǎng)格求解過程的優(yōu)化 減少計算量，降低分析成本。有限元分析結(jié)果的判讀和評定采用等值線圖、明暗色彩、動態(tài)圖形、過程模擬等直觀判讀，借助專家系統(tǒng)自動給出或評定臨界數(shù)據(jù)。

CAD/CAE/CAM模型的統(tǒng)一面向普通用戶，簡化建模過程，減少數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化。.2.預(yù)備知識2.1.變分原理（變分法）變分原理含義：求解連續(xù)介質(zhì)問題的一種數(shù)學(xué)方法。求解連續(xù)介質(zhì)問題通常利用該介質(zhì)的微分方程（組）在給定邊界條件下積分獲得。例如一維熱傳導(dǎo)問題（假設(shè)穩(wěn)定傳熱，熱傳導(dǎo)系數(shù)取1）：上式的溫度場

可借助富立葉積分求得近似解。.如果用變分原理求解這類問題，則應(yīng)首先建立求解問題的積分形式：式中 u－未知函數(shù) F和E－特定的算子 －求解域 －的邊界 －未知函數(shù)u的泛函（隨函數(shù)u的變化而變化）此時，如果連續(xù)介質(zhì)問題有解u，則解u必定使泛函對于微小變化u取駐值，即泛函的“變分”等于零 ＝0這就是所謂求解連續(xù)介質(zhì)問題的變分原理。返回53.注意：用微分方程加邊界條件求解連續(xù)介質(zhì)問題同用約束或非約束變分法求解連續(xù)介質(zhì)問題是等價的。一方面滿足微分方程及邊界條件的函數(shù)將使泛函取得極值或駐值；另一方面，從變分的角度看，使泛函取得極值或駐值的函數(shù)正是滿足連續(xù)介質(zhì)問題的微分方程及邊界條件的解。應(yīng)用變分原理的目的：將求微分方程的定解問題轉(zhuǎn)變成求泛函（積分）的駐值問題。.2.2.彈性力學(xué)基本方程平衡方程 當(dāng)彈性體內(nèi)任一質(zhì)點沿x,y,z方向的應(yīng)力達到平衡時，有.幾何方程 在小位移和小變形的情況下，略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，則應(yīng)變向量和位移向量間的幾何關(guān)系有（幾何方程應(yīng)用）.本構(gòu)方程表征應(yīng)力和應(yīng)變之間關(guān)系的物理方程。本構(gòu)方程的表達式一：（本構(gòu)方程應(yīng)用34，49）.本構(gòu)方程的表達式二：域的邊界（即彈性體的邊界）127(2)38(4)49(6)510(8)(1)(3)(5)(7)6FFFYXZ例如.面力邊界條件位移邊界條件（或曰幾何邊界條件）.小結(jié)：彈性力學(xué)基本方程（基本方程應(yīng)用）.2.3.虛功方程2.3.1.虛位移方程（位移變分方程）等價于幾何微分方程和應(yīng)力邊界條件（虛位移方程應(yīng)用）.2.3.2.虛應(yīng)力方程（應(yīng)力變分方程）等價于平衡微分方程和位移邊界條件.在有限元法中，常以虛功相等為條件找出一組作用在若干結(jié)點上的等效集中載荷Q去代替體力p和面力的作用。例如，采用虛位移方程，有（等效載荷應(yīng)用）.2.3.3.最小勢能原理最小勢能原理的泛函表示：上式表明，在域內(nèi)滿足幾何方程，在邊界上滿足給定位移條件的可能位移中，其真實位移使系統(tǒng)的總勢能取駐值（最小值）。泛函總勢能取駐值的條件是它的一次變分為零，即

＝0返回42，52.3.預(yù)備知識應(yīng)用舉例3.1.平面問題的剛度分析3.1.1.離散處理設(shè)構(gòu)件的厚度非常小，可近似認(rèn)為該構(gòu)件為平面（如圖）.3.1.2.單元位移模式與插值函數(shù)構(gòu)件上的每個單元均有3個結(jié)點i,j,m，每個結(jié)點又有2個位移分量，所以，每個單元有6個結(jié)點位移，即6個結(jié)點自由度（未考慮轉(zhuǎn)動）。單元位移向量：(e)mji.平面問題的求解（兩種情況）：位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)只有幾個結(jié)點的位移分量已知，不能直接求應(yīng)力和應(yīng)變分量。為了用結(jié)點位移表示應(yīng)力和應(yīng)變，必須假設(shè)一個位移模式。選用一次多項式代表3結(jié)點三角形單元的位移模式幾何方程求應(yīng)變分量本構(gòu)方程求應(yīng)力分量.在i,j,m三點，有運用克來姆法則求解上式并化簡轉(zhuǎn)p54..3結(jié)點三角形單元位移模式的矩陣形式（位移模式矩陣的應(yīng)用）.插值函數(shù)（形函數(shù)）性質(zhì)：a.b.單元中任一結(jié)點各插值函數(shù)之和等于1，即.3.1.3.應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣（1）單元應(yīng)變矩陣由式(1-3)和式(1-17)可得(1-20)中的B即為單元應(yīng)變矩陣，其分塊子矩陣為轉(zhuǎn)到42.（2）單元應(yīng)力矩陣將單元應(yīng)變公式(1-20)代入本構(gòu)方程(1-4)，可得S即為單元應(yīng)力矩陣，其分塊矩陣為.注：應(yīng)力矩陣s和應(yīng)變矩陣B都是常量矩陣，由此計算出的單元中各點的應(yīng)力值是相同的。.3.1.4.單元剛度矩陣假設(shè)：在外力作用下，單元e的結(jié)點i，j，m發(fā)生了虛位移，虛位移引起虛應(yīng)變。因為該單元所受載荷都已移置到結(jié)點上了，所以，該單元所受外力只是等效結(jié)點力，此時的虛功方程（虛位移方程）為轉(zhuǎn)到41

42.將應(yīng)變矩陣B和彈性矩陣D代入(1-27)，即得平面問題3結(jié)點三角形單元剛度矩陣。寫成分塊形式.單元剛度矩陣性質(zhì)：對稱性，即；奇異性，即單元剛度矩陣不存在其逆矩陣；各行(列)元素之和為0（因在力的作用下，單元處于平衡狀態(tài)）；主元恒為正，即；

物理意義：若使結(jié)點位移，則施加在方向上的結(jié)點力必須與同向。(5)單元剛度矩陣元素的值與單元的位置無關(guān)；(6)平面幾何相似的單元，若材料性質(zhì)和厚度相同，則它們具有相同的單元剛度矩陣。.3.1.5.單元等效結(jié)點載荷均質(zhì)等厚單元.沿ij邊均布側(cè)壓（方向同x軸正向）pyx0yx0qmijmij.3.1.6.整體平衡方程構(gòu)件內(nèi)任一結(jié)點i上的力分布將式(1-26)代入(1-33)，并集合所有結(jié)點力的平衡方程，得 K－總剛度矩陣，Q－總結(jié)點載荷.建立整體平衡方程的方法之二（利用最小勢能原理）將式(1-20)和(1-26)代入(1-12)，有由泛函取得駐值的必要條件.3.1.7.引入邊界條件(1)零位移約束設(shè)某一結(jié)點沿某一方向的位移為零（例如），則構(gòu)件的整體剛度矩陣變成(1-37)特征：總剛度矩陣中與零位移結(jié)點對應(yīng)的對角元素為1，其余為0；載荷矩陣中與零位移結(jié)點對應(yīng)的元素為0。.(2)非零已知位移約束已知某一結(jié)點沿某約束方向位移為，其構(gòu)件的整體剛度矩陣改變成(1-38)特征：總剛度矩陣中與結(jié)點位移對應(yīng)的對角元素乘以一個大數(shù)（如，）；用代替載荷矩陣中的。.3.1.8.梁的剛度分析（a）離散處理假設(shè)：將梁剖分成8個三角形單元；總載荷P；

節(jié)點載荷F=P/3，均布(節(jié)點6和10受力忽略不計)且垂直X-Z坐標(biāo)面； 各節(jié)點在Z軸方向上的位移忽略不計（前提，z方向的厚度很小），并忽略各節(jié)點的旋轉(zhuǎn)。位移邊界條件：受力時，節(jié)點1和5的X方向位移為0；1、6、5、10的Y方向位移也為0。127(2)38(4)49(6)510(8)(1)(3)(5)(7)6FFFYXZ.（b）單元剛度分析例如針對單元（4）建立的節(jié)點受力與位移之間的矩陣表達式：238(4)YX0等效載荷矩陣單元剛度矩陣單元位移矩陣式中的k11～k66分別為2x2階子矩陣，其子矩陣元素與材料的彈性模量E、泊松系數(shù)μ、節(jié)點坐標(biāo)，以及單元厚度t有關(guān)。.（c）總體剛度分析組合單元，得梁的總體受力與變形量之間的矩陣表達式。2x2階子矩陣第10號節(jié)點所受合力第10號節(jié)點所受合位移總剛度矩陣.（d）求解總體剛度矩陣將節(jié)點力F=P/3和邊界條件（節(jié)點1、5的X位移等于0，節(jié)點1、6、5、10的Y位移等于0）代入上式，求剩余節(jié)點的受力與位移。（e）分析求解結(jié)果分析最大受力值并與梁的強度進行比較；分析最大位移值并與梁的剛度進行比較。.3.2.變溫應(yīng)力的計算3.2.1.平面變溫問題（變化的溫度場在連續(xù)體中引起應(yīng)力）的本構(gòu)方程同一般外載荷引起應(yīng)力的本構(gòu)方程(1-4)相比，(1-39)用替代了(1-4)中的。返回51.3.2.1.變溫問題的有限元方法.根據(jù)能量泛函極值條件（最小勢能原理），有上式就是求解變溫引起結(jié)點位移的有限元方程。

注：求解變溫問題的單元應(yīng)力時，應(yīng)將(1-45)的計算結(jié)果代回變溫問題的本構(gòu)方程，即.4.有限元解的收斂性和誤差估計4.1.有限元解的收斂準(zhǔn)則有限元解的精度主要取決于有限元所建立的位移模式逼近真實位移形態(tài)的狀況，因此，位移模式（即表征節(jié)點位移的插值函數(shù)）的選擇是關(guān)鍵。位移模式選擇的準(zhǔn)則：完備性準(zhǔn)則 如果出現(xiàn)在泛函(1-12)式中場函數(shù)的最高導(dǎo)數(shù)是m階，則有限元解收斂的條件之一是單元內(nèi)場函數(shù)的試探函數(shù)（即近似函數(shù)）至少是m次完全多項式。協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則 如果出現(xiàn)在泛函(1-12)式中場函數(shù)的最高導(dǎo)數(shù)是m階，則試探函數(shù)在單元的交界面上必須具有連續(xù)性，即在相鄰單元的交界面上應(yīng)有函數(shù)直至m－1的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。.完備單元位移模式滿足完備性準(zhǔn)則的單元。協(xié)調(diào)單元位移模式滿足協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則的單元。非協(xié)調(diào)單元位移模式部分滿足協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則（但完全滿足完備性準(zhǔn)則）的單元。.4.2.收斂速度和誤差估計

將有限元中位移的精確解u按Taylor公式（在域內(nèi)i點）展開4.2.1.位移誤差與收斂速度如果有限元解為p階完全多項式，則位移的誤差為。對于求解平面問題的3結(jié)點三角形單元，因插值函數(shù)（試探函數(shù)）是線