江蘇省蘇州五中2022-2023學年數(shù)學高一年級上冊期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

2"+〃,x<1

1.設函數(shù)/(x)=,若/(x)恰有2個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

14(X+Q)(X+2Q),XN1，

A.-2,一：B.(-oo,-2]

D,[-2,+oo)

2.已知圓錐的底面半徑為1,且它的側面開展圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為()

A?——71B.百兀

3

「證>

C.----7CD.&

3

3.函數(shù)g(x)=/(x)-"-x)+l的圖象可能是()

4.已知點P(sina,cose)在第二象限，則角e的終邊所在的象限為

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.用樣本估計總體，下列說法正確的是

A.樣本的結果就是總體的結果

B.樣本容量越大,估計就越精確

C.樣本的標準差可以近似地反映總體的平均狀態(tài)

D.數(shù)據(jù)的方差越大,說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定

6.如圖，邊長為1的正方形。A'5'C是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則圖形。RC的面積是

A.正B.也

42

C.垃D.272

7.下列函數(shù)中，滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)占，々恒有/（三產(chǎn)）《，（?）；，（Z）的函數(shù)的個數(shù)為（）

riY

2

①y=sinx?y=-2x-3x+l③y=一?y=log2x

A.l個B.2個

C.3個D.4個

8.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）

x

A..y=2B.y=-log,x

C.y=」D.y=tanx

x

9.設全集U=R,A={X|X2_2X<0},B={X|1-X>0},則如圖陰影部分表示的集合為（）

A.(x|x>l)

C.{x|O<x<1}D.{x|l<X<2}

10.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片的數(shù)字之積為偶數(shù)的概

率為（）

11.若/={乂6%2-5》+1>0},N={x|ox>l},若NqM,則a的取值集合為()

A.[2,+OO)B.(—oo,2]

C.(O,2]D.(F,O)D(O,2]

12.已知弧長為鼻的弧所對的圓心角為看,則該弧所在的扇形面積為（）

1

A.MJIB.-7T

3

~24

C.-7TD.-Tt

33

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

x2-x+3,x<1

13.已知函數(shù)f(x)=<2，設adR,若關于x的不等式f（x）N在R上恒成立，則a的取值范圍

X+—,X>1

是一

14.符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[乃]=3,[-1.08]=—2,定義函數(shù)/（x）=x-[x],則下列命題中正確是

①函數(shù)/（X）最大值為1；

②函數(shù)“X）的最小值為0；

③函數(shù)G（x）=；有無數(shù)個零點；

④函數(shù)/（x）是增函數(shù)；

15.已知水平放置的A43C按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中8'O'=C'O'=1，NB'AC'=90°,則原

MBC的面積為

16.函數(shù)/（X）=4+log“（尤一1）（。＞0且）的圖象恒過定點

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

71

17.已知函數(shù)/(x)=sin(x+g)?s%|%+二-V3cos2X+—,XGR.

34

(I)求“X)的最小正周期；

JT-TT

(n)求/(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

18.已知全集為實數(shù)集R,集合A={x|y=J1萬+JTG},B={x|log2x)l)

⑴求AcB,(^B)uA；

(2)已知集合C={x[l<x<a},若C=A,求實數(shù)a的取值范圍

19.在AABC中，CA=CB=2,記￡=瓦，月=而，且|左￡+5|=6|￡一坊|(左為正實數(shù)),

(1)求證：(a+B)_L(a-5)；

(2)將￡與5的數(shù)量積表示為關于攵的函數(shù)/僅)；

(3)求函數(shù)/(外的最小值及此時角A的大小

20.如圖，在幾何體ABCDE/7中，AB,EE均與底面8CDE垂直，且6cDE為直角梯形，BE//CD,BE=-CD,

2

CDLDE,G,/分別為線段CD,BC的中點，，為線段。E上任意一點.

(1)證明：FH//平面ABG.

(2)若4CD=45°,證明：平面AG/_L平面瓦G.

21.某籃球隊在本賽季已結束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如下:

078

10579

213

(1)求甲在比賽中得分均值和方差;

(2)從甲比賽得分在20分以下6場比賽中隨機抽取2場進行失誤分析，求抽到2場都不超過均值的概率

V63萬

22.已知cos(a-0)cosB-sin(a-B)sinB=,——<a<2n

32

TT

(1)求sin(2a+一)的值;

4

7T

(2)求tan(a-一)的值

3

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

1、B

【解析】當》<1時，/(x)在(F,1)上單調遞增，f(x)<2+a,

當x..l時，令/(x)=0得x=-“或》=一2。

(1)若2+4,0,即4,—2時，/(x)在(—8,1)上無零點，此時一2a>—a.2,

.?./(X)在［1,+8)上有兩個零點，符合題意；

(2)若2+a>0,即a>-2時，/(x)在(-8,1)上有1個零點，

.../。)在［1,+8)上只有1個零點，

(D若—2<。v0,則-2cl>—ci9

:.—civL,—2a解得—1<%—9

92

②若。=0,則一4=-2。=。仁［1,400),

.../。)在［1,+8)上無零點，不符合題意；

③若a>0,則0>-a>-2a,

.../。)在［1,+^)上無零點，不符合題意；

綜上a的取值范圍是(―8,—2]D(T,—g].選B

點睛：

解答本題的關鍵是對實數(shù)a進行分類討論，根據(jù)a的不同取值先判斷函數(shù)/(%)在(-8,1)上的零點個數(shù)，在此基礎上再

判斷函數(shù)/(x)在[1.-HX))上的零點個數(shù)，看是否滿足有兩個零點即可

2、A

【解析】半徑為R的半徑卷成一圓錐，

則圓錐的母線長為R,

設圓錐的底面半徑為r,

貝!J271r=nR,即尸=1,

...圓錐的高==7=/，

圓錐的體積V=—-12>/3=TC>

33

所以A的選項是正確的

【解析】令〃(x)=/(x)--x),可判斷出g(x)的圖象就是將3)的圖象向上平移一個單位，由圖像的對稱性即可得

到答案.

【詳解】令〃(力=/(力一/(一切則8(力=7?(力+1,

即g(x)的圖象就是將Mx)的圖象向上平移一個單位即可.

因為M-x)三/(-xA/UT-Mx),即函數(shù)雙關)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱，

所以g(x)=/(x)-/(-X)+1的圖象關于(0,1)對稱.

故選：C

4、D

【解析】由題意利用角在各個象限符號，即可得出結論.

【詳解】由題意，點尸(sine,cosa)在第二象限，sina<0,cosa>0

則角a的終邊所在的象限位于第四象限，故選D.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)在各個象限的符號，其中熟記三角函數(shù)在各個象限的符號是

解答本題的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.

5、B

【解析】解：因為用樣本估計總體時，樣本容量越大，估計就越精確，成立

選項A顯然不成立，選項C中，樣本的標準差可以近似地反映總體的穩(wěn)定狀態(tài),、數(shù)據(jù)的方差越大，說明數(shù)據(jù)越不穩(wěn)

定，故選B

6、D

【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖可得答案.

【詳解】由直觀圖O'AFc'畫出原圖0ABC，如圖，因為08=及，所以OB=20，0A=\,則圖形。43c的

面積是2拉.

故選：D

【解析】根據(jù)因為函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)占，々恒有〈巫?可得函數(shù)的圖象是“下凸”,

然后由函數(shù)圖象判斷.

【詳解】因為函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)為，%恒有弋主)《巫?

所以函數(shù)的圖象是“下凸”，

(1v

分別作出函數(shù)①y=sinx?y=-2x2-3x+l③尸-④y=log2工的圖象，

<2/

由圖象知，滿足條件的函數(shù)有③一個，

故選：A

8、A

【解析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調遞減，排除B,單調區(qū)間不能用并集連接，排除CD.

【詳解】丫=2'定義域為區(qū)，且在定義域上單調遞增，滿足題意，A正確；

，=-1。82、定義域為(0,+8),在定義域內(nèi)是減函數(shù)，B錯誤;

)=」定義域為(y,0)U(0,4w),而y=」在(f,0),(0,”)為單調遞增函數(shù)，不能用并集連接，C錯誤;

(兀兀]

同理可知：y=tanx定義域為+,而了=1211%在區(qū)間[-5+&兀，5+左兀卜％62上單調遞增，不

能用并集連接，D錯誤.

故選：A

9、D

【解析】解出集合A、B,然后利用圖中陰影部分所表示的集合的含義得出結果.

【詳解】：A=卜卜?—2x<()}={x[0<x<2},8={x|l—x>O}=1}.

圖中陰影部分所表示的集合為{x|xwA且xe8}={x[l<x<2].

故選：D.

【點睛】本題考查韋恩圖表示的集合的求解，同時也考查了一元二次不等式的解法，解題的關鍵就是弄清楚陰影部分

所表示的集合的含義，考查運算求解能力，屬于基礎題.

10、D

【解析】從4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4中隨機抽取2張的基本事件有:

12,13,14,23,24,34,一共6種，

其中數(shù)字之積為偶數(shù)的有：12,14,23,24,34一共有5種，

所以取出的2張卡片的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為〃=士,

故選：D

【解析】MNxMd-Sx+lAOMtrlxv：或x＞；},分類求解N,根據(jù)NqM可求得"的取值集合

D乙

N={x\ax＞\},N=M,

?＞O

，a=()或＜11或。＜0,解得()＜aW2或。＜0,綜上"€(-(?,2]

2

故選：B

12、B

【解析】先求得扇形的半徑，由此求得扇形面積.

【詳解】依題意，扇形的半徑為豈=2,所以扇形面積為1.f.2=g.

兀233

故選：B

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

47

13、——＜aW2

16

【解析】先求畫出函數(shù)/(x)的圖像，然后對y=|2x+a|的圖像進行分類討論，使得y=|2x+a|的圖像在函數(shù)/(x)

的圖像下方，由此求得。的取值范圍.

X

—Fa,x2—2a

【詳解】畫出函數(shù)/(X)的圖像如下圖所示，而y=彳+a,、，是兩條射線組成，且零點為x=—2a.

<-2a

x

y=-^a

將＞=]+a向左平移，直到和函數(shù)/(x)圖像相切的位置，聯(lián)立方程2消去)'并化簡得尤2-2辦+4=0,

y=龍+—

x

Y

令判別式A=4/-16=0,解得。=2.將y=耳+。向右平移，直到和函數(shù)/(x)圖像相切的位置，聯(lián)立方程

泗消去》并化簡得f—；+3+。=0,令判別式△=!-4(3+a)=0,解得。=—2.根據(jù)圖像可知

24''16

y=x2—x+3

。一巴2

16

【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質，其中包括二次函數(shù)的圖像、對勾函數(shù)的圖像，以及含有絕對值函數(shù)

的圖像，考查恒成立問題的求解方法，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法以及分類討論的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.形如

y=|以+可函數(shù)的圖像，是1-2,()］引出的兩條射線.

14、??

【解析】利用函數(shù)中的定義結合函數(shù)的最值、周期以及單調性即可求解.

【詳解】?.?函數(shù)f(x)=x-[x],

，函數(shù)/(x)的最大值為小于1,故①不正確；

函數(shù)/(X)的最小值為0,故②正確；

函數(shù)每隔一個單位重復一次，所以函數(shù)G(x)=/(x)-g有無數(shù)個零點，故③正確;

由函數(shù)/(x)圖像，結合函數(shù)單調性定義可知，函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)不單調，

故④不正確；

故答案為：②③

【點睛】本題考查的是取整函數(shù)問題，在解答時要充分理解⑶的含義，注意對新函數(shù)的最值、單調性以及周期性加以

分析，屬于基礎題.

15、2

【解析】VZB'A'C'=90°,B'O^C'O^l,.

.,.A'O'=1,.,.原AABC的高為2,4ABC面積為」x2x2=2.

2

點睛：由斜二測畫法知，設直觀圖的面積為S',原圖形面積為S,則之=變

S4

16、（2,4）

【解析】令對數(shù)的真數(shù)為1,即可求出定點的橫坐標，再代入求值即可；

【詳解】解：因為函數(shù)/（x）=4+log0（x-l）（a>O且awl）,

令1=1,解得x=2,所以"2）=4+log41=4,即函數(shù)，（x）恒過點（2,4）；

故答案為：（2,4）

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17、⑴T=萬；⑵/（乩以=；,/⑺而--：.

【解析】（1）將函數(shù)化為/（x）=；sin[2x—的形式后可得最小正周期.（2）由—可得

一學《2x-將作為一個整體，結合圖象可得函數(shù)的最值

6363

試題解析:

.(兀-A/3COS2X+^-

(1)=sin?sinxd——

34

5+走、—>/3COS2X+^-

=cosxcosx

2274

-sinxcosx+———cos2%—>/3cos-x+———

224

1.-6(cos2元+1、G

=—sin2x--------------------+——

42L2J4

1.百0

=—sinozx------coszx

44

1.

—sin

22吟

的最小正周期T=萬.

.*.^2X—y=-y,即X=-^|?時，/(X)取得最小值,且〃工號二-：，

當2x—5q,即x=?時，〃x)取得最大值，%(x)a=；.

18、(l){x|2<x<3},{x|l<x<2)；(2)(-oo,3].

【解析】(1)借助題設條件求集合43,再求其交集與補集；(2)借助題設運用數(shù)軸分類建立不等式組求解.

試題解析：

(1)A={x|l<x<3},B=[x\log2x>1}={x|x>2)

AryB={x\2<x<3}

(CRB)CA={x|x<2}n{x|1<x<3}={x|1<x<2}

(2)(i)當時，C=。，此時C=

(ii)當a>l時,CcA,則l<a?3

綜合⑴(ii),可得”的取值范圍是(-8,3]

考點：函數(shù)的定義域集合的運算等有關知識的綜合運用.

ITT

19、(1)證明見解析；(2)f(k)=k+-(3)2,A=—.

kt3

【解析】(1)由C4=CB=2,得到口=川=2,根據(jù)0+歷Q—B)=@—卜(，即可求解；

(2)由|心+6|=百|￡一防I，整理得8小石=8+8左2,即可求得了(6表達式；

(3)由(2)知f(A)=k+：,結合基本不等式，求得-方的最小值，再利用向量的夾角公式，即可求解.

k

【詳解】⑴在AAHC中，CA=CB=2,可得向=，=2,

所以(G+B)(Q-B)=〃-b=|t7|一忖=4-4=0,所以(￡+B)_L(￡-5).

(2)由|+B|=G|a-防|,可得|左〃+B/=G|a-防『，

即k2a+2ka^b+b2=3(a-2kaS+k2b2)，整理得8歷?5=8+8左？，

——1

所以f(k)=a-b=k+—

k

(3)由(2)知/(%)=々?5=%+,，

k

因為攵為正實數(shù)，則Z+422j%xL=2,當且僅當人時，即攵=1時，等號成立，

k\kk

所以/(%)的最小值為2,即￡石=2，

(2th217T

此時cosC=-^---=—=—?因為Ce(0,))，可得。=一，

\a\-\b\423

7T

又因為C4=CB,此時AAbC為等邊三角形，所以囚=彳

【點睛】求平面向量的模的2種方法：

1、利用同=J六及0+行=同±2￡/+即把向量模的運算轉化為數(shù)量積的運算；

2、利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

20、(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】(1)由題可得A8//所，進而可得45//平面DE/,因為BE//0G,BE=DG,所以四邊形8G/汨為平

行四邊形，即BG//DE,從而得出3G//平面。防，平面ABG//平面EFD,進而證得FH//平面ABG

(2)由題可先證明四邊形BGDE為正方形，連接BD，則6。_LEG,再證得BD1平面EFG,進而證得平面AGI±

平面EFG.

【詳解】證明：(1)因AB_L平面BCDE,9'_L平面BC0E,

所以45//EF.

因為ABz平面￡>EV,EFu平面DEF,

所以AB//平面。所.

因為BE//DG,BE=DG,

所以四邊形BGDE為平行四邊形，

所以BG//DE.

因為8Gz平面。Er,DEu平面DEF,

所以BG//平面。EV.

因為ABn3G=8,

所以平面ABG//平面EFD,

因為FHu平面

所以F”//平面ABG.

(2)因為/BCD=45°,所以ABCG為等腰直角三角形，

則3G=CG.

因為G為。。的中點，且四邊形為平行四邊形，

所以BG=CG=GD=BE=DE,

故四邊形BGDE為正方形.

連接30,則80,EG.

因為EF工平面BCDE,BDu平面BCDE,

所以所_L8O.

因為EbnEG=E,EFu平面EFG,EGu平面ERG,

所以80,平面EFG.

因為/，G分別BC,CO的中點，

所以/G//8D,貝！I/G//平面EPG.

因為/Gu平面AG/,

所以平面AG/1?平面EFG.

【點睛】本題主要考查證明線面平行問題以及面面垂直問題，屬于一般題

2

21、(1)15,32.25(2)y

【解析】(D由已知中的莖葉圖，代入平均數(shù)和方差公式，可得得答案；

(2)根據(jù)古典概型計算即可求解.

【詳解】(1)這8場比賽隊員甲得分為：7,8,10,15,17,19,21,2