正弦穩(wěn)態(tài)電路

正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析主講人：劉瑛主要內(nèi)容正弦量及其表示方法1電路基本器件伏安關(guān)系的相量形式2正弦交流電路分析3三相電路概述4正弦量及其表示方法正弦電路：激勵(lì)電源可用正弦函數(shù)描述的電路，或稱正弦交流電路。我國(guó)電力系統(tǒng)即為50Hz正弦供電系統(tǒng)，家用設(shè)備供電50Hz/220V標(biāo)準(zhǔn)。（美國(guó)：60Hz/110V標(biāo)準(zhǔn)）實(shí)際方向和假設(shè)方向一致實(shí)際方向和假設(shè)方向相反正弦量的三要素周期T：正弦量完整變化一周所需要的時(shí)間。頻率f：正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的周數(shù)。周期與頻率的關(guān)系：角頻率ω：正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù)。角頻率與周期及頻率的關(guān)系：1.

正弦交流電的周期、頻率和角頻率正弦量的三要素2.

正弦交流電的瞬時(shí)值、最大值和有效值瞬時(shí)值是以解析式表示的：最大值就是上式中的Im，Im反映了正弦量振蕩的幅度。有效值指與交流電熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值。例RiRI交流電i通過電阻R時(shí)，在t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量為Q直流電I通過相同電阻R時(shí)，在t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量也為Q

即：熱效應(yīng)相同的直流電流I稱之為交流電流i的有效值。有效值可以確切地反映交流電的作功能力。正弦量的三要素若購(gòu)得一臺(tái)耐壓為

300V的電器，是否可用于220V的線路上?

電器~220V最高耐壓

=300V

該用電器最高耐壓低于電源電壓的最大值，所以不能用。正弦量的三要素3.

正弦交流電的相位、初相和相位差相位：正弦量解析式中隨時(shí)間變化的電角度(ωt+φ)。初相：t=0時(shí)的相位φ，它確定了正弦量計(jì)時(shí)始的位置。相位差：兩個(gè)同頻率正弦量之間的相位之差。例

顯然，相位差實(shí)際上等于兩個(gè)同頻率正弦量之間的初相之差。正弦量的三要素正弦量的三要素正弦量及其表示方法T正弦信號(hào)的周期（秒s）Um正弦信號(hào)的幅度，取值為正值Ф初相角ω(=2*pi/T)角頻率，弧度/秒（rad/s)正弦量及其表示方法例1：若交流電壓幅度為310V，電源頻率50Hz，初相角為30°，求電壓信號(hào)表達(dá)式，并計(jì)算t=0時(shí)電壓值。例2：若交流電源頻率為50Hz，初相角為－45°，t=0時(shí)電壓值為220V，求電壓表達(dá)式。正弦量及其表示方法復(fù)數(shù)及其表示方法A=a1+ja2A=acosψ+jasinψA=aejψ

或A=a/ψ正弦量及其表示方法復(fù)數(shù)運(yùn)算法則設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為：A、B加、減、乘、除時(shí)的運(yùn)算公式正弦量及其表示方法1.已知復(fù)數(shù)A=4+j5，B=6-j2。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。2.已知復(fù)數(shù)A=17/24°，B=6/-65°。試求A+B、A-B、A×B、A÷B。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示例已知U1=U1ψ1U2=U2ψ2U2U1也可以把復(fù)平面省略，直接畫作U2U1虛線可以不畫電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示例如：利用相量圖輔助分析，根據(jù)平行四邊形法則，由相量圖可以清楚地看出：U1cosψ1+U2cosψ2U1sinψ1+U2sinψ2UU2U1正弦量及其表示方法

與正弦量相對(duì)應(yīng)的復(fù)電壓和復(fù)電流稱之為相量。為區(qū)別與一般復(fù)數(shù)，相量的頭頂上一般加符號(hào)“·”。例如正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A，若用相量表示，其最大值相量為：有效值相量為：由于一個(gè)電路中各正弦量都是同頻率的，所以相量只需對(duì)應(yīng)正弦量的兩要素即可。即模值對(duì)應(yīng)正弦量的有效值（或最大值），幅角對(duì)應(yīng)正弦量的初相。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電阻元件i=uR電阻元件上的電壓、電流關(guān)系

電壓、電流的瞬時(shí)值表達(dá)式為：

由兩式可推出，電阻元件上電壓、電流的相位上存在同相關(guān)系；數(shù)量上符合歐姆定律，即：電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示功率

（1）瞬時(shí)功率p瞬時(shí)功率用小寫！則結(jié)論：1.p隨時(shí)間變化；2.p≥0,為耗能元件。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示2.平均功率（有功功率）P

(一個(gè)周期內(nèi)的平均值)

由:可得:P=UI平均功率用大寫！例求：“220V、100W”和“220V、40W”燈泡的電阻？

平均功率代表了電路實(shí)際消耗的功率，因此也稱之為有功功率。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電容元件電容元件上的電壓、電流關(guān)系

若加在C兩端的電壓為：

則C上的充放電電流為：

電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示由電壓、電流解析式可推出，電容元件上電流總是超前電壓90°電角數(shù)量上存在著：IC=U

C=U2πfC=U/XC電容元件上電壓、電流的有效值關(guān)系為：其中：XC稱為電容元件上的容抗，單位為歐姆(Ω)。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示

容抗反映了電容元件對(duì)正弦交流電流的阻礙作用。只有在一定頻率下，電容元件的容抗才是常數(shù)。容抗與哪些因素有關(guān)？直流情況下容抗為多大？XC與頻率成反比；與電容量C成反比，因此頻率越高電路中容抗越小，這被稱作電容元件的通交作用，高頻電路中電容元件相當(dāng)于短路。直流下頻率f=0，所以XC=∞。我們說電容元件相當(dāng)于開路。（隔直作用）電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示

（1）瞬時(shí)功率p則p為正弦波，頻率為ui的2倍；在一個(gè)周期內(nèi)，C充電吸收的電能等于它放電發(fā)出的電能。電容元件和電感元件相同，只有能量交換而不耗能，因此也是儲(chǔ)能元件。結(jié)論：電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示平均功率（有功功率）PP=0，電容元件不耗能無功功率QC

無功功率QC反映了電容元件在充放電過程中與電源之間進(jìn)行能量交換的規(guī)模。即：為區(qū)別于有功功率，無功功率的單位定義為乏爾(Var)電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電感元件電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示XL=2πfL=ωL，雖然式中感抗和電阻類似，等于元件上電壓與電流的比值，但它與電阻有所不同，電阻反映了元件上耗能的電特性，而感抗則是表征了電感元件對(duì)正弦交流電流的阻礙作用，這種阻礙作用不消耗電能，只能推遲正弦交流電流通過電感元件的時(shí)間。XL與頻率成正比；與電感量L成正比感抗與哪些因素有關(guān)？直流情況下感抗為多大？直流下頻率f=0，所以XL=0。L

相當(dāng)于短路。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示

（1）瞬時(shí)功率p則p為正弦波，頻率為ui的2倍；在一個(gè)周期內(nèi)，L吸收的電能等于它釋放的磁場(chǎng)能。電感元件上只有能量交換而不耗能，為儲(chǔ)能元件結(jié)論：電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示（2）平均功率（有功功率）PP=0，電感元件不耗能（3）無功功率QL

（單位為乏爾Var）問題與討論1.電源電壓不變，當(dāng)電路的頻率變化時(shí)，通過電感元件的電流發(fā)生變化嗎？f變化時(shí)XL隨之變化，導(dǎo)致電流i變化。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示阻抗和導(dǎo)納正弦電壓或電流加到無源RLC電路中產(chǎn)生正弦響應(yīng)電壓和電流分別為：正弦電壓或電流加到無源RLC電路中產(chǎn)生正弦響應(yīng)電壓和電流分別為：電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示R-L-C串聯(lián)交流電路若則電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示總電壓與總電流的關(guān)系式相量方程式：則設(shè)（參考相量）電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示Z：復(fù)數(shù)阻抗實(shí)部為阻虛部為抗容抗感抗令則復(fù)數(shù)形式的歐姆定律電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示由復(fù)數(shù)形式的歐姆定律可得：結(jié)論：Ｚ的模為電路總電壓和總電流有效值之比，而Ｚ的幅角則為總電壓和總電流的相位差。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示一定時(shí)電路性質(zhì)由參數(shù)決定

當(dāng)時(shí)，表示u

領(lǐng)先i

－－電路呈感性當(dāng)

時(shí)，表示u

、i同相－－電路呈電阻性當(dāng)時(shí)，表示u

落后i

－－電路呈容性阻抗角電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示假設(shè)R、L、C已定，電路性質(zhì)能否確定？（阻性？感性？容性？）電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示阻抗三角形電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示阻抗Z：相量電壓和相量電流之比導(dǎo)納Y：阻抗的倒數(shù)阻抗和導(dǎo)納的正交形式為

電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示例：網(wǎng)絡(luò)加載的電壓時(shí)產(chǎn)生的電流，求等效阻抗和導(dǎo)納，畫出頻域串聯(lián)等效電路和并聯(lián)等效電路。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示例：已知RL串聯(lián)電路，求時(shí)并聯(lián)等效電路中等效并聯(lián)電阻和并聯(lián)電感值。

解：電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電路KCL的一般形式為正弦電路支路電流的一般形式，代入上式正弦電路各支路頻率相同，是公因子

電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示正弦電路中任意閉合路徑KVL的相量形式即各支路上電壓相量和恒為零

正弦電壓（或電流）的振幅或有效值間KCL或KVL是不成立的，即對(duì)于節(jié)點(diǎn)（或割集），對(duì)于閉合路徑電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示例：輸入信號(hào)為的正弦信號(hào)，求分壓比。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示URIULU電路的相量模型UCRjXL-jXC例2下圖中已知R=15Ω，L=12mH，C=40μF，端電壓u=28.3sin(2500t)V，求：i及各元件電壓。電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示

電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示電路常用元件伏安關(guān)系的相量表示復(fù)功率設(shè)一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流為：u=Umsin(ωt+ψu(yù))i=Imsin(ωt+ψi)電路吸收的瞬時(shí)功率：

上式說明瞬時(shí)功率有兩個(gè)分量，第一項(xiàng)與電阻元件的瞬時(shí)功率相似，始終大于或等于零，是網(wǎng)絡(luò)吸收能量的瞬時(shí)功率，其平均值為UIcosφ

。第二項(xiàng)與電感元件或電容元件的瞬時(shí)功率相似，其值正負(fù)交替，是網(wǎng)絡(luò)與外部電源交換能量的瞬時(shí)功率，它的最大值為UIsinφ

。2.電路吸收的平均功率：平均功率也就是有功功率，數(shù)值上等于瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，即：3.電路吸收的無功功率：

無功功率反映了“只交換而不消耗”的電路現(xiàn)象，感性電路中的無功功率就是吸收電能建立磁場(chǎng)的那部分功率，用QL表示，恒為正值；容性電路中的無功功率是建立電場(chǎng)儲(chǔ)存電能的那部分功率用QC表示，即：

電力設(shè)備的容量一般由其額定電壓和額定電流的乘積來決定，稱為視在功率，用S表示：

為了區(qū)別于有功功率和無功功率，視在功率的單位用“伏安(VA)”或“千伏安(KVA)”。

由上式又可看出視在功率S和有功功率P、無功功率Q三者之間存在著相當(dāng)勾股弦定理的數(shù)量關(guān)系，因此可以把這種數(shù)量關(guān)系用一個(gè)三角形來表示：PQL-QCS

功率因數(shù)是電力技術(shù)經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)重要指標(biāo)。負(fù)載功率因數(shù)過低，電源設(shè)備的容量不能得到充分利用；另外在功率一定、電壓一定的情況下，負(fù)載功率因數(shù)越低，則通過輸電線路上的電流I=P/(Ucosφ)越大，因此造成供電線路上的功率損耗增大。顯然，提高功率因數(shù)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展具有非常重要的意義。提高功率因數(shù)的意義是什么？如何提高？提高功率因數(shù)的意義：1.提高發(fā)配電設(shè)備的利用率；2.減少輸電線上的電壓降和功率損失。

一臺(tái)功率為1.1kW的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)，接在220V、50Hz的電路中，電動(dòng)機(jī)需要的電流為10A，求：(1)電動(dòng)機(jī)的功率因數(shù)；(2)若在電動(dòng)機(jī)兩端并聯(lián)一個(gè)79.5μF的電容器，電路的功率因數(shù)為多少？5.3正弦交流電路的最大功率傳輸圖中正弦交流電路的電源阻抗：ZLZSUS·＋－I·負(fù)載阻抗：通過電路的電源流：負(fù)載從電源獲取的有功功率為ZLZSUS·＋－I·

由上式可推導(dǎo)出負(fù)載從電源獲取最大功率的條件是：或

在滿足負(fù)載從電源獲取最大功率的條件下，負(fù)載上獲得的最大功率是：當(dāng)負(fù)載為純電阻時(shí)此時(shí)負(fù)載獲得的最大功率RLC串聯(lián)電路的基本關(guān)系串諧電路復(fù)阻抗：其中：串諧電路中的電流：據(jù)前所述，諧振時(shí)u、i同相，φ=0：電抗等于0時(shí)，必定有感抗與容抗相等：串諧條件由串諧條件又可得到串諧時(shí)的電路頻率為：2.由于諧振時(shí)電路阻抗最小，所以諧振電流I0最大。f0是RLC串聯(lián)諧振電路的固有頻率，只與電路的參數(shù)有關(guān)，與信號(hào)源無關(guān)。

由此可得使串聯(lián)電路發(fā)生諧振的方法：①調(diào)整信號(hào)源的頻率，使它等于電路的固有頻率；②信號(hào)源頻率不變，調(diào)整L和C值的大小，使電路中的固有頻率等于信號(hào)源的頻率。1.串諧時(shí)由于u、i同相，電路復(fù)阻抗為電阻性質(zhì)：3.特性阻抗ρ是衡量串諧電路性能的一個(gè)重要指標(biāo)：4.品質(zhì)因數(shù)Q是衡量串諧電路性能的另一個(gè)重要指標(biāo)：品質(zhì)因數(shù)Q的大小可達(dá)幾十至幾百，一般為50~200。電路在串聯(lián)諧振狀態(tài)下，電路的感抗或容抗往往比電阻大得多，因此：

由于諧振電路的品質(zhì)因數(shù)很高，所以可知?jiǎng)討B(tài)元件兩端的電壓在諧振狀態(tài)下要比外加的信號(hào)源電壓大得多，因此通常也將串聯(lián)諧振稱為電壓諧振。1.回路阻抗與頻率之間的特性曲線RLC串聯(lián)電路的阻抗為：阻抗及其各部分用曲線可表示為：|Z|、R、XRωLωC1|Z|

由RLC串聯(lián)電路的阻抗特性曲線可看出：電阻R不隨頻率變化；感抗XL與頻率成正比；容抗XC與頻率成反比，阻抗|Z|在諧振之前呈容性（電抗為負(fù)值），諧振之后呈感性（電抗為正值），諧振發(fā)生時(shí)等于電阻R，此時(shí)電路阻抗為純電阻性質(zhì)。ω0ω02.回路電流與頻率的關(guān)系曲線RLC串諧電路諧振時(shí)的電流電路諧振時(shí)，串諧電路中的電流達(dá)到最大，為了便

上式表示在直角坐標(biāo)系中，即可得到I—ω諧振特性曲線如下圖所示：

從I—ω諧振特性曲線可看出，電流的最大值I0出現(xiàn)在諧振點(diǎn)ω0處，只要偏離諧振角頻率，電流就會(huì)衰減，而且衰減的程度取決于電路的品質(zhì)因數(shù)Q。即：Q大電路的選擇性好；Q小電路的選擇性差。11ω00ωI0IQ小Q大3.回路電流相位與頻率的關(guān)系曲線

若輸入電壓的初相為0時(shí)，回路電流的初相等于阻抗相位的負(fù)值，如上式所示。電路的相頻特性如右圖所示90°－90°ω0ω

在無線電技術(shù)中，要求電路具有較好的選擇性，常常需要采用較高Q值的諧振電路。f00fI0I1

但是，實(shí)際的信號(hào)都具有一定的頻率范圍，如電話線路中傳輸?shù)囊纛l信號(hào)，頻率范圍一般為3.4KHz，廣播音樂的頻率大約是30Hz~15KHz。這說明實(shí)際的信號(hào)都占有一定的頻帶寬度。為了不失真地傳輸信號(hào)，保證信號(hào)中的各個(gè)頻率分量都能順利地通過電路，通常規(guī)定當(dāng)電流衰減到最大值的0.707倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一段頻率范圍稱為通頻帶B。其中f2和f1是通頻帶的上、下邊界。1實(shí)踐和理論都可以證明：可見通頻帶與諧振頻率有關(guān)，由于品質(zhì)因數(shù)

品質(zhì)因數(shù)Q愈大，通頻帶寬度愈窄，曲線愈尖銳，電路的選擇性能愈好；Q值愈小，通頻帶寬度愈大，曲線愈平坦，選擇性能愈差；但Q值過高又極易造成通頻帶過窄而使傳輸信號(hào)不能完全通過，從而造成失真。

顯然通頻帶B和品質(zhì)因數(shù)Q是一對(duì)矛盾，實(shí)際當(dāng)中如何兼顧二者，應(yīng)具體情況具體分析。結(jié)論ωL-j1ωCjR1.并聯(lián)諧振發(fā)生時(shí)，電路阻抗最大(導(dǎo)納最小)，且呈純電阻性（理想情況r=0時(shí)，阻抗無窮大）；2.并聯(lián)諧振發(fā)生時(shí)，由于阻抗最大，因此當(dāng)電路中總電流一定時(shí)，路端電壓最大，且與電流同相。3.并聯(lián)時(shí)電感、電容支路出現(xiàn)過電流現(xiàn)象，其兩支路電流分別為電路總電流的Q倍；Q為電路的品質(zhì)因數(shù)：兩支路電流:上述分析均是以等效的并聯(lián)電路為研究對(duì)象。?××?A三相定子繞組在空間位置互差120o定子轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)子裝有磁極以

的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，定子三相繞組中便分別感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。三相交流發(fā)電機(jī)示意圖尾端：

XYZ首端：

ABC↓↓↓?××?NS

電路分析中很少用電動(dòng)勢(shì)，通常用電壓來表示。以A相繞組的感應(yīng)電壓為參考正弦量，則發(fā)電機(jī)的三相感應(yīng)電壓分別為：

三相感應(yīng)電壓用波形圖和相量圖可分別表示為：u0TuAuBuCωt120°120°120°UBUAUC顯然三個(gè)電壓大小相等，頻率相同，相位互差120o。

我們把三個(gè)最大值相等，角頻率相同，彼此相位互差120o電角度的單相正弦量稱為對(duì)稱三相交流電。

發(fā)電機(jī)感應(yīng)的對(duì)稱三相交流電壓用相量可表示為

由對(duì)稱三相電壓的波形圖和相量圖可看出：

對(duì)稱三相交流電在相位上的先后順序稱為相序。我們把相序ABC稱為正序或順序；把CBA稱為負(fù)序或逆序。電力系統(tǒng)中通常采用正序。三相電源的連接

下圖所示電源的連接方式稱為星形連接，或記為“Y”接。XZYNBCA

其中由電源繞組尾端公共連接點(diǎn)引出的導(dǎo)線稱為中線(零線)，由電源繞組首端引出的導(dǎo)線稱為相線(火線)

圖中電源繞組首端指向尾端的電壓稱為相電壓(即火線與零線之間的電壓)。

火線與火線之間的電壓稱為線電壓。電源繞組這樣連接后向外電路供電的方式稱為三相四線制。