專題07 翻轉(zhuǎn)折疊問題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 折疊問題題型多樣，變化靈活，從考察學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題，到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說理計(jì)算題，發(fā)展到基于折疊操作的綜合題，甚至是壓軸題.?考查的著眼點(diǎn)日趨靈活，能力立意的意圖日漸明顯.這對(duì)于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.本專題內(nèi)容在考查中常涉及到特殊平行四邊形的折疊與性質(zhì)、特殊三角形的判定、勾股定理的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)等.因此考生在復(fù)習(xí)中應(yīng)熟練掌握一些基本圖形的性質(zhì)和判定定理以及圖形折疊的性質(zhì).圖形折疊是中考中常考題型，這種題型主要考察學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)知，特別是考察軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)綜合運(yùn)用?！窘忸}策略】有關(guān)圖形折疊的相關(guān)計(jì)算，首先要熟知折疊是一種軸對(duì)稱變換，即位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；然后根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，即折疊前、后圖形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.圖形的折疊通常和動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合在一起進(jìn)行考查，常見的問題類型有以下3種：（1）求線段的取值范圍；（2）求最值問題；（3）分類討論線段長(zhǎng)度.【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一涉及特殊三角形的翻轉(zhuǎn)折疊【典例1】（2018·浙江臨安·8分）如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2+的等邊三角形，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在y軸正方向上，將△OAB折疊，使點(diǎn)A落在邊OB上，記為A′，折痕為EF．（1）當(dāng)A′E∥x軸時(shí)，求點(diǎn)A′和E的坐標(biāo)；（2）當(dāng)A′E∥x軸，且拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A′和E時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)A′在OB上運(yùn)動(dòng)，但不與點(diǎn)O、B重合時(shí)，能否使△A′EF成為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)你說明理由．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形的判定和性質(zhì).【分析】（1）當(dāng)A′E∥x軸時(shí)，△A′EO是直角三角形，可根據(jù)∠A′OE的度數(shù)用O′A表示出OE和A′E，由于A′E=AE，且A′E+OE=OA=2+，由此可求出OA′的長(zhǎng)，也就能求出A′E的長(zhǎng)．據(jù)此可求出A′和E的坐標(biāo)；（2）將A′，E點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可求出其解析式．進(jìn)而可求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠FA′E=∠A，因此∠FA′E不可能為直角，因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能：①∠A′EF=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)，∠A′EF=∠AEF=90°，此時(shí)A′與O重合，與題意不符，因此此種情況不成立．②∠A′FE=90°，同①，可得出此種情況也不成立．因此A′不與O、B重合的情況下，△A′EF不可能成為直角三角形．（2）因?yàn)锳′、E在拋物線上，所以，所以，函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+x+1，由﹣x2+x+1=0，得x1=﹣，x2=2，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（，0）與（，0）．所以不能使△A′EF成為直角三角形．學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)二涉及特殊四邊形的翻轉(zhuǎn)折疊【典例2】（2018湖北荊州）（8.00分）如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合，得到折痕MN，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn)D落到MN上的點(diǎn)F處，折痕AP交MN于E；延長(zhǎng)PF交AB于G．求證：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG為等邊三角形．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，利用平行線分線段成比例得到F為PG的中點(diǎn)，再由折疊的性質(zhì)得到AF垂直于PG，利用SAS即可得證；（2）由（1）的全等三角形，得到對(duì)應(yīng)邊相等，利用三線合一得到∠2=∠3，由折疊的性質(zhì)及等量代換得到∠PAG為60°，根據(jù)AP=AG且有一個(gè)角為60°即可得證．【解答】證明：（1）由折疊可得：M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，∵DC∥MN∥AB，∴F為PG的中點(diǎn)，即PF=GF，由折疊可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，在△AFP和△AFG中，，∴△AFP≌△AFG（SAS）；★考點(diǎn)三涉及圓知識(shí)的翻轉(zhuǎn)折疊【典例3】如圖，點(diǎn)O是圓形紙片的圓心，將這個(gè)圓形紙片按下列順序折疊，使和都經(jīng)過圓心O，則陰影部分的面積是⊙O面積的（）A.B.C.D.解：作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴陰影部分的面積=S扇形AOC=×⊙O面積．故選：B．★考點(diǎn)四涉及函數(shù)的翻轉(zhuǎn)折疊【典例4】（2018·重慶市B卷）（12.00分）拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）如圖1，連接CD，求線段CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，PF⊥x軸于點(diǎn)F，PF與線段AC交于點(diǎn)E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)PE+EC的值最大時(shí)，求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值，并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn)，連接CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點(diǎn)B2旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)O2，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交于點(diǎn)M，N．那么，在△O2B2C的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的線段O2M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）先確定對(duì)折后O2C落在AC上，△AMN是以MN為腰的等腰三角形存在四種情況：①如圖4，AN=MN，證明△C1EC≌△B2O2M，可計(jì)算O2M的長(zhǎng)；②如圖5，AM=MN，此時(shí)M與C重合，O2M=O2C=；③如圖6，AM=MN，N和H、C1重合，可得結(jié)論；④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E證明四邊形C1EO2B2是矩形，根據(jù)O2M=EO2+EM可得結(jié)論．（2）在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，則﹣x2﹣x+=0，解得：x1=﹣3，x2=，∴A（﹣3，0），B（，0），∵C（0，），易得直線AC的解析式為：y=，設(shè)E（x，），P（x，﹣x2﹣x+），∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，Rt△ACO中，AO=3，OC=，∴AC=2，∴∠CAO=30°，∴AE=2EF=，∴PE+EC=（﹣x2﹣x+）﹣（x+）+（AC﹣AE），=﹣﹣x+[2﹣（）]，=﹣﹣x﹣x，=﹣（x+2）2+，（5分）∴當(dāng)PE+EC的值最大時(shí)，x=﹣2，此時(shí)P（﹣2，），（6分）∴PC=2，∵O1B1=OB=，∴要使四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小，即PO1+B1C的值最小，（3）O2M的長(zhǎng)度為或或2+或2．（12分）理由是：如圖3，∵H是AB的中點(diǎn)，∴OH=，∵OC=，∴CH=BC=2，∴∠HCO=∠BCO=30°，∵∠ACO=60°，∴將CO沿CH對(duì)折后落在直線AC上，即O2在AC上，∴∠B2CA=∠CAB=30°，∴B2C∥AB，∴B2（﹣2，），①如圖4，AN=MN，∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，由旋轉(zhuǎn)得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，過C1作C1E⊥B2C于E，∵B2C=B2C1=2，∴=B2O2，B2E=，∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，∠B2O2M=∠C1EC=90°，∴△C1EC≌△B2O2M，∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣；④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E，∴∠NMA=∠NAM=30°，∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，∴C1B2∥AC，∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，∵∠C1EC=90°，∴四邊形C1EO2B2是矩形，∴EO2=C1B2=2，，∴EM=，∴O2M=EO2+EM=2+，綜上所述，O2M的長(zhǎng)是或或2+或2．★考點(diǎn)五涉及綜合圖形翻轉(zhuǎn)折疊【典例5】（2018黑龍江齊齊哈爾）（12.00分）綜合與實(shí)踐折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，同學(xué)們小時(shí)候都玩過折紙，可能折過小動(dòng)物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會(huì)初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對(duì)角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論．實(shí)踐操作如圖1，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，使點(diǎn)B′落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，B'C和AD相交于點(diǎn)E，連接B′D．解決向題（1）在圖1中，①B′D和AC的位置關(guān)系為；②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是；（2）若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)（AB≠BC），如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）小紅沿對(duì)角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對(duì)稱圖形，沿對(duì)稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對(duì)稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為；拓展應(yīng)用（4）在圖2中，若∠B=30°，AB=4，當(dāng)△AB′D恰好為直角三角形時(shí)，BC的長(zhǎng)度為．【解答】解：（1）①BD′∥AC．②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是菱形；故答案為BD′∥AC，菱形；（2）①選擇②證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′=∠ACB，∴∠DAC=∠ACB′，∴AE=CE，∴△AEC是等腰三角形；∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等，∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形．（3）①當(dāng)矩形的長(zhǎng)寬相等時(shí)，滿足條件，此時(shí)矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為1：1；∵∠AB′D+∠ADB′=90°，∴y﹣30°+y=90°，②當(dāng)矩形的長(zhǎng)寬之比為：1時(shí)，滿足條件，此時(shí)可以證明四邊形ACDB′是等腰梯形，是軸對(duì)稱圖形；綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長(zhǎng)寬之比為1：1或：1；（4）∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACB′D是等腰梯形，∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，∵△AB′D是直角三角形，當(dāng)∠B′AD=90°，AB＞BC時(shí)，如圖3中，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACB′D是等腰梯形，∵∠ADB′=90°，∴四邊形ACB′D是矩形，∴∠ACB′=90°，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=6；當(dāng)∠B′AD=90°，AB＜BC時(shí)，如圖5，當(dāng)∠AB′D=90°時(shí)，如圖6，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∴四邊形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四邊形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=4，∴BC=AB÷=8；∴已知當(dāng)BC的長(zhǎng)為4或6或8或12時(shí)，△AB′D是直角三角形．故答案為：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；學(xué)科&網(wǎng)【講透練活】變式1：（2018廣西南寧）（3.00分）如圖，矩形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE、DE分別交AB于點(diǎn)O、F，且OP=OF，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)折疊，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．設(shè)EF=x，則BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF==．故選：C．變式2：．（2018貴陽）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB═2，AD=，P是BC邊上的一點(diǎn)，且BP=2CP．（1）用尺規(guī)在圖①中作出CD邊上的中點(diǎn)E，連接AE、BE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖②，在（1）的條體下，判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EP并廷長(zhǎng)交AB的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AP，不添加輔助線，△PFB能否由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形？如果能，說明理由，并寫出兩種方法（指出對(duì)稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和平移距離）【解答】解：（1）依題意作出圖形如圖①所示，（2）EB是平分∠AEC，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE=CD=1，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠AED=∠BEC，在Rt△ADE中，AD=，DE=1，∴tan∠AED==，∴∠AED=60°，∴∠BCE=∠AED=60°，∴∠AEB=180°﹣∠AED﹣∠BEC=60°=∠BEC，∴BE平分∠AEC；在Rt△ABP中，tan∠BAP==，∴∠PAB=30°，∴∠EAP=30°=∠F=∠PAB，∵CB⊥AF，∴AP=FP，∴△AEP≌△FBP，∴△PFB能由都經(jīng)過P點(diǎn)的兩次變換與△PAE組成一個(gè)等腰三角形，變換的方法為：將△BPF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°和△EPA重合，①沿PF折疊，②沿AE折疊．變式3：(2018四川省綿陽市)如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，4），C（-3，0）。動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，M沿A→C,N沿折線A→B→C，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間記為t秒。連接MN。

（1）求直線BC的解析式；（2）移動(dòng)過程中，將△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上點(diǎn)D處，求此時(shí)t值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)M,N移動(dòng)時(shí)，記△ABC在直線MN右側(cè)部分的面積為S，求S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。

（2）解：依題可得：AM=AN=t，

∵△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)點(diǎn)D重合，

∴四邊形AMDN為菱形，

作NF⊥x軸，連接AD交MN于O′，

∵A（3，0），B（0，4），

∴OA=3,OB=4，

∴AB=5,

∴M（3-t，0），

又∵△ANF∽△ABO，

∴==,

∴==,

∴AF=t，NF=t，

∴N（3-t，t），

∴O′（3-t,t），

又∵D在直線BC上，

∴×（3-t）+4=t，

∴t=，

∴D（-，）.

（3）①當(dāng)0<t≤5時(shí)（如圖2），

△ABC在直線MN右側(cè)部分為△AMN，

∴S==·AM·DF=×t×t=t,

②當(dāng)5<t≤6時(shí)，△ABC在直線MN右側(cè)部分為四邊形ABNM，如圖3

=-t+t-12.學(xué)科&網(wǎng)變式4：（2018·湖北省武漢·10分）已知點(diǎn)A（a，m）在雙曲線y=上且m＜0，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B．（1）如圖1，當(dāng)a=﹣2時(shí)，P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)C，①若t=1，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)C，求t的值．（2）如圖2，將圖1中的雙曲線y=（x＞0）沿y軸折疊得到雙曲線y=﹣（x＜0），將線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A剛好落在雙曲線y=﹣（x＜0）上的點(diǎn)D（d，n）處，求m和n的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）①如圖1﹣1中，由題意：B（﹣2，0），P（1，0），PB=PC=3，∴C（1，3）．②圖1﹣2中，由題意C（t，t+2），∵點(diǎn)C在y=上，∴t（t+2）=8，∴t=﹣4或2，（2）如圖2中，變式5：（2018包頭）（12.00分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，連接BD，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OE．當(dāng)OE=DE時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接BE，EC，過