中考數(shù)學(xué)全面突破：第十二講　銳角三角函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用

第十二講銳角三角函數(shù)及其實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)分類集訓(xùn)命題點(diǎn)1特殊角的三角函數(shù)值【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：主要考查30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的識(shí)記、正余弦的轉(zhuǎn)換及由三角函數(shù)值求出角度.2.考查形式：①三類特殊角的三角函數(shù)值識(shí)記；②與非負(fù)性結(jié)合，通過三角函數(shù)值求角度；③正弦余弦、正切余切之間的相互轉(zhuǎn)化，判斷關(guān)系式是否成立；④在實(shí)數(shù)運(yùn)算中涉及三類特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算(具體試題見實(shí)數(shù)的運(yùn)算部分)．【命題預(yù)測(cè)】特殊角的三角函數(shù)值作為識(shí)記內(nèi)容在實(shí)數(shù)運(yùn)算中考查的可能性比較大，而單獨(dú)考查也會(huì)出現(xiàn)．1.sin60°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)1.C2.下列式子錯(cuò)誤的是()A.cos40°＝sin50°B.tan15°·tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°2.D【解析】逐項(xiàng)分析如下：選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤Acos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°√Btan15°·tan75°＝eq\f(1,tan75°)×tan75°＝1√Csin2A＋cos2A＝1√D∵sin60°＝eq\f(\r(3),2)，2sin30°＝2×eq\f(1,2)＝1，∴sin60°≠2sin30°×3.已知α，β均為銳角，且滿足|sinα－eq\f(1,2)|＋eq\r(（tanβ－1）2)＝0，則α＋β＝________．3.75°【解析】由于絕對(duì)值和算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的和又為零，于是它們都為零．根據(jù)題意，得|sinα－eq\f(1,2)|＝0，eq\r(（tanβ－1）2)＝0，則sinα＝eq\f(1,2)，tanβ＝1，又因?yàn)棣痢ⅵ戮鶠殇J角，則α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°.命題點(diǎn)2直角三角形的邊角關(guān)系【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：在直角三角形中，三邊與兩個(gè)銳角之間關(guān)系的互化.2.考查形式：已知一邊及某銳角的三角函數(shù)值，求其他量，或結(jié)合直角坐標(biāo)系求銳角三角函數(shù)值．【命題預(yù)測(cè)】直角三角形的邊角關(guān)系是解直角三角形實(shí)際應(yīng)用問題的基礎(chǔ)，值得關(guān)注．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3)，那么cosα的值是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)4.D【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，∵A(4，3)，∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5，∴cosα＝eq\f(OB,OA)＝eq\f(4,5).5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm.則BC的長度為()A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm5.C【解析】∵sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5)，∴設(shè)BC＝4a，則AB＝5a，AC＝eq\r(（5a）2－（4a）2)＝3a，∴3a＝6，即a＝2，故BC＝4a＝8cm.6.已知：如圖，在銳角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝eq\f(AD,c)，則AD＝csin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝________，則AD＝________．所以csin∠B＝bsin∠C，即eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，進(jìn)一步即得正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(此定理適合任意銳角三角形)參照利用正弦定理解答下題：在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的長．6.解：∵sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(AD,b)，∴AD＝bsinC，由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∵∠B＝75°，∠C＝45°，∴∠A＝60°，∴eq\f(2,sin60°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴AB＝2×eq\f(\r(2),2)÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(6),3).命題點(diǎn)3銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【命題規(guī)律】1.考查內(nèi)容：主要考查利用幾何建模思想，將實(shí)際問題抽象為幾何中的直角三角形的有關(guān)問題，并根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系解決實(shí)際問題.2.考查形式：①仰角、俯角問題；②方位角問題；③坡度、坡角問題；④測(cè)量問題等．【命題預(yù)測(cè)】銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題并加以解決的數(shù)學(xué)建模題型，是全國命題的趨勢(shì)．7.小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等，小明將PB拉到PB′的位置，測(cè)得∠PB′C＝α(B′C為水平線)，測(cè)角儀B′D的高度為1米，則旗桿PA的高度為()A.eq\f(1,1－sinα)B.eq\f(1,1＋sinα)C.eq\f(1,1－cosα)D.eq\f(1,1＋cosα)7.A【解析】在Rt△PCB′中，sinα＝eq\f(PC,PB′)，∴PC＝PB′·sinα，又∵B′D＝AC＝1，則PB′·sinα＋1＝PA，而PB′＝PA，∴PA＝eq\f(1,1－sinα).8.如圖①是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖②所示的幾何圖形，已知BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，則點(diǎn)B到CD的距離為________cm(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.結(jié)果精確到0.1cm，可用科學(xué)計(jì)算器)．8.14.1【解析】如解圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，∴∠CBE＝20°，在Rt△CBE中，BE＝BC·cos∠CBE≈15×0.940＝14.1(cm)．第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，一艘漁船位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔18海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東55°方向上的B處，此時(shí)漁船與燈塔P的距離約為________海里．(結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)9.11【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝eq\f(1,2)PA＝9海里．∵∠B＝55°，sinB＝eq\f(PM,PB)，∴0.8＝eq\f(9,PB)，∴PB≈11海里．10.如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1m，則旗桿高BC為__________m．(結(jié)果保留根號(hào))10.10eq\r(3)＋1【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，則AE＝CD＝10m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×eq\r(3)＝10eq\r(3)m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10eq\r(3)＋1)m.11.如圖，大樓AB右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測(cè)得障礙物邊緣點(diǎn)C的俯角為30°，測(cè)得大樓頂端A的仰角為45°(點(diǎn)B、C、E在同一水平直線上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障礙物B、C兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)11.解：如解圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，則四邊形FBED為矩形，∴FD＝BE，BF＝DE＝10，F(xiàn)D∥BE，由題意得：∠FDC＝30°，∠ADF＝45°，∵FD∥BE，∴∠DCE＝∠FDC＝30°，在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝10，∠DCE＝30°，∵tan∠DCE＝eq\f(DE,CE)，∴CE＝eq\f(10,tan30°)＝10eq\r(3)，在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝∠FAD＝45°，∴FD＝AF，又∵AB＝80，BF＝10，∴FD＝AF＝AB－BF＝80－10＝70，∴BC＝BE－CE＝FD－CE＝70－10eq\r(3)≈52.7(m)．答：障礙物B、C兩點(diǎn)間的距離約為52.7m．12.某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1∶1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面AC的坡度為1∶eq\r(3).(1)求新坡面的坡角α；(2)天橋底部的正前方8米處(PB的長)的文化墻PM是否需要拆除？請(qǐng)說明理由．12.解：(1)∵新坡面AC的坡度為1∶eq\r(3)，∴tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度數(shù)為30°.(2)原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．理由如下：如解圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，∵坡面BC的坡度為1∶1，∴BD＝CD＝6米，∵新坡面AC的坡度為1∶eq\r(3)，∴CD∶AD＝1∶eq\r(3)，∴AD＝6eq\r(3)米，∴AB＝AD－BD＝(6eq\r(3)－6)米＜8米，故正前方的文化墻PM不需拆除．答：原天橋底部正前方8米處的文化墻PM不需要拆除．13.如圖，某無人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B，D，從無人機(jī)A上看目標(biāo)B，D的俯角分別為30°，60°，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60m，隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30eq\r(3)m到達(dá)A′處．(1)求A，B之間的距離；(2)求從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值．13.解：(1)如解圖，過點(diǎn)D作DE⊥AA′于點(diǎn)E，由題意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，又∵AC＝60m，在Rt△ABC中，sinB＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(1,2)＝eq\f(60,AB)，∴AB＝120m.答：A，B之間的距離為120m．(2)如解圖，連接A′D，作A′E⊥BC交BC延長線于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，∴四邊形AA′EC為矩形，∴A′E＝AC＝60m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝eq\f(AC,CD)，即eq\r(5)＝eq\f(60,CD)，∴CD＝20eq\r(3)m，∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30eq\r(3)＋20eq\r(3)＝50eq\r(3)m，∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝eq\f(A′E,DE)＝eq\f(60,50\r(3))＝eq\f(2\r(3),5)，答：從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值為eq\f(2\r(3),5).

中考沖刺集訓(xùn)一、選擇題1.一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說法正確的是()A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10°C.AC＝1.2tan10°米D.AB＝eq\f(1.2,cos10°)米第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖，以O(shè)為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)(不與A，B重合)，連接OP，設(shè)∠POB＝α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.(sinα，sinα)B.(cosα，cosα)C.(cosα，sinα)D.(sinα，cosα)3.一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA＝4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要()A.eq\f(4,sinθ)米2B.eq\f(4,cosθ)米2C.(4＋eq\f(4,tanθ))米2D.(4＋4tanθ)米24.如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB，PQ相交于點(diǎn)M，則圖中∠QMB的正切值是()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\r(3)D.2第4題圖第5題圖第6題圖5.如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1∶eq\r(3)，則大樓AB的高度約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)()A.30.6B.32.1C.37.9D.39.46.如圖，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長3eq\r(2)m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)到AC′的位置，此時(shí)露在水面上的魚線B′C′為3eq\r(3)m，則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是()A.60°B.45°C.15°D.90°二、填空題7.如圖，點(diǎn)A(3，t)在第一象限，射線OA與x軸所夾的銳角為α，tanα＝eq\f(3,2)，則t的值是________．第7題圖第8題圖第9題圖8.如圖是矗立在高速公路邊水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為______米．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)9.如圖，航拍無人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC約為________米．(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73)三、解答題10.如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿CD的高度，先在教學(xué)樓的底端A點(diǎn)處，觀測(cè)到旗桿頂端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教學(xué)樓上的B處，觀測(cè)到旗桿底端D的俯角是30°.已知教學(xué)樓AB高4米．(1)求教學(xué)樓與旗桿的水平距離AD；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求旗桿CD的高度．11.圖為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖，燈臂AO長為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°，由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC(不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(3)≈1.73)．12.閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝2＋eq\r(3)根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓接?jì)算下列問題：(1)計(jì)算sin15°；(2)某校在開展愛國主義教育活動(dòng)中，來到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)來測(cè)量如圖紀(jì)念碑的高度，已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°，DC為eq\r(3)米，請(qǐng)你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度．答案與解析：1.B第2題解圖2.C【解析】如解圖，過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，則在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)．3.D【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯長為(4＋4tanθ)米，寬為1米，其面積為(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.4.D【解析】如解圖，將AB平移到PE位置，連接QE,則PQ＝2eq\r(10)，PE＝2eq\r(2)，QE＝4eq\r(2)，∵△PEQ中，PE2＋QE2＝PQ2，則∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝eq\f(QE,PE)＝2.第4題解圖第5題解圖5.D【解析】如解圖，設(shè)AB與DC的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BH⊥ED于點(diǎn)H，則可得四邊形GDEF為矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝eq\f(BG,CG)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6eq\r(3)，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6eq\r(3)＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6eq\r(3)≈39.4(米)．6.C【解析】∵sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB′＝45°，∵sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15°.第7題解圖7.eq\f(9,2)【解析】如解圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B.∵點(diǎn)A(3，t)在第一象限，∴OB＝3，AB＝t，在Rt△ABO中，tanα＝eq\f(AB,OB)＝eq\f(t,3)＝eq\f(3,2)，解得t＝eq\f(9,2).8.2.9【解析】在Rt△AMD中，DM＝tan∠DAM×AM＝tan45°×4＝4米，在Rt△BMC中，CM＝tan∠MBC×BM＝tan30°×12＝4eq\r(3)米，故CD＝CM－DM＝4eq\r(3)－4≈2.9米．9.208【解析】在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BA