考點6 與二次函數(shù)解析式相關的代數(shù)式的符號辨析（解析版）

二次函數(shù)的解析式中，a，b，c，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，4a＋2b＋c等一系列的代數(shù)式的符號的確定涉及到的知識比較多，有一些式子的變形也比較靈活，中考中也是頻繁的出現(xiàn)，這類題通常會以選擇題或填空題的方式出現(xiàn)．★★★○○○○二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象為拋物線，頂點坐標為(，)對稱軸為直線x＝；當a＞0時，開口向上，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，x＝時，y有最小值．當a＜0時，開口向下，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，x＝時，y有最小值．1.①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時(即ab＞0)，對稱軸在y軸左側；當a與b異號時(即ab＜0)，對稱軸在y軸右側(簡稱：左同右異)．③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于(0，c)．2.當b2－4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b2－4ac＝0，拋物線與x軸有一個交點；當b2－4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．3.2a與b或2a與－b的大小比較看對稱軸與1或－1的大小關系；當出現(xiàn)a＋b＋c和a－b＋c時看x＝1和x＝－1時的函數(shù)值進行判定4a＋2b＋c，4a－2b＋c，9a＋3b＋c，9a－3b＋c也是分別看x＝±2，x＝±3時的函數(shù)值．4.判別函數(shù)值的大小的判別，先看是否在對稱軸的同側，若在對稱軸的同側，則根據(jù)二次函數(shù)的性質來判斷，若在對稱軸的異側，則根據(jù)對應的兩點與對稱軸的距離的遠近來確定函數(shù)值的大?。?.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點的坐標分別為(x1，0)(x2，0)，則x，x分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個實數(shù)根．例1.如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，其對稱軸為x＝－l，且過點(－3，0).下列說法：①abc＜0；②2a－b＝O；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，是拋物線上兩點，則y1>y2，其中說法正確的有()A.4個B.3個C.2個D.1個【答案】B∵b＝2a，∴2a?b＝0，∴②正確；把x＝2代入y＝ax2＋bx＋c得：y＝4a＋2b＋c，從圖象可知，當x＝2時y>0，即4a＋2b＋c>0，∴③錯誤；∵(?5，y1)關于直線x＝?1的對稱點的坐標是(3，y1)，又∵當x>?1時，y隨x的增大而增大，3>，∴y1>y2，∴④正確；即正確的有3個．故選B．學科@網例2.拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，那么下面六個代數(shù)式：①abc；②b2－4ac；③a－b＋c；④a＋b＋c；⑤2a－b；⑥9a－4b中，值小于0的有()．A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】C例3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為x＝1，給出下列結論：①abc＞0；②b2＝4ac；③4a＋2b＋c＞0；④3a＋c＞0，其中，正確的結論是______．(寫出正確結論的序號)【答案】①④1.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)QUOTEy=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列結論中正確的個數(shù)是()QUOTE①ac>0①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0；③隨x的增大而增大；④a－b＋c＜0，A.4個B.3個C.2個D.1個【答案】C【解析】由圖像可知，a＜0，c>0，∴ac＜0，故①錯誤；由圖像可知，方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0，故②正確；由圖像可知，在對稱軸左側y隨x的增大而增大；故③錯誤；由圖像可知，x＝－1時，y＜0，即－b＋c＜0，故④正確；故選C．學科@網2.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象于x軸的交點坐標分別為(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2，圖象上有一點M(x0，y0)在x軸下方，對于以下說法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝y(tǒng)0的解；③x1＜x0＜x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正確的有A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤【答案】B3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x＝2，下列結論：(1)4a＋b＝0；(2)9a＋c＞3b；(3)8a＋7b＋2c＞0；(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣，y2)、點C(，y3)在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；(5)若方程a(x＋1)(x﹣5)＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2．其中正確結論的序號是_______________．(在橫線上填上你認為所有正確結論的序號)【答案】(1)(3)(5)QUOTE135(每道試題10分，總計100分)1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結論中正確的有()個①2a＋b＝0②當x＜1時，y隨x的增大而增大③c＜0④9a＋3b＋c＝0⑤b2－4ac>0A.2B.3C.4D.5【答案】C2.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖，則下列結論：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a－b＋c＜0.其中正確的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】試題解析：∵拋物線的圖象開口向下，與y軸的交點在x軸的上方，

∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴①正確；

∵拋物線的對稱軸在y軸的右邊，∴－＞0，∴＜0，

即方程ax2＋bx＋c＝0的兩根之和－＞0，∴②正確；

在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y隨x的增大而減小，∴③錯誤；

把x＝－1代入拋物線得：y＝a－b＋c＜0，∴④正確；故選D.學科@網3.如圖是拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，拋物線的頂點坐標A(1，3)，與x軸的一個交點為B，直線y2＝mx＋n(m≠0)經過A、B兩點，下列結論：①當x＜1時，有y1＜y2；②a＋b＋c＝m＋n；③b2﹣4ac＝﹣12a；④若m﹣n＝﹣5，則B點坐標為(4，0)其中正確的是(

)

A.①B.①②C.①②③D.①②③④【答案】D4.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致圖象，關于該二次函數(shù)下列說法正確的是()A.a＞0，b＜0，c＞0． B.b2﹣4ac＜0．C.當﹣1＜x＜2時，y＞0． D.當x>2時，y隨x的增大而增大．【答案】D【解析】∵拋物線開口向上，∴a>0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側，∴b＜0，∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，∴c＜0，所以A選項錯誤；∵拋物線與x軸有2個交點，∴△＝b2?4ac>0，所以B選項錯誤；∵拋物線與x軸交于點(?1，0)、(2，0)，∴當?1＜x＜2時，y＜0，所以C選項錯誤；∵x>2在對稱軸的右側，∴y隨x的增大而增大，所以D選項正確．故選D．學科@網5.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，其對稱軸為x＝1，下列結論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若，是拋物線上兩點，則y1＜y2其中結論正確的是()A．①② B．②③ C．②④ D．①③④【答案】C6.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC．則下列結論：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA?OB＝－．其中正確結論的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【答案】B．7.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的圖象如圖所示，下列結論：①abc＜0；②2a＋b＜0；③b2﹣4ac＝0；④8a＋c＜0；⑤a:b:c＝﹣1:2:3，其中正確的結論有______．【答案】①④⑤【解析】①∵開口向下，∴a＜0，∵與y軸交于正半軸，∴c＞0，∵對稱軸在y軸右側，∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；∵二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝1，即二次函數(shù)的頂點的橫坐標為x＝＝1，∴2a＋b＝0，故②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故③錯誤；∵b＝﹣2a，∴可將拋物線的解析式化為：y＝ax2﹣2ax＋c(a≠0)；由函數(shù)的圖象知：當x＝﹣2時，y＜0；即4a﹣(﹣4a)＋c＝8a＋c＜0，故④正確；∵二次函數(shù)的圖象和x軸的一個交點時(﹣1，0)，對稱軸是直線x＝1，∴另一個交點的坐標是(3，0)，∴設y＝ax2＋bx＋c＝a(x﹣3)(x＋1)＝ax2﹣2ax﹣3a，即a＝a，b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴a:b:c＝a:(﹣2a):(﹣3a)＝﹣1:2:3，故⑤正確；故答案為：①④⑤．學科@網8.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，則下列6個結論正確的有________個.①ac＜0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c>0；④對于任意x均有ax2＋bx≥a＋b；⑤3a＋c＝0；⑥b＋2c＜0；⑦當x>1時，y隨著x的增大而減小【答案】5如圖，當x＝－1時，y＝0，即a－b＋c＝3a＋c＝0，故⑤正確的；⑥∵函數(shù)的圖象與y軸負半軸相交一點，∴c＜0，又∵由①可知:b＜0，∴b＋2c＜0，故⑥正確；⑦如圖所示:當x>1時，y隨著x的增大而增大，故⑦是錯誤的;綜合上述可得:①②④⑤⑥共5個正確的;故答案是5．學科@網9.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為－1，3.與y軸負半軸交于點C，在下面五個結論中:①2a＋b＝0;②a＋b＋c>0;③c＝－3a;④abc>0.⑤b2－4ac＜0其中正確的結論是.(只填序號)

【答案】①③④10.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，給出下列結論：①abc＞0；②a﹣b＋c＜0；③2a＋b﹣c＜0；④4a＋2b＋c＞0，⑤若點(﹣，y1)和(，y2)在該圖象上，則y1＞y2．其中正確的結論是_____(填入正確結論的序號)【答案】②③④________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________