第2講 代數(shù)式、整式的運(yùn)算

第2講代數(shù)式、整式的運(yùn)算課前必讀課標(biāo)要求1.在實(shí)際情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義.2.能分析簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示.3.能解釋一些簡(jiǎn)單代數(shù)式的實(shí)際背景或幾何意義.4.會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問(wèn)題查閱資料，找到所需

要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算.5.了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì).6.了解整式的概念，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減運(yùn)算；會(huì)進(jìn)行

簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算(其中的多項(xiàng)式相乘僅指一次式相乘).7.會(huì)推導(dǎo)乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2

＝

a2

＋

2ab

＋

b2，了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算.網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)梳理

代數(shù)式、整式1．代數(shù)式： (1)定義：用____________________________________ _______把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的式子稱代數(shù)式．注意單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式． (2)列代數(shù)式：用含有___________________的式子把問(wèn)題中的_____關(guān)系表示出來(lái)． (3)求代數(shù)式的值：用具體____代替代數(shù)式中的____，按照代數(shù)式中指明的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算得出結(jié)果，叫求代數(shù)式的值．基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方等)數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)數(shù)量數(shù)值字母名師助學(xué)列代數(shù)式要注意：(1)數(shù)與字母，字母與字母相乘時(shí)，可省略×或用·.(2)數(shù)字通常寫在字母前面．(3)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，帶分?jǐn)?shù)要寫成假分?jǐn)?shù)．(4)除法運(yùn)算一般用分?jǐn)?shù)形式表示．2．整式：_______和______統(tǒng)稱整式．3．單項(xiàng)式： (1)定義：_____與_____的積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式．單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式． (2)系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的_____因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)． (3)次數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中所有字母的_________叫單項(xiàng)式的次數(shù)．4．多項(xiàng)式： (1)定義：幾個(gè)_______的和就是多項(xiàng)式． (2)多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中__________就是多項(xiàng)式的項(xiàng)． (3)次數(shù)：多項(xiàng)式中___________________是多項(xiàng)式的次數(shù)．單項(xiàng)式多項(xiàng)式數(shù)字字母數(shù)字指數(shù)之和單項(xiàng)式每個(gè)單項(xiàng)式次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)5．同類項(xiàng)： (1)定義：所含_____相同，且_________的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)． (2)合并同類項(xiàng)法則：同類項(xiàng)的_________，所得結(jié)果作為系數(shù)，_____和_________不變．字母相同字母字母系數(shù)相加字母指數(shù)

整式的運(yùn)算1．去括號(hào)法則： (1)若括號(hào)外是正因數(shù)，則去括號(hào)后括號(hào)里的各項(xiàng)都____ __； (2)若括號(hào)外是負(fù)因數(shù)，則去括號(hào)后括號(hào)里的各項(xiàng)都__ __．2．整式的加減運(yùn)算：先去括號(hào)，再合并_______．3．整式的乘除運(yùn)算： (1)單項(xiàng)式×單項(xiàng)式

①________；②____________；③_________________．不變號(hào)變號(hào)同類項(xiàng)系數(shù)相乘同底數(shù)冪相乘單獨(dú)一個(gè)字母照抄(2)單項(xiàng)式×多項(xiàng)式①_______________________；②積相加．(3)多項(xiàng)式×多項(xiàng)式①_____________________________________________；②積相加．(4)單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式①_________；②____________；③___________________________．(5)多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式①_________________________；②商相加．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)系數(shù)相除同底數(shù)冪相除只在被除式里出現(xiàn)的字母照抄多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式(6)乘法公式①平方差公式：__________________；②完全平方公式：___________________．(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2＝a2±2ab＋b2

名師助學(xué)完全平方有三項(xiàng)，首尾符號(hào)是同鄉(xiāng)；首平方、尾平方，首尾二倍放中央．

冪的運(yùn)算法則冪的運(yùn)算法則(m、n是整數(shù)，p是正整數(shù))：1．a(chǎn)m·an＝____；2．(am)n＝___；3．(ab)n＝___；4．a(chǎn)m÷an＝_____(a≠0)；5．a(chǎn)0＝__(a≠0)；am＋namnanbnam－n1名師助學(xué)1．推廣：(1)am·an·ap＝am＋n＋p； (2)(abc)n＝an·bn·cn.2．變形逆向應(yīng)用：(a)mn＝(am)n＝(an)m.對(duì)接中考

常考角度1．以社會(huì)、生活、實(shí)踐等為實(shí)際背景命制題目．2．規(guī)律題、與幾何圖形和數(shù)字有關(guān)的題目．對(duì)接點(diǎn)一：列代數(shù)式問(wèn)題【例題】(2013·濱州)觀察下列各式的計(jì)算過(guò)程： 5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …

請(qǐng)猜測(cè)，第n個(gè)算式(n為正整數(shù))應(yīng)表示為________．

解析

∵5×5＝0×1×100＋25， 15×15＝1×2×100＋25， 25×25＝2×3×100＋25， 35×35＝3×4×100＋25， …

∴第n個(gè)算式(n為正整數(shù))應(yīng)表示為：100n(n－1)＋25.

答案

[10(n－1)＋5]×[10(n－1)＋5]

＝100n(n－1)＋251．抓住數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵詞挖掘相應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系，如：大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、增加到等．2．掌握常用的數(shù)學(xué)用語(yǔ)，如平方和、平方差等．3．通過(guò)觀察、猜想、歸納或者借助函數(shù)工具分析題目中的數(shù)、式、圖形所表示的規(guī)律．【預(yù)測(cè)1】如圖，用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)是 (

) A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1

解析第1個(gè)圖形中有5個(gè)棋子，第2個(gè)圖形中有11個(gè)棋子，第3個(gè)圖形中有17個(gè)棋子，故第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)是6n－1.也可用代入驗(yàn)證法．

答案

C【預(yù)測(cè)2】把四張形狀大小完全相同的小長(zhǎng)方形卡片如圖(1)不重疊地放在一個(gè)底面為長(zhǎng)方形(長(zhǎng)為mcm，寬為 ncm)的盒子底部，如圖(2)盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖(2)中兩塊陰影部分的周長(zhǎng)和是 (

) A．4mcm B．4ncm C．2(m＋n)cm D．4(m－n)cm

解析設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，

上面的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：2(m－a＋n－a)，

下面的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：2(m－2b＋n－2b)，

兩式相加得，總周長(zhǎng)：4m＋4n－4(a＋2b)．

∵a＋2b＝m(由圖可得)，

∴總周長(zhǎng)＝4m＋4n－4(a＋2b)＝4n.

答案

B【預(yù)測(cè)3】體育委員帶了500元錢去買體育用品，已知一個(gè)足球a元，一個(gè)籃球b元．則代數(shù)式500－3a－2b表示的意義為________________________________________．

解析

∵買一個(gè)足球a元，一個(gè)籃球b元，

∴3a表示體育委員買了3個(gè)足球，2b表示買了2個(gè)籃球．

∴代數(shù)式500－3a－2b表示體育委員買了3個(gè)足球、2個(gè)籃球后剩余的費(fèi)用．

答案體育委員買了3個(gè)足球、2個(gè)籃球后剩余的費(fèi)用．【預(yù)測(cè)4】通信市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，某通信公司的手機(jī)市話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按原標(biāo)準(zhǔn)每分鐘降低a元后，再次下調(diào)了20%，現(xiàn)在收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每分鐘b元，則原收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每分鐘________元．

解析要求原收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每分鐘為多少元，要從后面的條件著手分析，明確現(xiàn)在的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)相當(dāng)于降價(jià)a元后的(1－20%)，在這里的單位“1”是降價(jià)a元后的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而逐步完成．【預(yù)測(cè)5】某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，4月份比3月份減少了10%，5月份比4月份增加了15%，則5月份的產(chǎn)值是 (

) A．(a－10%)(a＋15%)萬(wàn)元 B．(1－10%)(1＋15%)a萬(wàn)元 C．(a－10%＋15%)萬(wàn)元 D．(1－10%＋15%)a萬(wàn)元

解析因?yàn)?月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，4月份比3月份減少了10%，所以4月份的產(chǎn)量為(1－10%)a萬(wàn)元，又5月份比4月份增加了15%，所以5月份的產(chǎn)量為(1－10%)(1＋15%)a萬(wàn)元．故選B.

答案

B

?？冀嵌?．直接求值型.2.程序型.3.化簡(jiǎn)求值型．4．整體代入型.5.定義新運(yùn)算型．對(duì)接點(diǎn)二：求代數(shù)式的值問(wèn)題

答案

D

答案

2

答案

8【預(yù)測(cè)2】當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，代數(shù)式a2－ab

的值是________．

解析直接代入求值即可．

答案－1【預(yù)測(cè)3】如果a－3b＝－3，那么代數(shù)式

5－a＋3b的值是________．

解析用整體代入法即可，5－a＋3b＝5－(a－3b)＝5－(－3)＝8.

答案

8【預(yù)測(cè)4】先化簡(jiǎn)，再求值：

解原式＝a2－2ab＋2(a2－b2)＋(a2＋2ab＋b2)

＝a2－2ab＋2a2－2b2＋a2＋2ab＋b2

＝4a2－b2，

解析由同類項(xiàng)的定義可知x＝2且x－y＝3，即x＝2，y＝－1.∴yx＝(－1)2＝1.

答案

1【預(yù)測(cè)6】先化簡(jiǎn)，再求值： (x＋3)(x－3)－x(x－2)，其中x＝4.

解

(x＋3)(x－3)－x(x－2)

＝x2－9－x2＋2x

＝2x－9.

當(dāng)x＝4時(shí)，原式＝2x－9＝2×4－9＝－1.

?？冀嵌?．整式的加、減、乘、除運(yùn)算．2．乘法公式．對(duì)接點(diǎn)三：整式運(yùn)算問(wèn)題【例題1】(2013·湖南湘西)下列運(yùn)算正確的是 (

) A．a(chǎn)2·a4＝a8

B．(x－2)(x＋3)＝x2－6 C．(x－2)2＝x2－4

D．2a＋3a＝5a

解析

A中，a2·a4＝a6，∴A錯(cuò)誤；B中，(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，∴B錯(cuò)誤；C中，(x－2)2＝x2－4x＋4，∴C錯(cuò)誤；D中，2a＋3a＝(2＋3)a＝5a，∴D正確．

答案

D

分析原式第一項(xiàng)利用完全平方公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用平方差公式展開，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將a的值代入計(jì)算即可求出值．1．在運(yùn)算的過(guò)程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處理．2．在應(yīng)用乘法公式時(shí)，要充分理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析是否符合乘法公式的條件．【預(yù)測(cè)1】計(jì)算(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2的值．

解原式＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab.【預(yù)測(cè)2】計(jì)算下列各題： (1)(－x)5·(－x)2； (2)(－2ab2)3÷(－b2)2－2a(a2b2－1)； (3)(3a6x3－9ax5)÷(－3ax3)； (4)4(x＋y)(x－y)－(2x＋y)2； (5)(2x－5)(x＋5)－(3x－4)(4－3x)．

解

(1)原式＝(－x)7＝(－1)7x7＝－x7.(4)原式＝4(x2－y2)－(4x2＋4xy＋y2)

＝4x2－4y2－4x2－4xy－y2

＝－4xy－5y2.(5)原式＝(2x－5)(x＋5)＋(3x－4)2

＝2x2＋10x－5x－25＋9x2－24x＋16

＝11x2－19x－9.

常考角度1．直接用運(yùn)算法則．2．逆向、變形用運(yùn)算法則．對(duì)接點(diǎn)四：冪的運(yùn)算問(wèn)題【例題1】(2013·佛山)下列計(jì)算正確的是 (

) A．a(chǎn)3·a4＝a12 B．(a3)4＝a7 C．(a2b)3＝a6b3 D．a(chǎn)3÷a4＝a(a≠0)

解析

A．應(yīng)為a3·a4＝a7，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．應(yīng)為(a3)4＝a12，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C．每個(gè)因式都分別乘方，正確；

答案

C【例題2】(2013·涼山州)你認(rèn)為下列各式正確的是(

) A．a(chǎn)2＝(－a)2 B．a(chǎn)3＝(－a)3 C．－a2＝|－a2| D．a(chǎn)3＝|a3|

解析

A．a(chǎn)2＝(－a)2，本選項(xiàng)正確； B．a(chǎn)3＝－(－a)3，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C．－a2＝－|－a2|，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D．當(dāng)a＝－2時(shí)，a3＝－8，|a3|＝8，本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案

A【預(yù)測(cè)1】下列運(yùn)算正確的是 (

)

A．a(chǎn)3·a2＝a6

B．(x3)3＝x6 C．x5＋x5＝x10

D．(－ab)5÷(－ab)2＝－a3b3

解析因a3·a2＝a5，所以A錯(cuò)；(x3)3＝x9，所以B錯(cuò)；x5＋x5＝2x5，所以C錯(cuò)，故選D.

答案

D【預(yù)測(cè)2】下列計(jì)算正確的是 (

) A．2a2·a3＝2a6 B．(3a2)3＝9a6 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．(a－2)3＝a－6

解析因2a2·a3＝2a5，A錯(cuò)；(3a2)3＝27a6，B錯(cuò)；a6÷a2＝a4，C錯(cuò)；(a－2)3＝a－6

對(duì)，故選D.

答案

D【預(yù)測(cè)3】在①a·a5；②(－a2)3；③a12÷a2；④a2·a3中，計(jì)算結(jié)果為a6的個(gè)數(shù)是 (

) A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

解析因a·a5＝a6； (－a2)3＝－a6；a12÷a2＝a10； a2·