空間直線、平面的平行

8.5空間直線、平面的平行

【知識點(diǎn)一】直線與直線平行

a//b]

1.平行公理（公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：〃今

b//c]

2.等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等.

【知識點(diǎn)二】直線與平面平行的判定

線面平行的判定定理

表示

圖形文字符號

定理

平面外一條直線與此平a^a

直線與平面平行的判

面內(nèi)一條直線平行,則bua?=>a〃a

定定理

該直線與此平面平行

【知識點(diǎn)三】平面與平面平行的判定定理

面面平行的判定定理

表示

圖形文字符號

定理

一個平面內(nèi)的兩條相QU夕、

buB

平面與平面平行交直線與另一個平面

a

的判定定理平行，則這兩個平面

口alla

平行h//a>

【知識點(diǎn)四】直線與平面平行的性質(zhì)

線面平行的性質(zhì)

一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與

文字語言

該直線平行

符號語言alla,qu￡,aCB=b0a//b

圖形語言

么b/

【知識點(diǎn)五】平面與平面平行的性質(zhì)

兩平面平行的性質(zhì)定理

文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

符號語言aUp,ar)Y=a,pny=bUaUb

圖形語言

【例1-1】下列四個結(jié)論中錯誤命題的個數(shù)是

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

②平行于同一直線的兩直線平行：

③若直線a,b,c滿足hl-c,則a_Lc；

④若直線八，/2是異面直線，則與/1，/2都相交的兩條直線是異面直線.

【變式1】下列三種說法：

①若直線6相交，b,c相交，則a,c相交；

②若a〃兒則a,6與c所成的角相等；

③若a_L6,bYc,則a〃c.

其中正確的個數(shù)是.

【例1-2】（公理4與等角定理的應(yīng)用）如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—ABC1D、中，M,N

分別是棱8,力。的中點(diǎn).求證：

(1)四邊形是梯形;

⑵/DNM=ZDiAiCi.

【變式1】如圖所示，已知E,F,G,，分別是空間四邊形488的邊BC,CD,的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,G,，四點(diǎn)共面；

(2)若NC1.8。，求證：四邊形EFG”是矩形.

【例2-1】如圖，正方體ABC?！狝4G3中，E為。2中點(diǎn).求證：〃平面MC.

AB

【變式1】如圖，四邊形是平行四邊形，尸是平面Z8CD外一點(diǎn)，M,N分別是48,尸C的中

點(diǎn).求證：〃平面以D

【變式2】如圖，在三棱柱48。-44a中，側(cè)棱44_1底面48。，AB1BC,。為AC的中點(diǎn),

AA,=AB=2,18c=3.求證：43"平面3CQ；

【例3-1】(平面與平面平行的證明)如如圖，在正方體1比3466〃中，S是54的中點(diǎn)，E,F,G

分別是笈7，DC,SC的中點(diǎn)，求證：

(1)直線比//平面BDAB、；

(2)平面必6//平面BD仄B、.

【變式1】如圖，在四棱錐尸一中，點(diǎn)￡為處的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，底面/8C。是平

行四邊形，對角線NC,8。交于點(diǎn)0.

求證：平面EFO〃平面PCD

【變式2】如圖，在正方體48CQ—4囪中，點(diǎn)S是囪A的中點(diǎn)，點(diǎn)￡,F,G分別是8C,DC

和SC的中點(diǎn)，求證:

(I)直線EG〃平面BDD\Bi；

(2)平面EEG〃平面BDDiBi.

【例4-1］（線面平行的性質(zhì)）如圖，用平行于四面體/8CO的一組對棱CO的平面截此四面體，求

證：截面尸0是平行四邊形.

A

D

B

N

C

【變式1】如圖所示，在四棱錐尸一”88中，底面是平行四邊形，ZC與8。交于點(diǎn)。，M是

PC的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G,過G和/尸作平面交平面8Z）/于GH,求證：AP//GH.

【變式2】如圖，在五面體￡7%8co中，已知四邊形/3CZ）為梯形，AD//BC,求證：AD//EF.

【例5-1］（面面平行的性質(zhì)）（1）如圖，平面a〃夕，A,C&a,B,D&fi,直線與。交于點(diǎn)5,

且4s'=3,BS=9,CD=34,求CS的長.

(2)如圖所示，P是三角形48c所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面/5C,a分別交線段為，PB,PC

于，，8,，C',若為'：AA'=2：3,則：SMBC等于()

A.2：25

C.2：5D.4：5

【變式1】如圖，在棱長為a的正方體N8CD-小81Goi中，E,F,P,。分別是8C,C?！盇Dx，

8。的中點(diǎn).

(1)求證：尸0〃平面。CCQi；

⑵求尸0的長；

(3)求證：EF〃平面BBQQ.

課后練習(xí)題

1.如圖所示，在三棱柱力跖A6|C|中，E,F,G,〃分別是力6,AC,A旦，AG的中點(diǎn)，求證:

(1)B,C,II,G四點(diǎn)共面；(2)A1〃平面60/G

2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB,平面BCD,BC±BD,BC=3,BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為

45°,點(diǎn)E,F分別是AC,AD的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面BCD；(2)求三棱錐A-BCD的體積.

3.如圖，四邊形48CD是矩形，網(wǎng)平面48CZ),過8c作平面8CFE交4產(chǎn)于點(diǎn)E,交DP于點(diǎn)、F,求

證：四邊形8CFE是梯形.

4.如圖所示，在四棱錐尸-/靦中，86/呼面必0,BC^-AD,"是陽的中點(diǎn).

2

(1)求證：BC//AD-,

(2)求證：紙0P面處6.

5.如圖，梯形A3CD中，BC//AD,￡是尸。的中點(diǎn)，過BC和點(diǎn)￡'的平面與R4交于點(diǎn)￡求證:

BC//EF.

D

BC

6.如圖所示，四棱錐尸一的底面48CD為矩形，E,F,〃分別為Z8,CD,尸。的中點(diǎn)，求證:

平面〃平面PCE.

7.如圖，在四棱柱/8CO-481GA中，底面Z8C。為梯形，AD//BC,平面小DCE與囪8交于點(diǎn)￡

求證：EC//A\D.

8.5空間直線、平面的平行

【知識點(diǎn)一】直線與直線平行

a//b]

1.平行公理（公理4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.符號表示：〃

b//c.

2.等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等.

【知識點(diǎn)二】直線與平面平行的判定

線面平行的判定定理

表示

圖形文字符號

定理

平面外一條直線與此平

直線與平面平行的判

面內(nèi)一條直線平行,則bUa

定定理

該直線與此平面平行Q〃〃

【知識點(diǎn)三】平面與平面平行的判定定理

面面平行的判定定理

表示

圖形文字符號

定理

一個平面內(nèi)的兩條相

bup

平面與平面平行交直線與另一個平面

^7aCb=P>^p//a

的判定定理平行，則這兩個平面

口a//a

平行h//a>

【知識點(diǎn)四】直線與平面平行的性質(zhì)

線面平行的性質(zhì)

一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與

文字語言

該直線平行

符號語言a//a,auB，aC6=bna//b

圖形語言

尤b/

【知識點(diǎn)五】平面與平面平行的性質(zhì)

兩平面平行的性質(zhì)定理

文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

符號語言aLp,ar)Y=a,priY=bUaUb

圖形語言

【例1-1】下列四個結(jié)論中錯誤命題的個數(shù)是.

①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；

②平行于同一直線的兩直線平行；

③若直線a,b,c滿足Z）±c,則。_Lc；

④若直線八，/2是異面直線，則與/1，/2都相交的兩條直線是異面直線.

【答案】2

【解析】①④均為錯誤命題.①可舉反例，如a,b,c三線兩兩垂直.

④如圖甲，c,，與異面直線右交于四個點(diǎn)，此時c,d異面；

當(dāng)點(diǎn)/在直線人上運(yùn)動（其余三點(diǎn)不動）時，會出現(xiàn)點(diǎn)力與〃重合的情形，如圖乙所示，此時c,"共

面相交.

甲乙

【變式1】下列三種說法：

①若直線”，6相交，b,C相交，則a,C相交；

②若?！?,則a,b與c所成的角相等；

③若a_L6,6_Lc,則a〃c.

其中正確的個數(shù)是.

【答案】1

【解析】若a,。相交，b,。相交，則a,c相交、平行、異面均有可能，故①不對；若b±c,

則a,。平行、相交、異面均有可能，故③不對；②正確.

【例1-2】(公理4與等角定理的應(yīng)用)如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD—A\B\C\D\中，M,N

分別是棱CD,/D的中點(diǎn).求證：

(1)四邊形A/AMiG是梯形;

Q)NDNM=NDiAC.

證明(1)如圖，連結(jié)4C,在△ZCQ中，N分別是CQ,的中點(diǎn),

是△ZCO的中位線,

J.MN//AC,且MV=；4C.

由正方體的性質(zhì)，得

AC/ZAiCi,且力C="iG.

.,.MN//A\C\,且

即MN中AC,

四邊形MNA\C\是梯形.

(2)由(1)可知，MN//AG.

久ND〃A\D\、且NONA/與小G的兩邊的方向相同，AZ￡>W=ZOdiG.

【變式1】如圖所示，已知E,F,G,，分別是空間四邊形的邊BC,CD,D4的中點(diǎn).

(1)求證：E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)若ZCL8。，求證：四邊形EFG”是矩形.

證明(1)如圖所示，連結(jié)E尸，F(xiàn)G,GH,HE,在中，“分別是力。的中點(diǎn),

J.EH//BD,且￡77=48。.同理FG〃8C,且

C.EH//FG,且EH=FG,：.E,F,G,，四點(diǎn)共面.

(2)由(1)知〃尸G,且EH=FG,四邊形EFG”為平行四邊形.

；/7G是△ZOC的中位線，:.HG〃AC.又EH〃BD,ACVBD,：.EH±HG,四邊形EFGH為矩形.

【例2-1】如圖，正方體A5CD—AeCQ1中，￡為。，中點(diǎn).求證：8。"平面A￡C.

【解析】證明：連結(jié)與AC交于點(diǎn)“，連結(jié)HE.

在口50,中，瓦〃分別為8。的中點(diǎn).

得EH//BD、.

又因?yàn)锽Q(Z平面AEC,EHu平面AEC,

所以8?！ㄆ矫鍭EC

【變式1】如圖，四邊形/8CO是平行四邊形，P是平面/8C。外一點(diǎn)，M,N分別是PC的中

點(diǎn).求證：A/N〃平面RW.

【解析】如圖，取外的中點(diǎn)G,連接Of,GN.

1

：.GN//DC,GN=-DC.

為平行四邊形4BCD的邊48的中點(diǎn)，

：.AM=^DC,AM//DC,

:.AM〃GN,AM=GN,

，四邊形AMNG為平行四邊形，.?.例￥〃AG.

又J他平面PAD,46t平面PAD,

."協(xié)〃平面PAD.

【變式2】如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱AM_L底面ABC,AB1BC,。為AC的中點(diǎn),

的=45=2,BC=3.求證：AB"平面8G。；

【答案】詳見解析

【解析】如圖所示:

連接BC與G8交于點(diǎn)0,連接0D,

因?yàn)?,，為中點(diǎn)，

所以。。/“4，

又ODu平面BCQ,A4(z平面BCQ,

所以A8"平面6G。；

【例3-1](平面與平面平行的證明)如如圖，在正方體4比9464〃中，S是A4的中點(diǎn)，E,F,G

分別是8GDC,SC的中點(diǎn)，求證:

(1)直線EGI/平面BDDA；

(2)平面分Z7//平面⑸勿心.

【解析】證明：(1)如圖，連接的，因?yàn)閰^(qū)G分別是a；SC的中點(diǎn),

所以EG//SB.

又因?yàn)镾Bu平面BDDxBy,EGB平面BDD隊(duì)

所以直線￡。//平面應(yīng)以尻

(2)連接5〃因?yàn)槭珿分別是比；SC的中點(diǎn),

所以FG//SD.

又因?yàn)镾OU平面BDLkBx,FGB平面BDDB,

所以內(nèi)G//平面8加心,

由(1)有直線房//平面質(zhì)由；

又EGU平面EFG,FGU平面EFG,EGCFG4,

所以平面母若//平面BD隊(duì)R.

【變式1】如圖，在四棱錐尸一/8C。中，點(diǎn)E為我的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為8C的中點(diǎn)，底面NBCD是平

行四邊形，對角線ZC,BD交于點(diǎn)、a

求證：平面EF。〃平面PCD

【解析】證明因?yàn)樗倪呅?3CQ是平行四邊形，4CCBZ)=O,

所以點(diǎn)。為8。的中點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，所以。尸〃CD

又OR平面尸CQ,C￡)u平面PC￡>,

所以。尸〃平面PCD,

因?yàn)辄c(diǎn)O,K分別是4C,E4的中點(diǎn)，所以0E〃尸C,

又OEQ平面PCD,PCu平面產(chǎn)。，

所以?！?〃平面PCD.

又OEu平面EFO,。尸u平面E尸O,且OECOF=O,

所以平面EFO〃平面PCD.

【變式2】如圖，在正方體/8CD—小SGDi中，點(diǎn)S是囪。1的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F,G分別是8C,DC

和SC的中點(diǎn)，求證：

(1)直線EG〃平面BDDiBi；

(2)平面EKG〃平面BDDB.

【解析】證明⑴如圖，連接S8.

D.C,

?；點(diǎn)、E,G分別是8C,SC的中點(diǎn)，

:.EG〃SB.

又；SBU平面BDD1B1,EGd平面BDDB，

，￡G〃平面BDD\B\.

(2)連接SD.

?:點(diǎn)、凡G分別是。C,SC的中點(diǎn)，

：.FG//SD.

又；S￡)u平面BOAS,FGQ平面8。￡)向，

〃平面BDDiBi.

又EG〃平面BDDi&,

且EGU平面EFG,FGU平面EFG,EGCFG=G,

，平面EFG〃平面BDD}Bi.

【例4-1](線面平行的性質(zhì))如圖，用平行于四面體N5CD的一組對棱CQ的平面截此四面體，求

證：截面必叱。是平行四邊形.

證明因?yàn)?8〃平面MNP。，平面“8CC平面MVP0=MV,且/8U平面/8C,

所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB〃MN.

同理/8〃尸。，

所以〃尸0.同理可得MQ//NP.

所以截面MNPQ是平行四邊形.

【變式1】如圖所示，在四棱錐尸一Z8CD中，底面/8C。是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)0,又是

PC的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G,過G和4尸作平面交平面于G”,求證：AP//GH.

證明連接MO.

四邊形/8C￡）是平行四邊形，

是ZC的中點(diǎn).

又是尸C的中點(diǎn)，：.AP//OM.

又丁平面BDM,OMU平面BDM,

〃平面BDM.

又平面/PG”，平面力PG，n平面8DW=GH,：.AP//GH.

【變式2】如圖，在五面體EE48CD中，已知四邊形N8CZ）為梯形，AD//BC,求證：AD//EF.

證明"：AD//BC,4DQ平面BCEF,8CU平面5CEF,

〃平面BCEF,

；U平面ADEF,平面ADEFC平面BCEF=EF,

：.AD//EF.

【例5-1】（面面平行的性質(zhì)）（1）如圖，平面a〃夕，A,Cea,B,D&p,直線N8與CD交于點(diǎn)S,

且4s'=3,BS=9,8=34,求CS的長.

證明設(shè)4B,CO共面人因?yàn)閥Aa=/C,yCl/J=BD,且a〃夕,

SCSA

所以所以△S4Csasa),所以，■，工7,R=i，

SC-vCDon

即后之7=3所以SC=17.

3(.十34y

(2)如圖所示，P是三角形/BC所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面N8C,a分別交線段為，PB,PC

于T,B',C,若Rf'：AA'=2：3,則SMEC：SA/BC等于()

A.2：25

C.2：5D.4：5

答案B

解析?.?平面a〃平面/8C,平面248與它們的交線分別為B',AB,：.AB//A'B',

同理8'C//BC,易得△NBCszX/'B'C,

S"-s—

【變式1】如圖，在棱長為。的正方體Z8C￡)-48iG￡?i中，E,F,P,0分別是8C,G?！盇D\,

8。的中點(diǎn).

⑴求證：P0〃平面Z)CCQi；

(2)求尸。的長；

(3)求證：E尸〃平面5囪。|。.

解析：(1)證明如圖，連接/C,CZ)i.因?yàn)?8C。是正方形，且。是8。的中點(diǎn)，所以。是4C的中

點(diǎn)，又尸是的中點(diǎn)，

所以PQ〃C￡h.

又P0C平面OCGOi,SC平面DCGO,

所以P0〃平面DCCiDt.

(2)解由(1)易知尸0=/C=拳a.

(3)證明方法一取囪。的中點(diǎn)。，連接下。，801,

則有F0\//B\C\且FO尸;BC.又BE〃BC且5￡=|siCi,

所以BE〃FO「BE=FO\.

所以四邊形8EF5為平行四邊形，所以EF〃5。，

又ERI平面BB[D]D,8O1U平面BB\D\D,

所以EF〃平面BB\D\D.

方法二取81G的中點(diǎn)巴，連接EE”尸Ei,

則有FEi〃3Qi,EE\//BB\,

且尸EiAE￡i=Ei,FEi,EE〔u平面EE【F,B\D\,88]U平面88。。，

所以平面EEF〃平面BBXD\D.

又EFu平面EEiF,

所以〃平面BB\D\D.

課后練習(xí)題

1.如圖所示，在三棱柱46G4用￡中，E,F,G,〃分別是46,AC,4片，4G的中點(diǎn)，求證:

(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面:

(2)A]￡〃平面8aE

【解析】(1)?:G,〃分別是4國，4G的中點(diǎn)，

/.GH//^C,,而g―

AGH//BC,即氏C,H,G四點(diǎn)共面.

(2),:E,G分別是4?,4月的中點(diǎn)，

平行且相等，所以四邊形AE5G為平行四邊形，即AE//GB,又4E仁面3C/7G，

GBu面BCHG，

AE//面5CHG,

2.如圖，在三棱錐A-BCD中，ABJ_平面BCD,BC1BD,BC=3,BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為

45°,點(diǎn)E,F分別是AC,AD的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面BCD；

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)8

【解析】

(1),:點(diǎn)E,尸分別是“；49的中點(diǎn)，

：.EF//CD,又；明平面比次平面8切,

/.EF"平面BCD；

(2)?.F8_L平面及

為直線4〃與平面6切所成的角，

ZADB=45°,AB=BD=4,

BQBD,：.SBCD=①義BCxBD=6,

三棱錐A-BCD的體積V=BCD-AB=S.

3.如圖，四邊形N88是矩形，內(nèi)平面188,過8c作平面BCFE交Z尸于點(diǎn)E,交DP于點(diǎn)F,求

證：四邊形3CFE是梯形.

【解析】

證明?.,四邊形/5CD為矩形，J.BC//AD.

：4DU平面以。，BCQ平面R4D,