專題09 解三角形（精講）

第1頁(yè)（共39頁(yè)）專題09·解三角形命題規(guī)律從近幾年高考的命題來(lái)看，文（理）科卷都是各出一個(gè)題，選填題或解答題，整體來(lái)說(shuō)難度不大?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)方面，齊次式結(jié)構(gòu)類型居多，往往利用正弦定理轉(zhuǎn)化邊角后，求出其中一個(gè)角或者得到一個(gè)新的關(guān)系式，從而進(jìn)行下一步的運(yùn)算。如果試題較難的話，可用給予條件較多的的三角形突破，有時(shí)要有方程(不等式)思想，建立未知量間的等量(不等)關(guān)系從而解決問(wèn)題。當(dāng)然，將三角形建系坐標(biāo)化有時(shí)也不失為一種好方法。備考方面，穩(wěn)固基礎(chǔ)，多去嘗試，從不同的角度去看待理解問(wèn)題，比較不同思考角度間的優(yōu)劣，該如何去做選擇。題型歸納題型1面積問(wèn)題【解題技巧】解三角形求最值，主要是兩個(gè)思路：1．利用余弦定理，借助均值不等式來(lái)求．2．利用正弦定理，邊角互化來(lái)求，化角時(shí)，要注意角的取值范圍限制．【例1】（2022?新高考卷模擬）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b＝2，且cosC=a（1）求角B的大小；（2）若△ABC是銳角三角形，求△ABC面積的取值范圍．【分析】（1）運(yùn)用兩次余弦定理可推出cosB=1（2）由正弦定理可得a=43sinA，c=43sinC，再結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式，推出ac=83sin（2A?π【解答】解：（1）由余弦定理知，cosC=a整理得，4＝a2+c2﹣ac，所以cosB=a因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π（2）由正弦定理知，asinA=b所以a=43sinA，c=4所以ac=43sinA?43sinC=163sinAsin（2π3?A）=163sinA（32cosA+12sinA）=83（3sinAcosA+sin2A）=83因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以0＜A＜π20＜C=2π3?A＜π2，解得A∈（π6，π所以sin（2A?π6）∈（12，1]，所以ac∈所以△ABC面積S=12acsinB=12ac?32∈故△ABC面積的取值范圍為（233，【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合，熟練掌握正弦、余弦定理，三角恒等變換公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．【例2】（2022春?沈河區(qū)校級(jí)期中）在①bsinA=3acosB②acosC+ccosA＝2bcosB③asinA+（c﹣a）sinC＝bsinB在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______．（1）求角B的大?。唬?）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【分析】（1）選①，由正弦定理可求得tanB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得cosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；選③，利用正弦定理以及余弦定理可求得cosB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角B的值；（2）求出角C的取值范圍，根據(jù)正弦定理可求得a的取值范圍，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果．【解答】（1）解：選①，由bsinA=3acosB及正弦定理可得∵A，B∈（0，π），則sinA＞0，所以，tanB=3，故B=選②，由acosC+ccosA＝2bcosB及正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC+cosAsinC＝sin（A+C）＝sinB，因?yàn)锽∈（0，π），則sinB＞0，所以，cosB=12，故選③，由asinA+（c﹣a）sinC＝bsinB及正弦定理可得a2+c2﹣ac＝b2，由余弦定理可得cosB=a2+c2?b2（2）解：因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且B=π則0＜C＜π2C+π3由正弦定理asinA=所以，S△ABC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．題型2周長(zhǎng)問(wèn)題【解題技巧】注意條件合理的分析轉(zhuǎn)化：1．角與對(duì)邊型：正弦定理．2．對(duì)稱邊，可余弦定理+均值不等式．【例1】（2023?瀘縣校級(jí)開學(xué)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知m→=(a+b，c?a)，n（1）求角B；（2）若b=3，求△ABC【分析】（1）由向量垂直有m→?n→=0，結(jié)合其坐標(biāo)表示可得a2+c2﹣b2（2）應(yīng)用正弦定理有asinA=bsinB=【解答】解：（1）因?yàn)閙→⊥n即（a+b）（sinA﹣sinB）+（c﹣a）sin（A+B）＝0，∴（a+b）（a﹣b）+（c﹣a）c＝0，整理得到a2﹣b2＝ac﹣c2，可以得到a2+c2﹣b2＝ac，故得到cosB=a又因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以B∈（0，π），所以B=π（2）根據(jù)正弦定理得asinA=csinC=bsinB=3又A+C=2π3，所以又0＜A＜2π3，所以π6所以得到a+b+c∈(2所以周長(zhǎng)的取值范圍(2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，屬于中檔題．【例2】（2023?黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=cos2(ωx)+3sin(ωx)cos(ωx)?12，其中（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f(A)=?1，a=3，求△ABC【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)、周期公式、對(duì)稱軸方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）f(x)=cos2因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為π2所以函數(shù)f（x）的最小正周期為2×π因?yàn)棣兀?，所以2π2ω=π?ω=1，即令2x+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得x故對(duì)稱軸為x=kπ2+π6（2）由f(A)=?1?sin(2A+因?yàn)锳∈（0，π），所以2A+π因?yàn)閍=3，所以由正弦定理可知：a解得b＝2sinB，c＝2sinC，所以三角形的周長(zhǎng)為3+2sinB+2sinC=因?yàn)锽∈(0，π3)因此sin(B+所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(23【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．題型3其他最值問(wèn)題【解題技巧】對(duì)含有正切函數(shù)求最值范圍，屬于較難題型，一般從以下幾方面分析：1．切化弦．2．在三角形中，有：．【例1】（2022?遼寧三模）在①(2c?a)sinC=(b2+c2?a2)sinBb，②cos2A?C2?cosAcosC=34，（1）求角B；（2）求2a﹣c的范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【分析】（1）選擇①：利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理，得解；選擇②：結(jié)合二倍角公式與兩角和差的余弦公式，化簡(jiǎn)可得cosB=1選擇③：利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)可得tanB=3（2）由正弦定理得a＝4sinA，c＝4sinC，進(jìn)而推出2a﹣c＝43sin（A?π【解答】解：（1）選擇①：由正弦定理及(2c?a)sinC=(得（2c﹣a）c＝b2+c2﹣a2，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，cosB=a2+c2?b22ac選擇②：因?yàn)閏os所以1+cos(A?C)2?cosAcosC=12?12（cosAcosC﹣sinAsinC）=12?12cos（A+C）=12+選擇③：由正弦定理及3cbcosA=tanA+tanB，得3sinCsinBcosA因?yàn)閠anA+tanB=sinA所以3sinC因?yàn)閟inC≠0，所以sinB=3cosB，即tanB=因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π（2）由正弦定理知，asinA所以a＝4sinA，c＝4sinC，所以2a﹣c＝8sinA﹣4sinC＝8sinA﹣4sin（2π3?A）＝8sinA﹣23cosA﹣2sinA＝6sinA﹣23cosA＝43sin（A因?yàn)锳∈（0，2π3），所以A?π6∈（?π6，π2），所以sin（A故2a﹣c＝43sin（A?π6）∈（﹣23，4【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．【例2】（2023?福州模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2﹣a2＝2c2．（1）求tanBtanA（2）求C的最大值．【分析】（1）根據(jù)tanA=sinAcosA，tanB=sinBcosB，得到tanBtanA=sinBcosB?cosAsinA，再結(jié)合正弦定理，余弦定理，b2（2）根據(jù)余弦定理，cosC=a2+b2?c【解答】解：（1）因?yàn)閠anA=sinAcosA，tanB=sinBcosB，所以根據(jù)正弦定理，余弦定理，b2﹣a2＝2c2可知，tanBtanA=sinB（2）因?yàn)閎2﹣a2＝2c2，則c2＝﹣（b2﹣a2），根據(jù)余弦定理，cosC=a2+當(dāng)且僅當(dāng)b=3a所以cosC的最小值為32，C∈（0，π則C的最大值為π6【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．題型4角平分線【解題技巧】1．角平分線“拆”面積法．2．角平分線定理：．【例1】（2022?江蘇三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=5，cosB=5（1）求sinA的值；（2）若AD是∠BAC的角平分線，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理先求出BC，然后結(jié)合同角平方關(guān)系求出sinB，再由正弦定理可求；（2）由已知結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可求AD．【解答】解：（1）△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即25＝16+BC2﹣2×4×BC×57，得7BC2﹣40BC﹣63＝0，解得由B為三角形內(nèi)角得sinB=1?co由正弦定理得sinA=BC?sinB（2）設(shè)∠BAD＝θ，AD＝x，則S△ABC＝S△ABD+S△ADC，所以12×4×5sin2θ=12△ABC中，由余弦定理得cosA=A由于cosA＝cos2θ＝2cos2θ﹣1，所以cosθ=10則AD=8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．【例2】（2022?吉林模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB=bsin(A+（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若AB＝3，AC＝1，∠BAC的內(nèi)角平分線交邊BC于點(diǎn)D，求AD→【分析】（Ⅰ）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換，求角A的大??；（Ⅱ）方法一：利用面積關(guān)系S△ABC＝S△ABD+S△ADC，列式求AD的長(zhǎng)，再求數(shù)量積；方法二：△ABD和△ADC中，分別用正弦定理求得BDDC=ABAC=31，再利用平面向量基本定理，轉(zhuǎn)化求數(shù)量積；方法三：首先利用余弦定理個(gè)求BC，在△ABD和△ADC【解答】解：（Ⅰ）∵asinB=bsin(A+由正弦定理得sinAsinB=sinBsin(A+∵sinB≠0，∴sinA=sin(A+π3∴12sinA=∵A∈（0，π），∴A=π（Ⅱ）方法一：∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，∴12∴12∴AD=334方法二：在△ABD中，由正弦定理，BDsin∠BAD在△ADC中，由正弦定理，DCsin∠DAC∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴BDDC∴AD→∴AD→方法三：在△ABC中，由余弦定理：BC∴BC=7在△ABD中，由正弦定理，BDsin∠BAD在△ADC中，由正弦定理，DCsin∠DAC∵sin∠BAD＝sin∠DAC，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴BDDC=AB在△ADC中，由余弦定理：DC2＝AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC，設(shè)AD＝x，則716即x2?3x+9在△ABC中，由余弦定理：cosC＜0，∴C是鈍角，在△ADC中AD＞AC，∴AD=3∴AD→【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．題型5中線【解題技巧】中線的處理方法：1．向量法：2．雙余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式即可【例1】（2022春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）從①sin2B﹣sin2A+sin2C﹣sinBsinC＝0，②bsinA+3在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若____．（1）求角A的大??；（2）若D是BC的中點(diǎn)，AD=3，求△ABC【分析】（1）選條件①，利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；選條件②，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；（2）依題意可得AD→=12(AB→+AC→)【解答】解：選條件①時(shí)，sin2B﹣sin2A+sin2C﹣sinBsinC＝0，根據(jù)正弦定理：b2﹣a2+c2＝bc，所以cosA=b2+c2?a選條件②時(shí)，bsinA+3利用正弦定理sinBsinA+3即sinBsinA+3sinAcosB=3因?yàn)閟inB＞0，所以sinA=3cosA，所以由于0＜A＜π，所以A=π（2）解：依題意AD→=1即4|AD所以c2+b2+bc＝12，即c2+b2＝12﹣bc≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，所以bc≤4當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取等號(hào)，所以S△ABC=12bcsinA=即(S【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．【例2】（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bsinB+C（1）求角A的大小；（2）若D為BC邊中點(diǎn)，且AD＝2，求a的最小值．【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡(jiǎn)可得cosA2=0或sinA2（2）由AD→=12（AB→+AC→），將其兩邊平方，并根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得16＝b2+【解答】解：（1）由正弦定理及bsinB+C2=asinB，知sinBsinπ?A2=因?yàn)閟inB＞0，所以sinπ?A2=sinA，即cosA2=2sinA2cosA因?yàn)锳∈（0，π），所以cosA2=0不可能成立，所以sin所以A=π（2）因?yàn)镈為BC邊中點(diǎn)，所以AD→=1所以AD→2=14（AB→2+AC→2+2AB→?AC→），所以4=1所以16＝b2+c2+bc≥2bc+bc＝3bc，即bc≤163，當(dāng)b＝c由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝16﹣bc﹣bc＝16﹣2bc≥16﹣2×163=163，當(dāng)且僅當(dāng)故a的最小值為43【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，平面向量的運(yùn)算法則，基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．題型6高線【解題技巧】高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式：如．2.三角函數(shù)法：【例1】（2022?福州模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知sinC＝2sinAsinB，點(diǎn)D在邊AB上，且CD⊥AB．（1）證明：CD=12（2）若a2+b2=6ab，求∠ACB【分析】（1）在Rt△CDB中，由銳角三角函數(shù)，得sinB=CDa，代入條件sinC＝2sinAsinB，由正弦定理角化邊得（2）由三角形等面積法，得S△ABC=12absinC=12×c×CD，代入CD=12c可得c2＝2absinC；將條件a2+b2=6ab和c2＝2absinC【解答】（1）證明：在△CDB中，因?yàn)镃D⊥AB，所以sinB=CD又因?yàn)閟inC＝2sinAsinB，所以sinCsinA=2sinB，即在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得ca故CD=1（2）解：在△ABC中，S△ABC又由（1）知，CD=12c，所以c2＝2ab在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC，又由已知，a2+b2=則2sin(C+π4因?yàn)镃∈（0，π），則C+π4∈(π4，5π4)又點(diǎn)D在邊AB上，且CD⊥AB，CD=1所以∠ACD，∠BCD必有一個(gè)大于等于π4，所以C=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)與解三角形的綜合，屬于中檔題．【例2】（2023?清新區(qū)模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且C=2π3，b3﹣a2b+ac2﹣bc（1）求A的大??；（2）若c=3，求BC【分析】（1）利用余弦定理得出c2＝a2+b2+ab，代入等式中化簡(jiǎn)即可得出b＝a，從而求得A的值．（2）由正弦定理求得a的值，求出△ABC的面積，再求BC邊上的高．【解答】解：（1）△ABC中，b3﹣a2b+ac2﹣bc2＝0，所以（b2+ab﹣c2）（b﹣a）＝0，又因?yàn)镃=2π3，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcos2π3=a2+b所以b2+ab﹣c2＝b2+ab﹣a2﹣b2﹣ab＝﹣a2≠0，所以b﹣a＝0，即A=B=π（2）因?yàn)閏=3，由正弦定理得a=又因?yàn)閎＝a＝1，所以S△ABC=12absinC=1設(shè)BC邊上的高為h，則12ah=12×1×h=即BC邊上高的長(zhǎng)度為32【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．題型7內(nèi)心問(wèn)題【解題技巧】?jī)?nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑：【例1】（2022秋?公安縣校級(jí)月考）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知（a﹣b）（sinA+sinB）＝c（sinC﹣sinB）．（1）求角A；（2）若a＝2，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=34，求△【分析】（1）將已知式子利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，再利用余弦定理可求出角A；（2）先利用面積法可求得b+c＝2bc﹣2，再結(jié)合（1）得到的式子可求出bc，從而可求出三角形的面積．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，即b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA=b又因?yàn)锳∈（0，π），故A=π（2）由已知得12?(2+b+c)?34=12又因?yàn)閎2+c2﹣4＝bc，即（b+c）2＝3bc+4，所以（2bc﹣2）2＝3bc+4，解得bc=114或所以△ABC的面積為S△ABC【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，acosB﹣bcosA＝c+b．（1）求A；（2）若a＝7且△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=32，求△【分析】（1）利用余弦定理角化邊整理可得a2＝b2+c2+bc，再結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；（2）由題意結(jié)合面積公式整理可得b+c＝bc﹣7，結(jié)合（1）中結(jié)論解得bc＝15，運(yùn)用面積公式即可結(jié)果．【解答】解：（1）∵acosB﹣bcosA＝c+b，則a×a整理得a2＝b2+c2+bc，∴cosA=b又∵A∈（0，π），∴A=2π（2）由題意可得：△ABC的面積S=1即12bc×32=12由（1）得：a2＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc，則49＝（bc﹣7）2﹣bc，解得：bc＝15或bc＝0（舍去），故△ABC的面積S=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．題型8外心問(wèn)題【解題技巧】1．外接圓的圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上；鈍角三角形外心在三角形外．2．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑．【例1】（2022春?沈河區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量m→=(b，3（1）求角B的大??；（2）若a+c＝5，△ABC外接圓面積為16π3，求△ABC【分析】（1）根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示以及正弦定理可求出結(jié)果；（2）根據(jù)外接圓面積得外接圓半徑，根據(jù)正弦定理得b，根據(jù)余弦定理得ac，根據(jù)三角形面積可得內(nèi)切圓半徑．【解答】解：（1）因?yàn)閙→與n→共線，所以根據(jù)正弦定理可得sinBsinA=3sinAcosB，因?yàn)閟inA≠0，所以因?yàn)?＜B＜π，所以B=π（2）因?yàn)椤鰽BC外接圓面積為16π3，所以△ABC外接圓的半徑R=由正弦定理得bsinB=2R，得由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac?cosB，得16=(a+c)所以16＝25﹣3ac，得ac＝3，所以S△ABC設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則33所以334=【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．【例2】（2022春?江西期末）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，a＝6．（1）求bcosC+ccosB的值；（2）若O是△ABC的外心，且3?OA→【分析】（1）利用余弦定理化簡(jiǎn)即可；（2）把3?【解答】解：（1）bcosC+ccosB=b?a2+=2（2）設(shè)△ABC外接圓的半徑是R.3?因此2R=所以R=32【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．題型9四邊形中解三角形【解題技巧】靈活運(yùn)用正余弦定理、誘導(dǎo)公式等來(lái)求解．【例1】（2022?膠州市一模）如圖，在四邊形ABCD中，△BCD為銳角三角形，CD＝4，sin∠DBC=223，cos∠（1）求BC；（2）若AB＝m，AC＝BC+m3，是否存在正整數(shù)m，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出【分析】（1）由cos∠BDC=33得sin∠BDC（2）可判斷若△ABC為鈍角三角形，則∠ABC為鈍角，可得m2+（23）2﹣（23+m3）2【解答】解：（1）∵cos∠BDC=33，∴sin∠BDC在△BCD中，CDsin∠DBC=BC解得BC＝23；（2）存在，理由如下：AC＝BC+m3=若△ABC為鈍角三角形，則∠ABC為鈍角，則m2+（23）2﹣（23+m3）2＜0，解得0＜故m＝1或m＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【例2】（2022?香坊區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知3ccosA+asinC=c（1）求角A的大小；（2）設(shè)b＝c，N是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且與A點(diǎn)分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN＝6，CN＝3，求四邊形ABNC面積的最大值．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式進(jìn)行化解即可求解A；（2）由已知結(jié)合余弦定理先表示出BC，然后結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解（1）3ccosA+asinC=c．由正弦定理得3∵sinC≠0，∴3cosA=1?sinA，即sinA+∴12sinA+3∵0＜A＜π，∴π3＜A+π即A=π（2）在△BCN中，由余弦定理得BC2＝NB2+NC2﹣2NB?NCcosN，∵BN＝6，CN＝3，∴BC2＝36+9﹣2×6×3cos∠N＝45﹣36cos∠N，由（1）和b＝c，得△ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=2∴四邊形ABCD的面積S=S∴當(dāng)N=3π4時(shí)，S取最大值即四邊形ABCD的面積的最大值是454【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，輔助角公式及三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．題型10證明【解題技巧】靈活運(yùn)用正余弦定理來(lái)求證．【例1】（2022?金山區(qū)二模）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．已知2bsinA?3a=0，且（1）求角B的大小；（2）若3c=3a+3b，證明△【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，可得sinB的值，從而得解；（2）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合正弦的兩角和公式、輔助角公式，即可得證．【解答】（1）解：由正弦定理知，asinA∵2bsinA?3a=0，∴2sinBsinA=3又在△ABC中，sinA＞0，∴2sinB=3，即sinB=∵B為銳角，∴B=π（2）證明：由正弦定理知，asinA∵3c=3a+3b，∴3sinC﹣3sinA=3sin∴3sinC﹣3sin（C+π3）=32，即sinC?12sinC?32cosC=1∴sin（C?π3）=又∵C∈（0，2π3），∴C?π3∈（?π3，π3），∴C?故△ABC是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦定理、兩角和差公式與輔助角公式等基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．【例2】（2022秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且3acosC﹣b＝0．（1）求證：tanC＝2tanA；（2）若3c=7b，求角C【分析】（1）根據(jù)正弦定理與三角形內(nèi)角和定理，利用三角恒等變換，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理求得a與b的關(guān)系，即可求出cosC與C的大?。窘獯稹浚?）證明：△ABC中，3acosC﹣b＝0，由正弦定理得3sinAcosC﹣sinB＝0，又B＝π﹣（A+C），所以3sinAcosC﹣sin（A+C）＝0，所以3sinAcosC﹣（sinAcosC+cosAsinC）＝0，所以2sinAcosC＝cosAsinC，所以2?sinAcosA=sinCcosC，即tan（2）解：若3c=7b，cosC=b3a，由余弦定理得，cos所以3（a2+b2﹣c2）＝2b2，所以3a2+b2﹣3c2＝3a2+b2﹣3×79b2＝3a2?4所以a=23b，計(jì)算cosC又因?yàn)镃∈（0，π），所以C=π【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．最新模擬一．多選題1．（2022春?長(zhǎng)沙縣期末）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a＝2、b＝3、c＝4，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．sinA：sinB：sinC＝2：3：4 B．△ABC是銳角三角形 C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍 D．△ABC內(nèi)切圓半徑為1【答案】BCD【題型】?jī)?nèi)心問(wèn)題【解析】解：因?yàn)閍＝2，b＝3，c＝4，∴sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝2：3：4，故A正確；可得c為最大邊，C為最大角，由余弦定理可得cosC=a可得C為鈍角，即△ABC的形狀是鈍角三角形．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由cosA=b由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×（78）2﹣1=1732≠?14=cosC由cosC=?14，∴sinC=154，∴S△ABC=12ab設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，∴12（a+b+c）?r＝S△ABC，∴r=156故選：BCD．二．解答題2．（2022春?金東區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且b+ca（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=3，△ABC的外心為O，求|【答案】（Ⅰ）π3．（Ⅱ）3【題型】外心問(wèn)題【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理可得sinB+sinCsinA即sin）A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=3∴3sinAsinCC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴tanA=3∵0＜A＜π，∴A=π（Ⅱ）設(shè)△ABC的外接圓圓心為R，則2R=asinA=∴|OB|＝|OC|＝1，又|BC|=3，cos∠BOC=|OB→+2OC→|2∴|OB→+2OC3．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinB?cosC=c（1）求A；（2）若A為銳角，b=3c，且BC邊上的高為23，求△【答案】（1）π6或5π6．（2）4【題型】高線【解析】解：（1）由余弦定理知，cosC=a因?yàn)閟inB?cosC=c2?a由正弦定理知，ba=sinBsinA，所以sinB因?yàn)閟inB＞0，所以sinA=1又A∈（0，π），所以A=π6或（2）因?yàn)锳為銳角，所以A=π又BC邊上的高為23，所以△ABC的面積S=12a?23=12bcsinA=14bc由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以a2＝（3c）2+c2﹣2?3c?c?32=c2由①②解得a＝4，所以△ABC的面積S=12a?23=124．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c?3（1）求A；（2）若b=14c，且BC邊上的高為2【答案】（1）π3【題型】高線【解析】解：（1）由正弦定理，原式可化為sinC?3由于sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，整理得cosAsinB?3又∵sinB≠0，∴cosA?3sinA=?1，∴∵A∈（0，π），∴A?π6∈(?即A=π（2）由S△ABC=12×a×2又b=14c，∴c2＝16a，b2由余弦定理知a2＝b2+c2﹣2bccosA＝a+16a﹣4a＝13a，解得a＝13．5．（2022春?金壇區(qū)期末）如圖，AC是平面四邊形ABCD的一條對(duì)角線，且在△ADC中，2AD﹣DC=A（1）求角D的大小；（2）若∠BAD=π3，∠ABC=5π6，AB＝2，【答案】（1）π3;（2）【題型】四邊形中解三角形【解析】解：（1）因?yàn)樵凇鰽DC中，2AD?DC=A所以AD2+DC2﹣AC2＝AD×DC，①即在△ADC中，由余弦定理得，AD2+DC2﹣AC2＝2×AD×DC×cosD，②則由①②兩式得，cosD=1又因?yàn)樵凇鰽DC中，D∈（0，π），所以D=π（2）在△ACD中，設(shè)∠CAD＝α，AC＝x，則由正弦定理得ACsinD即x=DCsin∠CAD又在△ABC中，∠CAB=π3?α則由正弦定理得ACsin∠ABC即x=ABsin∠BCA則由①②兩式得，23sinα=展開并整理得2sinα=3cosα，也即4sin2α＝3cos2α＝3﹣3sin2α，又因?yàn)樵凇鰽CD中，sinα＞0，所以sinα=21把sinα=217代入①式得，6．（2022?肥東縣模擬）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，2bsinAsin(A+C)=3（1）求角B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝2，求△ABC面積的取值范圍．【答案】（1）π3;（2）（32，2【題型】面積問(wèn)題【解析】解：（1）∵2bsinAsin(A+C)=3∴由正弦定理得：2sinBsinAsin(A+C)=23∵A+C＝π﹣B，且sinA≠0，sinB≠0，∴sinB=3cosB，∴∵B∈（0，π），∴B=π（2）由題意B=π3，c＝2，可得S△ABC=12ac由正弦定理得：a=csinA又△ABC為銳角三角形，可得0＜A＜90°，0＜C＜90°，故30°＜C＜90°，所以1＜a＜4，從而32＜S△ABC＜23，即△7．（2022春?船山區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，它的面積為S且滿足S=3（1）求角B的大小；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【答案】（1）π3；（2）【題型】面積問(wèn)題【解析】解：（1）因?yàn)镾=34(a2+c2?b2)，由余弦定理可得：2ac所以S=12acsinB=34?2accosB，可得：sinB=因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π（2）因?yàn)镾△ABC=1∵B=π3，∴A+C=2π3所以a=sinA所以SΔABC=3又因?yàn)棣BC為銳角三角形，所以C∈（π6，π2），所以tanC所以38tanC+38∈（388．（2022?杭州模擬）已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊，且a＝1，b＝4cos2A﹣1，0°＜A＜60°．（1）若C＝60°，求△ABC的面積；（2）求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）32【題型】周長(zhǎng)問(wèn)題【解析】解：（1）在△ABC中，由b＝4cos2A﹣1得cos而C＝60°，則正弦定理得：c=asinC則c2=34sin2A=34(1?cos2A)=于是得b2+1?b=33?b，整理得：b3﹣4b2+4b＝0，而所以△ABC的面積S△ABC（2）因?yàn)?°＜A＜60°，則12＜cosA＜1，0＜由（1）知cosA=b+12，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即整理得(c?b+1)(c?(b?1)b+1)=0，解得當(dāng)c=b+1時(shí)，a+b+c=b+1+b+1，b∈（0，3），則2＜b+1+b+1＜6，即2＜a+b+當(dāng)c=(b?1)b+1時(shí)，由c＞0知，b∈（1，3），a+b+c=b+1+(b?1)顯然2＜b+1＜4，有2＜b+1＜2，0＜b因此2＜b+1+(b?1)b+1＜8，即2＜a+b+c＜8，綜上得2＜a+b+所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（2，8）或（2，6）．9．（2022秋?保定期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知cosBab（1）求A；（2）若a＝23，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）23π；（2）（43，4+23【題型】周長(zhǎng)問(wèn)題【解析】解：（1）因?yàn)閏osBab由正弦定理可得cosBsinAsinB整理可得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosA＝0，即sin（B+C）＝﹣2sinAcosA，在三角形中，sin（B+C）＝sinA≠0，所以可得cosA=?12，而A∈（0，可得A=23（2）由（1）及余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc+bc，即（b+c）2＝a2+bc≤a2+（b+c2）2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c所以（b+c）2≤43a2=43?（2解得b+c≤4，在三角形在b+c＞a＝23，即b+c∈（23，4]，所以三角形的周長(zhǎng)a+b+c∈（43，4+23]．10．（2022?安徽模擬）在銳角△ABC中，角A，B、C所對(duì)的邊分別為a，b，a＝26，b＝4，sinA=15（1）求sinC的值；（2）點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，△ABC的面積是△ADE面積的2倍．求DE的最小值．【答案】（1）104（2）23【題型】其他最值問(wèn)題【解析】解：（1）sinA=154，則cosA=1解得c＝4或﹣2（舍），由正弦定理得26解得sinC=10（2）由（1）得S△ABC=12×4×4×154=2則12×AD×AE×154=15cosA=14將①代入②得，AD2+AE2﹣DE2＝4，AD2+AE2≥2AD?AE＝16，DE2+4≥16，DE2≥23故DE的最小值為23．11．（2023?廣東模擬）已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA（ccosB+bcosC）﹣csinB＝csinC+bsinB，（1）求角A；（2）若AD平分∠BAC交線段BC于點(diǎn)D，且AD＝1，BD＝2CD，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）23π【題型】角平分線【解析】解：（1）由余弦定理得ccosB+bcosC=c×a所以sinA（ccosB+bcosC）﹣csinB＝csinC+bsinB，可化為asinA﹣csinB＝csinC+bsinB，再由正弦定理得a2﹣cb＝c2+b2，得c2+b2﹣a2＝﹣bc，所以cosA=b2+c2?a2（2）因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π由S△ABC=S△BAD+S△CAD作AE⊥BC于E，則S△ABDS△ACD=1由余弦定理，得a2=b故△ABC的周長(zhǎng)為9+3712．（2022?湖北開學(xué)）已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA（ccosB+bcosC）﹣csinB＝csinC+bsinB，（1）求角A；（2）若AD平分∠BAC交線段BC于點(diǎn)D，且AD＝2，BD＝2CD，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）2π3（2）37【題型】角平分線【解析】解：（1）由余弦定理的推論得ccosB+bcosC＝c?a2+c2?b∵sinA（ccosB+bcosC）﹣csinB＝csinC+bsinB，∴asinA﹣csinB＝csinC+bsinB，由正弦定理得a2﹣bc＝c2+b2，即c2+b2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理的推論得cosA=b∵0＜A＜π，∴A=2π故角A為2π3（2）如圖所示：∵∠BAC=2π3，∴S△ABC=12AB?AC?sin∠∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD=π∵∠ADB+∠ADC＝π，∴∠ADB＝π﹣∠ADC，∴sin∠ADB＝sin（π﹣∠ADC）＝sin∠ADC，在△BAD中，由正弦定理得：BDsin∠BAD在△CAD中，由正弦定理得：CDsin∠CAD=AC∵BD＝2CD，∴AB＝2AC，即c＝2b，∵AD＝2，∴S△BAD=12AB?AD?sin∠BAD=32c，S△CAD=12AC?∵S△ABC＝S△BAD+S△CAD∴34bc=32b∵b?2b＝2b+4b，整理得b2＝3b，解得b＝3或b＝0（舍去），∴c＝6，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC＝63，∵a＞0，∴a＝37，∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝37+3+6＝37故△ABC的周長(zhǎng)37+13．（2023?大慶模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB?sinAcosC=1（1）求角A；（2）若c＝2，D為BC邊的中點(diǎn)，|AD→|=72【答案】（1）π3；（2）3【題型】中線【解析】解：（1）在△ABC中，sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB?sinAcosC=12sinC即cosAsinC=12sinC，又sinC∵0＜A＜π，∴A=π（2）∵D為BC邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則得2AD→=又c＝2，|AD→|=72，A=π3，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝3，解得a=314．（2022春?武昌區(qū)校級(jí)期中）在①m→=(cosB，2c?b)，n→=(cosA，a)，且m→∥n→；②b=acosC+33csinA；③（cosB+bcosC已知△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，其中a=3（1）求△ABC外接圓半徑；（2）若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM的長(zhǎng)度為7，求△ABC的面積．【答案】（1）1；（2）253【題型】中線【解析】解：選①：由m→∥n→；得acosB＝（2c﹣得sinAcosB＝2sinCcosA﹣sinBcosA，得sin（B+A）＝2sinCcosA，又sin（B+A）＝sinC，sinC≠0，所以cosA=12，又0＜A＜π，所以A②因?yàn)閎=acosC+3根據(jù)正弦定理得sinB＝sinAcosC+33sinCsin所以sin（A+C）＝sinAcosC+33sinCsin所以sinAcosC+cosAsinC+33sinCsin所以cosAsinC+33sinCsinA，因?yàn)閟inC≠0，所以tanA又0＜A＜π，所以A=π③；（ccosB+bcosC）2＝b2+c2﹣bc，∴（c×a2+c2?b22ac+b×a∴a2＝b2+c2﹣bc，故cosA=b2+c則△ABC外接圓半徑R=a（2）由題設(shè)AB→+AC→=∴（AB→+AC→）2=AB→2+2AB→?AC→+AC→2＝（AB→?AC→）2=AB→2﹣2AB→?AC→+AC→2∴2bc＝25，即bc=252，則△ABC的面積12bcsin15．（2022春?聊城期末）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且3csinA+（1）求角A；（2）若△ABC是鈍角三角形，且b＝c+2，求△ABC外接圓半徑的取值范圍．【答案】（1）π3．（2）(【題型】外心問(wèn)題【解析】解：（1）由余弦定理得，a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以3csinA+acosC=b+c由正弦定理得，3sinCsinA+sinAcosC=sinB+sinC又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，sinC＞0，所以3sinA=cosA+1，即sin(因?yàn)?π6＜A?π6（2）由（1）知A=π3，所以a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣又b＝c+2，所以a2＝（c+2）2+c2﹣（c+2）c＝c2+2c+4①，因?yàn)椤鰽BC是鈍角三角形，由b＝c+2，可知角B為鈍角，所以a2+c2＜b2，即a2+c2＜（c+2）2，得a2＜4c+4②，由①②可得c2+2c+4＜4c+4，解得c＜2，所以0＜c＜2，由a2＝c2+2c+4＝（c+1）2+3，得4＜a2＜12，即2＜a＜23設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理知2R=a所以△ABC外接圓半徑的取值范圍是(216．（2022?廣州一模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為(1（1）證明：sinA＝2sinB；（2）若acosC=【答案】見解析．【題型】證明【解析】（1）證明：由題設(shè)，12又sinC≠0，所以12ab=12a2?b2，由正弦定理可得sinA所以sinB（sinA+sinB）＝sin2A﹣sin2B＝（sinA+sinB）（sinA﹣sinB），又sinA+sinB≠0，所以sinB＝sinA﹣sinB，即sinA＝2sinB．解：（2）方法一：由（1）及題設(shè)，sinAcosC=2sinBcosC=32sinB所以cosC=34∈(22又cosC=a2+若cosB=?528＜?3所以cosB=5所以cosA=cos[π?(B+C)]=?cos(B+C)=sinBsinC?cosBcosC=14方法二：由a=2ba?cosC=32b?cosC=則34=(2b)2由余弦定理cosA=b真題在線1．（2022?新高考Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3=32，sinB（1）求△ABC的面積；（2）若sinAsinC=23，求【答案】見解析【題型】證明【解析】解：（1）S1=12a2sin60°=34a2，S2=12bS3=12c2sin60°=34c2，∵S1﹣S2+S3=34a2?34b2+34c2=∵sinB=13，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB∴cosB=a2+c2?b22ac=223∴△ABC的面積為28（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC由（1）得ac=324，∴ac=bsinAsinB?bsinCsinB=324解得：b=12．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）若A＝2B，求C；（2）證明：2a2＝b2+c2．【答案】見解析【題型】證明【解析】解：（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin（C﹣A），∵sinB≠0，∴sinC＝sin（C﹣A），即C＝C﹣A（舍去）或C+C﹣A＝π，聯(lián)立A=2B2C?A=πA+B+C=π，解得C證明：（2）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），得sinCsinAcosB﹣sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA﹣sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB﹣bccosA＝bccosA﹣abcosC，由余弦定理可得：ac?a2整理可得：2a2＝b2+c2．3．（2022?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）證明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA=2531，求△【答案】見解析【題型】證明【解析】（1）證明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，由正弦定理得a2＝2bccosA，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以2a2＝b2+c2；（2）當(dāng)a＝5，cosA=2531時(shí)，b2+c2＝2×52＝50，2bc所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝5+9＝14．4．（2021?新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】見解析【題型】面積問(wèn)題【解析】解：（1）∵2sinC＝3sinA，∴根據(jù)正弦定理可得2c