專題20 圓錐曲線的離心率（精講）

第29頁（共29頁）專題20·圓錐曲線的離心率命題規(guī)律離心率在圓錐曲線問題中有著重要應用，有關求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現(xiàn)。關于圓錐曲線離心率（范圍）問題處理的主體思想是：建立關于一個的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應該是齊次式．一般建立方程有兩種方法：1利用圓錐曲線的定義解決；2利用題中的幾何關系來解決問題。另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件(橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不一致)，否則很容易產(chǎn)生增根或者擴大所求離心率的取值范圍．題型歸納題型1定義法求離心率【解題技巧】一般情況題中出現(xiàn)圓錐曲線上的點與焦點聯(lián)系在一起時，盡量轉(zhuǎn)化為定義（主要使用橢圓和雙曲線的第一定義）去考慮，會更簡單．【例1】（2023春?江北區(qū)校級月考）已知F是橢圓C的右焦點，O為坐標原點，P是C上的一點，若|PF|＝2|OF|，且∠OFP＝120°，則C的離心率為（）A．1?32 B．2?3 C．3【分析】由橢圓定義，在焦點三角形中由余弦定理建立齊次方程，求得離心率．【解答】解：設橢圓半長軸為a，焦半徑為c，左焦點為F1，則有F1（﹣c，0），F(xiàn)（c，0），|FF1|＝2c，|PF|＝2|OF|＝2c，|PF1|＝2a﹣|PF|＝2a﹣2c，所以在△PFF1中，cos∠OFP=4故選：D．【點評】本題主要考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了橢圓離心率的求法，屬于中檔題．【例2】（多選）（2022秋?湘潭期末）已知雙曲線C：x2?y28=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若A．C的虛軸長為2 B．|PF2|的值可能為5 C．C的離心率為3 D．|PF2|的值可能為9【分析】由雙曲線標準式確定a，b，c，可判斷A，C，由雙曲線第一定義可判斷B，D，即可得出答案．【解答】解：雙曲線C：x2?y28=1由雙曲線第一定義得||PF1|﹣|PF2||＝2，|PF1|＝7，解得|PF2|＝5或9，c﹣a＝2，5≥2，9≥2，故B、D正確，故選：BCD．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．題型2幾何關系法求離心率【解題技巧】初高中平面幾何的全部知識都可以涉及．【例1】（2023?遼陽一模）已知A，B，C為橢圓D上的三點，AB為長軸，AB＝7，AC＝3，∠BAC＝60°，則D的離心率是（）A．211 B．3211 C．3【分析】根據(jù)已知條件求得a，b2，進而求得橢圓的離心率．【解答】解：設橢圓D的方程為x2如圖，點C的橫坐標為?(72?3cos60°)=?2因為AB＝7，所以a=7將點C的坐標代入x2(72)故e=1?故選：D．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．【例2】（2022秋?西安區(qū)期末）已知F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點，A為C的右頂點，B為CA．4 B．5 C．6 D．7【分析】求出A點，B點坐標，利用斜率等于5結合b2＝c2﹣a2得到c2﹣5ac+4a2＝0，方程兩邊同除以a2得到關于離心率的方程，求出答案．【解答】解：由題意得：F（c，0），A（a，0），當x＝c時，c2a2因為AB的斜率為5，所以B點位于第一象限，則B(c，故kAB=b2ac?a=5，整理得：b因為b2＝c2﹣a2，即c2﹣5ac+4a2＝0，方程兩邊同除以a2得：e2﹣5e+4＝0，解得：e＝4或1（舍去），故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．題型3由三角形三邊關系求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2022?望花區(qū)校級開學）已知橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為B，△BF1F2是一個等腰直角三角形，則橢圓C的離心率e＝（）A．12 B．2 C．22 【分析】利用橢圓焦點為F1、F2，點B是橢圓短軸的一個端點，△F1BF2為等腰直角三角形，確定a、c的關系，即可確定橢圓的離心率．【解答】解：∵橢圓焦點為F1、F2，點B是橢圓短軸的一個端點，且∠F1BF2＝90°，∴b＝c，∴a2＝b2+c2＝2c2，∴a=2c，∴e=故選：C．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學生的計算能力．【例2】（2023春?晉中月考）已知O是坐標原點，F(xiàn)是雙曲線E：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦點，平面內(nèi)一點M滿足△OMF是等邊三角形，MF與雙曲線E交于點N【分析】由題意畫出圖形，求出M的坐標，進一步得到N的坐標，代入雙曲線方程，整理可得雙曲線的離心率．【解答】解：如圖，∵△OMF是等邊三角形，∴M（?c2，3c2），則N（把N的坐標代入x2a2?y整理得：9e4﹣28e2+16＝0，∵e＞1，∴解得e2=14+213故答案為：13+1【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，是中檔題．題型4由余弦值求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（多選）（2022秋?長壽區(qū)期末）雙曲線C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的實軸為直徑的圓記為O，過F1作O的切線與雙曲線C交于M，N兩點，且cos∠F1MF2=45，則雙曲線A．132 B．133 C．53【分析】當直線與雙曲線交于一支時，設過F1的切線與圓D：x2+y2＝a2相切于點A，從而可求得|AF1|，過點F2作F2B⊥MN于點B，由中位線的性質(zhì)求得|F1B|，|BF2|，在RtΔBMF2中，可求得|MF2|，|MB|，利用雙曲線的定義可得a，b的關系，再由離心率公式求解即可，當直線與雙曲線交于兩支時，同理可求得離心率．【解答】解：當直線與雙曲線交于一支時，記切點為A，連接OA，則|OA|＝a，|F1A|＝b，過F2作F2B⊥MN于B，則|F2B|＝2a，∴|BF1|=|F1∵cos∠F1MF2=45，∴∠F1MF2為銳角，∴sin∠F1MF2則|MF2|=|BF2|sin∠F1MF2=2a∴|MF1|＝|MB|?|F1B|=8a∴|MF2|﹣|MF1|=10a3?（8a3?2b）＝2a∴ba=23當直線與雙曲線交于兩支時，設過F1的切線與圓O：x2+y2＝a2相切于點P，則|OP|＝a，OP⊥PF1，∵|OF1|＝c，∴|PF1|=|OF過點F2作F2Q⊥MN于點Q，∴OP∥F2Q，∵O為F1F2的中點，∴|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，∵cos∠F1MF2=45，∴sin∠F1MF2=35，∴|MF∴|MQ|＝|MF2|cos∠F1MF2=10a3×45=8a3，∴|MF1|＝|∵|MF1|﹣|MF2|＝2a，∴8a3+2b?10a3=2a，化簡得3∴ba=43綜上，雙曲線的離心率為133或5故選：BC．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查分類討論思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．【例2】（2023?洪山區(qū)校級模擬）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若從橢圓右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點A．12 B．22 C．32【分析】由題意可知A，D，F(xiàn)1三點共線，B，C，F(xiàn)1三點共線，再由AB⊥AD，且cos∠ABC=35，可得tan∠ABF1=43=|AF1||AB|，設|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，由橢圓的定義可知k與a【解答】解：連接AF1，BF1，由題意可知A，D，F(xiàn)1三點共線，B，C，F(xiàn)1三點共線，在△ABF1中，因為AB⊥AD，且cos∠ABC=3可得cos∠ABF1=35，sin∠ABF1=45，tan∠設|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，由橢圓的定義知|BF2|＝2a﹣|BF1|＝2a﹣5k，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，又因為|AF1|+|AF2|＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k=a所以|AF1|=4a3，|AF2|=8a3在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（4a3）2+（2a3）2＝（2c）2，得e故選：D．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)的應用及光學的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．題型5由向量求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2023春?岳陽月考）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)左右焦點，MA．2 B．62 C．173【分析】設|F1N|＝t，則|F2N|＝t+2a，進而可得t2+2at﹣2b2＝0，由由余弦定理，可得t2﹣2at+b2＝0，可求雙曲線的離心率．【解答】解：由|ON|＝c，∴|ON|=12|F1F2|，所以F1N⊥F2設|F1N|＝t，則|F2N|＝t+2a，所以（t+2a）2+t2＝4c2?t2+2at﹣2b2＝0①，設∠F1F2N＝θ，則sinθ=t△MF1F2中，|MF2|＝2t，|MF1|＝2t+2a，|F1F2|＝2c，由余弦定理，(2t)2+4c2?8ctcos(θ+π2)=(2t+2a)2由①﹣②可得：t=3b把③代入①：得9b2＝8a2，所以9（c2﹣a2）＝8a2，即9c2＝17a2，所以e2故選：C．【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查運算求解能力，屬中檔題．【例2】（2023?新鄉(xiāng)二模）已知F是雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點，P是E右支上一點，PF與A．62 B．263 C．3【分析】設點B（am，bm），由FA→=AB→=2BP→可表示出A【解答】解：∵B在雙曲線的漸近線上，∴不妨設點B（am，bm），m＞0，又F（﹣c，0），且FA→=AB又bmam?c=?b又AB→=2BP→，∴am?am?c又P是E右支上一點，∴49c264故E的離心率為26故選：B．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．題型6由位置關系求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2022秋?浉河區(qū)校級期末）已知雙曲線x2a2?y2b2=1A．（1，5） B．（1，5] C．（5，+∞） D．[5，+∞）【分析】根據(jù)漸近線的斜率的范圍可求離心率的范圍．【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線方程為y=bax∴雙曲線的離心率e=c故選：C．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，不等式思想，屬基礎題．【例2】（2022秋?商丘期末）已知橢圓C關于x軸、y軸均對稱，焦點在y軸上，且焦距為2c（c＞0），若點A(c，62c)不在橢圓A．[33，1) B．(0，33【分析】設出橢圓方程，由于A(c，62c)不在橢圓C的外部，得到6c24a2+c2b2≤1，結合【解答】解：設橢圓C的方程為y2因為A(c，62c)不在橢圓C的外部，所以6c24a2+所以6c24a2+c2a2?c同除以a4得：6e4﹣14e2+4≥0，結合e∈（0，1），解得：0＜e2≤故選：B．【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．題型7由角度關系求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2022秋?南崗區(qū)校級期末）設雙曲線的方程為x2a2?yA．233 B．533 C．【分析】先由斜率公式得出ba【解答】解：由題意得k=b?0∴ba=3故選：A．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，兩點的斜率公式，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎題．【例2】（2023春?杭州月考）雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，以F1，F(xiàn)2為直徑的圓O與雙曲線及其漸近線在第一象限的交點分別為P，Q，點B為圓O與y軸正半軸的交點，若∠【分析】等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合求解【解答】解：∵∠POF2＝∠QOB，∴∠QOF2＝∠POB，雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，則tan∠QOF2以線段F1F2為直徑的圓的方程x2+y2＝c2，聯(lián)立x2+y∴tan∠POB=ab2+c∵e2＝1+b2a2，∴2+1e2?1=故答案為：5+1【點評】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．題型8由長度關系求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2023春?項城市月考）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點M在雙曲線的右支上，滿足MF⊥xA．2 B．52 C．5+12【分析】根據(jù)題意設M點為（c，yM），代入雙曲線方程得到c2﹣a2＝ac，整理即可求解．【解答】解：因為|OF|＝c，設M點為（c，yM），代人x2a2?y則c2﹣a2＝ac，又e＞1，故e=1+故選：C．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．【例2】（2023春?仁壽縣月考）設雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交與B，C兩點，過B，C分別作AB，AC的垂線交與DA．（1，2] B．[2，+∞) C．(【分析】設D（x，0），則由BD⊥AB得，??b2ac?x?b2a【解答】解：由題意，A(a，0)，B(c，b由雙曲線的對稱性可知D在x軸上，設D（x，0），則由BD⊥AB得：??b2∵D到BC的距離不小于a+c，∴|c?x|=|b∴b4a2≥c2?a2=∴e≥2故選：B．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題．題型9由面積關系求離心率范圍【解題技巧】橢圓x2a2+y雙曲線x2a2?y【例1】（2023?五華區(qū)校級模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，P為橢圓上一點，直線AP與直線交于點M，∠PFB的角平分線與直線x＝a交于點N，若PF⊥AB【分析】由題意知，A（﹣a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0），可得|PF||AF|=|MB|【解答】解：由題意知，A（﹣a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0），當PF⊥AB時，|PF|=b2a，由|PF||AF|=|MB||AB|又∠PFB的角平分線與直線x＝a交于點N，可知|NB|＝|BF|＝a﹣c，∴|MB||NB|S△MABS△NFB=1∴橢圓C的離心率是13故答案為：13【點評】本題考查離心率的計算，考查三角形的面積，屬中檔題．【例2】（2022秋?南岸區(qū)校級期末）設雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5．P是C上一點，且∠F1PF2A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根據(jù)雙曲線的定義，余弦定理以及三角形的面積公式列出方程組，求解即可得出答案．【解答】解：設|PF2|＝m，|PF1|＝n，∵∠F1PF2＝120°，△F1PF2的面積為43∴|n﹣m|＝2a，12mnsin120°=433，4c2＝（n﹣m）2+3mn＝4a又雙曲線C：x2a2?y2b2故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．最新模擬一、選擇題1．（2023?南昌縣校級二模）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A、B（）A．4 B．3 C．352 【答案】D【題型】定義法求離心率【解析】解：∵|AB|＝8，|BF2|＝6，|AF2|＝10，∵|AB|2+|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由雙曲線的定義得：|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|+8﹣6＝10﹣|AF1|，∴|AF1|＝4．∴|BF1|﹣|BF2|＝8+4﹣6＝2a，∴a＝3．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2＝122+62＝180，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝180，∴c＝35．∴雙曲線的離心率e=3故選：D．2．（2023?西固區(qū)校級二模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=3x與CA．3+12 B．3 C．3+1【答案】C【題型】幾何關系法求離心率【解析】解：顯然直線y=3x與F1F2交于原點由雙曲線對稱性知，若四邊形AF1BF2是矩形，則|AB|＝|F1F2|，設點A（x1，y1），B（x2，y2），而F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）由y=3xx2a2?y2b2=1得，（b2﹣3a則|AB|=1+(3化簡得b4﹣6a2b2﹣3a4＝0，即(b2a2)則e=c故選：C．3．（2023?鄭州模擬）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上頂點為B，斜率為32的直線A．22 B．33 C．12【答案】A【題型】由位置關系求離心率范圍【解析】解：B（0，b），F(xiàn)（c，0），設MN的中點為Q（x0，y0），∵F為△BMN的重心，∴BF→從而（c，﹣b）＝2（x0﹣c，y0），可得x0=3c再設M（x1，y1），N（x2，y2），則x12a兩式作差可得：(x∴kMN整理得：a2＝2bc，∴b2+c2﹣2bc＝0，即b＝c，a=b∴e=c故選：A．4．（2023?咸陽二模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A、BA．103 B．102 C．52【答案】B【題型】由向量求離心率范圍【解析】解：設雙曲線的左焦點為F'，連接AF'，BF'，CF'，由以AB為直徑的圓恰好過右焦點F可得AF⊥BF，由雙曲線的對稱性得四邊形AFBF'為矩形，可設|BF|＝t，則|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，在直角三角形CBF'中，可得|BC|2+|BF'|2＝|CF'|2，即為（4t）2+（2a+t）2＝（3t+2a）2，解得t＝a，又在直角三角形BFF'中，|BF|2+|BF'|2＝|FF'|2，即為t2+（2a+t）2＝4c2，即為a2+9a2＝10a2＝4c2，即有e=c故選：B．5．（2022?杭州模擬）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，直線AF1與C的另一個交點為A．255 B．55 C．4【答案】B【題型】幾何關系法求離心率【解析】解：左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，∴|AF1|＝|AF2|＝a，設|BF1|＝n，則|BF2|＝2a﹣n，由AF2⊥BF2，根據(jù)勾股定理，有AB即（a+n）2＝a2+（2a﹣n）2，解得n=23a由A（0，b），F(xiàn)1（﹣c，0），|AF1|＝a，|BF1|=23a，∴B(?53c，?23故橢圓離心率為e=c故選：B．6．（2022秋?梅河口市校級期末）直線l：y=3x與橢圓C：x2a2+y2b2A．4?23 B．23?3 C．3【答案】C【題型】由向量求離心率范圍【解析】解：如圖，設橢圓C的左焦點為F'，由對稱性知：PF'QF為平行四邊形，∴|PF'|＝|QF|，∴|PF|+|PF'|＝|PF|+|QF|＝2a，∵PF→?QF→=0，∴PF⊥QF，∴四邊形PF'QF為矩形，∴|PQ又tan∠POF=3，∴∠POF=π3，又|OF|＝|OQ∴|PF|=2csinπ6=c，∴橢圓的離心率e=c故選：C．二、填空題7．（2022?蘇州模擬）已知F1、F2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，直線l：x=a2+b2a【答案】(【題型】幾何關系法求離心率【解析】解：設P（m，n），則Q(a2+b2a所以m=a2+所以﹣1＜2﹣2e﹣e2＜1，可得2?1＜e＜1故答案為：(28．（2022秋?朝陽期末）已知點F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且滿足【答案】5【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：如圖所示，設|AF1|＝4x，x＞0，則|AB|＝3x，∵AF1⊥AB，∴|B又|AF1|+|AB|+|BF1|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF2|+|BF1|）＝4a＝12x，∴x=a∴|AF1由勾股定理可得|AF1|2∴該橢圓的離心率為e=c故答案為：539．（2023春?商丘月考）過雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，過A，B分別作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為P【答案】1+【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：如圖所示，作AM⊥BQ，垂足為M，設雙曲線的半焦距為c（c＞0），在x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)中，令x＝﹣c又|PQ|＝2b，所以2b3ac=2b，得b2＝ac，得c2﹣a2＝ac，得c2﹣a得e2﹣e﹣1＝0，解得e=1±(?1)2故雙曲線的離心率為1+5故答案為：1+510．（2022秋?潮陽區(qū)期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線E的左支交于A，B兩點，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，則雙曲線E的離心率為．【答案】29【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：由題意可設|BF2|＝5t（t＞0），則|AB|＝12t，|AF2|＝13t，由勾股定理易知AB⊥BF2，又由雙曲線定義可知|BF2|+|AF2|﹣|AB|＝4a＝6t，∴2a＝3t，又|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|＝2a＝3t，∴|AF1|＝|AF2|﹣3t＝10t，|BF1|＝|BF2|﹣3t＝2t，∴2c=|F∴離心率e=2c故答案為：29311．（2023?敘州區(qū)校級模擬）雙曲線x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)?的左頂點為A?，右焦點F（c，0）?，若直線x＝c【答案】2【題型】由三角形三邊關系求離心率范圍【解析】解：聯(lián)立x=cx2a2?∵點B、C?關于x?軸對稱，且F?為線段BC?的中點，∴|AB|＝|AC|?，又△ABC為等腰直角三角形，∴|BC|＝2|AF|，∴2b2a=2(c+a)，∴a（c+a）＝b2＝c2∴a＝c﹣a，∴c＝2a，∴該雙曲線的離心率為e=c故答案為：2．12．（2023?麗水模擬）已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點，若E上存在不同的兩點A【答案】(【題型】由向量求離心率范圍【解析】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），又F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），∴F1∵F1A→=3F2B→，∴（x1+c，y1）＝3（x2又x12a2+又E上存在不同的兩點A，B，且F1A→=3F又0＜e＜1，∴12故答案為：(113．（2023?新城區(qū)校級一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b【答案】3【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a＞0，b＞0)即3b=7c，9b2＝7c2，所以9（c2﹣a2）＝7c2，解得所以離心率為e=c故答案為：32真題在線一．選擇題1．（2022?甲卷）橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于yA．32 B．22 C．12【答案】A【題型】由位置關系求離心率范圍【解析】解：已知A（﹣a，0），設P（x0，y0），則Q（﹣x0，y0），kAP=y0x0+a，kAQ=y0a?x0，故∵x02a2②代入①整理得：b2a2=故選：A．2．（2021?乙卷）設B是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點，若CA．[22，1） B．[12，1） C．（0，22] 【答案】C【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：點B的坐標為（0，b），設P（x0，y0），則x02a2+y02b2故|PB|2＝x02+（y0﹣b）2＝a2（1?y02b2）+（y0﹣b）2=?c2b2y02﹣2by0+a2+b2又對稱軸y0=?b3c2＜0，當?b則當y0＝﹣b時，|PB|2最大，此時|PB|＝2b，故只需要滿足?b3c2≤?b，即b2≥c2，則a2﹣c2≥c又0＜e＜1，故e的范圍為（0，22當?b3c2＞?b時，即b＜c時，則當y0=?此時|PB|2=b4c2+a2+b2=b4c2+2b2+c當且僅當b4c2=c2即又b＜c，所以|PB|2＞4b2，即|PB|＞2b，故不滿足題意，綜上所述的e的范圍為（0，22方法二：根據(jù)題意，有B（0，b），設P（x0，y0），則|PB|≤2b?x02+（y0﹣b）2≤4b2，也即a2（1?y02b2）+（y0﹣b）不妨設b＝1，則?y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）y02+2y0﹣a2+3≥0，也即?y0∈[﹣1，1]，（y0+1）[（a2﹣1）y0﹣a2+3]≥0，也即?y0∈[﹣1，1]，（a2﹣1）y0﹣a2+3≥0，從而可得（a2﹣1）（﹣1）﹣a2+3≥0?a∈（1，2]，從而離心率的取值范圍為（0，22故選：C．3．（2021?天津）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點與拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于CA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解由題意可得拋物線的準線方程為x=?p由題意可得：p2=a2+可得A（?a2+b2，b2aC（?a2+b2，ba2所以|AB|=2b2a，|由|CD|=2|AB|，解得：c=2a，所以雙曲線的離心率e故選：A．4．（2019?天津）已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l．若l與雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點AA．2 B．3 C．2 D．5【答案】D【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：∵y2＝4x的焦點為F，準線為l．∴F（1，0），準線l的方程為x＝﹣1，∵l與雙曲線x2a2?y2b2=且|AB|＝4|OF|（O為原點），∴|AB|=2ba，|OF|＝1，∴2ba=4，∴∴c=a2+b故選：D．5．（2019?新課標Ⅱ）設F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2＝a2交于PA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【題型】由長度關系求離心率范圍【解析】解：如圖，由|PQ|＝|OF|，可知PQ過點（c2，0），由圖可得a=22c故選：A．6．（2016?新課標Ⅱ）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2?y2b2=1的左，右焦點，點M在E上，MF1與xA．2 B．32 C．3 【答案】A【題型】由余弦值求離心率范圍【解析】解：由題意，M為雙曲線左支上的點，則|MF1|=b2a，|MF2∴sin∠MF2F1=13，∴b2a4c2+b4a2=13又c2＝a2+b2，可得2e2﹣e?2=0，e＞1，解得e故選：A．7．（2015?福建）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x﹣4y＝0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BFA．