平行四邊形-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)課標(biāo)要求

2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)課標(biāo)要求專題訓(xùn)練26：平行四邊形(含答案)

一、知識要點(diǎn)：

1、平行四邊形

(1)定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

(2)平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分。

(3)平行四邊形的判定

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

⑷中位線

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

2、矩形

(1)定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。

(2)矩形的性質(zhì)

矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對角線相等。

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

(3)矩形的判定

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

對角線相等的平行四邊形是矩形；

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

3、菱形

(1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

(2)菱形的性質(zhì)

菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

菱形的四條邊都相等；

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線都平分一組對角。

(3)菱形的判定

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

四條邊相等的四邊形是菱形。

4、正方形:正方形是最特殊的四邊形，它具有矩形的性質(zhì)，也具有菱形的性質(zhì)。

二、課標(biāo)要求：

1、理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系：了解四邊形

的不穩(wěn)定性。

2、探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互

相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

3、了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離。

4、探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對角線相等；

菱形的四條邊相等，對角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，

對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形

是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性質(zhì)。

5、探索并證明三角形的中位線定理。

三、常見考點(diǎn)：

1、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定。

2、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定在幾何問題中的綜合運(yùn)用。

3、三角形的中位線定理。

四、專題訓(xùn)練：

1.如圖，在平行四邊形力靦中，AD=2,45=&，N6是銳角，A/LL比于點(diǎn)E,F是A8

的中點(diǎn)，連結(jié)以1、EF.若NEFD=90°,則46長為()

A.2B.V5C.色叵D.色巨

22

2.如圖，在四邊形力題中，對角線〃1和劭相交于點(diǎn)。,下列條件不能判斷四邊形ABCD

是平行四邊形的是（）

B.AB=DC,AD=BC

C.AB//DGAD=BCD.OA=OGOB=OD

3.如圖，菱形4四的對角線力C、物相交于點(diǎn)。過點(diǎn)〃作四于點(diǎn)〃，連接若勿

=6,S菱形械》=48,則的長為（)

A.4B.8C.VI3D.6

4.如圖，要判定=4?（力是菱形，需要添加的條件是（）

B.BC=BDC.AC=BDD.AB=BC

5.如圖，在%加9中，45=5,BC=8.￡是邊用的中點(diǎn)，尸是。/犯9內(nèi)一點(diǎn)，且NMC=90°.連

接力尸并延長，交切于點(diǎn)￡若EF〃AB,則發(fā)的長為（)

E

A-fB4C.3D.2

6.如圖，在四邊形力版中，對角線〃;劭相交于點(diǎn)〃，AO=CO,BO=DO.添加下列條件,

不能判定四邊形力灰刀是菱形的是（)

A.AB=ADB.AC=BDC.ACVBDD./ABO=/CBO

7.如圖，四邊形18(第的四邊相等，且面積為120c忒對角線/C=24CR,則四邊形力的

周長為()

8.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)0(0,0),A(3,0),6(1,1),CCx,1),若以0,A,B,

。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則x=.

9.如圖，在中，/ACA90：斜邊4"=正，過點(diǎn)C作。W46,以46為邊作菱

形ABEF,若/尸=30°,則低△/%的面積為.

10.在四邊形48切中，順次連接四邊中點(diǎn)反F、G、H,構(gòu)成一個(gè)新的四邊形，請你對四邊

形力靦填加一個(gè)條件，使四邊形瓦詡成為一個(gè)菱形.這個(gè)條件是.

11.如圖，在四邊形四切中，AC=BD=6,E、F、G、〃分別是46、BC、CD、加的中點(diǎn)，則

麾+用=.

HD

:工

BC

12.如圖，在。/岐中，AB=2,//比1的平分線與/時(shí)的平分線交于點(diǎn)區(qū)若點(diǎn)￡恰好在

13.在△/回中，4?=3"Q4,點(diǎn)D是8c邊的中點(diǎn)，則中線的長度的取值范圍是.

14.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東

西，互相以長補(bǔ)短.在菱形4死9中，48=2,/%8=120°.如圖，建立平面直角坐標(biāo)

系x%,使得邊4?在x軸正半軸上，點(diǎn)〃在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

15.如圖，在中，D,E,廠分別為18、BC、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①△/加

沼XFEC,②四邊形/叱為菱形，③叢叱：區(qū)做=1：4.其中正確的結(jié)論是.(填

寫所有正確結(jié)論的序號)

16.如圖，在平行四邊形力時(shí)中，對角線/C與劭交于點(diǎn)。，點(diǎn)必N分別為如、%的中

點(diǎn)，延長8M至點(diǎn)、E,使EM=BM,連接應(yīng).

(1)求證：奶絲△加；

(2)若BD=2AB,且48=5,4V=4,求四邊形&?V的面積.

17.如圖，在。/如中，點(diǎn)區(qū)廠分別在比；/〃上，/C與環(huán)相交于點(diǎn)0,HA0=C0.

(1)求證：XA0F叁叢C0E：

(2)連接小、CF,則四邊形加出(填“是”或“不是”)平行四邊形.

18.如圖，在四邊形/時(shí)中，AB//DC,AB=AD,對角線4G被交于點(diǎn)。，AC平分NBAD,

過點(diǎn)C作寬近46交四的延長線于點(diǎn)反連接施:

(1)求證：四邊形4靦是菱形；

(2)若49=遙，如=2,求您的長.

19.如圖，已知Q46繆的對角線47、助相交于點(diǎn)0,49=12,劭=10,47=26.

(1)求△/〃。的周長;

(2)求證：①是直角三角形.

O

B

20.在菱形四中，對角線4a被相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0直線旗分別交物、8c的延長線于

點(diǎn)仄凡連接鹿1、DF.

(1)求證：隹△戊見

(2)若EF=BD,BE=8,跖=16,求菱形力靦的面積;

(3)若EFLAB,垂足為G,如=3百10求烈的值.

21.己知在△/比中，4。平分/胡乙交鴕于點(diǎn)〃，點(diǎn)￡在邊“'上四=/￡,過點(diǎn)后作跖〃

BC,交4〃于點(diǎn)尸，連接冊

(1)如圖1,求證：四邊形加跖是菱形;

(2)如圖2,當(dāng)/8=重時(shí)，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中度數(shù)等于/劭〃的

2倍的所有的角.

參考答案

1.如圖，在平行四邊形切中，49=2,AB=E，是銳角，AELBC千點(diǎn)E,F是AB

的中點(diǎn)，連結(jié)以EF.若NEFD=90°,則4E1長為（）

BE-----仁__

A.2B.V5C.匆2D.號叵

22

分析：如圖，延長虛交加的延長線于。，連接應(yīng)，沒BE=x.首先證明制=〃￡'=戶2,利

用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

解：如圖，延長所交加的延長線于0,連接應(yīng)設(shè).BE=x,

?.?四邊形/靦是平行四邊形,

：.DQ//BC,

■:AF=FB,NAFQ=/BFE,

△叫烏△板(AAS),

:.AQ=BE=x,QF=EF,

叨=90°,

：.DFLQE,

:.DQ=DE=x^2,

YAE1BC,BC〃AD,

C.AELAD,

:?/AEB=/EAD=9G0,

"：AS=D^-AH=AS-BS,

：.(AH-2)2-4=6-x,

整理得：29+4x-6=0,

解得x=l或-3（舍棄），

工BE=\,

.，?VAB2-BE2=76<=V5'

故選：B.

點(diǎn)評：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考

選擇題中的壓軸題.

2.如圖，在四邊形/及力中，對角線〃'和加相交于點(diǎn)。，下列條件不能判斷四邊形

是平行四邊形的是（）

<------------#

AB//DC,AD//BCB.AB=DC,AD=BC

C.AB//DC,AD=BCD.OA=OC,OB=OD

分析：根據(jù)平行四邊形的定義，可以得到選項(xiàng)4中的條件可以判斷四邊形18⑦是平行四邊

形；根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)6中的條件可以判斷四邊

形4宛》是平行四邊形；根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以得到選項(xiàng)。中的

條件可以判斷四邊形/版是平行四邊形；選項(xiàng)。中的條件，無法判斷四邊形山?蜀是平行四

邊形.

解：'：AB//DC,AD//BC,

，四邊形4?徵是平行四邊形，故選項(xiàng)A中條件可以判定四邊形4版是平行四邊形；

"：AB=DC,AD=BC,

四邊形/版是平行四邊形，故選項(xiàng)6中條件可以判定四邊形/巡是平行四邊形；

?JAB//DC,A片BC,則無法判斷四邊形4微是平行四邊形，故選項(xiàng)。中的條件，不能判斷

四邊形4也是平行四邊形；

VOA=OQOB=OD,

...四邊形/靦是平行四邊形，故選項(xiàng)〃中條件可以判定四邊形/成力是平行四邊形；

故選：C.

點(diǎn)評：本題考查平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確平行四邊形的判定方法.

3.如圖，菱形465的對角線AC,物相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作DHLAB于氤H,連接0H,若0A

=6,S菱形/解=48,則加的長為（）

A.4B.8C.A/13D.6

分析：由菱形的性質(zhì)得出力=8=6,OB=OD,ACLBD,則4c=12,由直角三角形斜邊上的

中線性質(zhì)得出0H=%D,再由菱形的面積求出劭=8,即可得出答案.

2

解：?.?四邊形力靦是菱形，

：.0A=0C=6,OB=OD,ACVBD,

：.AC^12,

'：DHLAB,

N利=90°,

OH=LBD,

2

?.?菱形/仇力的面積=工/4"加=』X12X^9=48,

22

:.BD=R,

冊」助=4；

2

故選:A.

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角

形斜邊上的中線性質(zhì)求得0H=%D.

2

4.如圖，要判定口/比。是菱形，需要添加的條件是（)

A.AB=ACB.BgBDC.AC^BDD.AB=BC

分析：根據(jù)菱形的判定方法即可解決問題.

解：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知選項(xiàng)〃正確，

故選：D.

點(diǎn)評：本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考?？碱}型.

5.如圖，在。四（力中，49=5,6c=8.6是邊比的中點(diǎn)，尸是。力鑿9內(nèi)一點(diǎn)，且/MC=90°.連

接"'并延長，交⑺于點(diǎn)G.若EF//AB,則用的長為（）

AD

BEC

A.$B.3C.3D.2

22

分析：延長跖交陽的延長線于"可證斯是的中位線，由中垂線的性質(zhì)可得6C=

CH=8,可求分「=3,由“A4S”可證△49&467鞏可得4B=GH=5,可求解.

解：如圖，延長即交切的延長線于〃，

BEC

???四邊形4?必是平行四邊形,

:.AB=CD=5,AB//CD,

：./"=ZABF,

'：EF//AB,

：.EF//CD,

是邊8c的中點(diǎn)，

二〃是的中位線，

:.BF=FH,

VZ5/T=90°,

:.CFLBF,

:.CF是掰的中垂線,

:.BC=ai=B,

J.DH^CH-折3,

在跖和△必戶中，

'NABF=/H

<NAFB=NGFH，

BF=FH

：./\ABF^/\GFH(A4S),

:.AB=GH=5,

:.DG=GH-DH=2,

故選：D.

點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等

知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

6.如圖，在四邊形4?①中，對角線相做相交于點(diǎn)0,A0=C0,B0=D0.添加下列條件，

不能判定四邊形/時(shí)是菱形的是()

分析：根據(jù)菱形的定義及其判定、矩形的判定對各選項(xiàng)逐一判斷即可得.

解：'：A0=C0,B0=D0,

.??四邊形4版是平行四邊形，

當(dāng)46=4〃或/人劭時(shí)，均可判定四邊形4龐》是菱形；

當(dāng)//80=/C%時(shí)，

由AD//BC知ZCB0=ZADO,

：.NABgAADO,

C.AB^AD,

...四邊形4?必是菱形；

當(dāng)做時(shí)，可判定四邊形/時(shí)是矩形；

故選：8.

點(diǎn)評：本題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定及矩形的判定.

7.如圖，四邊形/時(shí)的四邊相等，且面積為120c/,對角線/C=24CR,則四邊形力的

分析：可定四邊形四切為菱形，連接物相交于點(diǎn)。，則可求得劭的長，在Rt△4如

中，利用勾股定理可求得46的長，從而可求得四邊形繆的周長.

解：

如圖，連接/G切相交于點(diǎn)。，

?.?四邊形4版的四邊相等，

...四邊形/靦為菱形，

：.ACLBD,S四地彩，他

2

；.JLX24勿=120,解得即=10cm,

2

OA=12cni,OB=5cm,

在Rtz\4仍中，由勾股定理可得(cm),

四邊形力及力的周長=4X13=52(cm),

故選：A.

點(diǎn)評：本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理

的應(yīng)用.

8.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)0(0,0),A(3,0),6(1,1),C(x,1),若以0,A,B,

C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則*=4或-2.

分析：分別在平面直角坐標(biāo)系中確定出/、8、。的位置，再根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形

是平行四邊形可確定。的位置，從而求出x的值.

解：根據(jù)題意畫圖如下：

以0,A,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則C(4,1)或(-2,1),

則x=4或-2；

故答案為：4或-2.

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四

邊形.

9.如圖，在Rt44緲中，ZACB=90°,斜邊/歹=加,過點(diǎn)。作以為邊作菱

形ABEF,若NQ=30°,則的面積為A_.

分析：先利用直角三角形中30。角的性質(zhì)求出必的長度，然后利用平行線間的距離處處相

等，可得出的長度，即可求出直角三角形46C面積.

解：如圖，分別過點(diǎn)反。作歇CG垂直4?,垂足為點(diǎn)〃、G,

?..根據(jù)題意四邊形ABEF為簍形,

:?AB=

又?；N力應(yīng)'=30°

.?.在Rt△頗1中，夕/=返，

2

根據(jù)題意，AB//CF,

根據(jù)平行線間的距離處處相等，

.?.Zff=CG=返，

2_

.?.RtZ\4仇?的面積為日義近X^-=y.

故答案為：1.

2

點(diǎn)評：本題的輔助線是解答本題的關(guān)鍵，通過輔助線，利用直角三角形中的30。角所對直

角邊是斜邊一半的性質(zhì)，求出戰(zhàn)再利用平行線間的距離處處相等這一知識點(diǎn)得到

最終求出直角三角形面積.

10.在四邊形/靦中，順次連接四邊中點(diǎn)氏F、G、H,構(gòu)成一個(gè)新的四邊形，請你對四邊

形/附9填加一個(gè)條件，使四邊形比67/成為一個(gè)菱形.這個(gè)條件是AC=BD或ABCD是等

分析：要使四邊形夕詡是菱形，只需通過定義證明四邊相等即可.由中位線定理可知，原

四邊形必須是對角線相等的四邊形.如矩形、等腰梯形、正方形，等.

解：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，根據(jù)菱形的特點(diǎn)可知四邊必須相等，

由中位線定理可知，原四邊形必須是對角線相等的四邊形.

如矩形、等腰梯形、正方形都是對角線相等的四邊形等，

所以添加的條件可是：兒=加或加切是等腰梯形等.

點(diǎn)評：主要考查了中位線定理和特殊四邊形菱形的特點(diǎn).要掌握：中位線平行且等于底邊的

一半.

11.如圖，在四邊形/靦中，AC=BD=6,E、F、G、〃分別是力8、BC、CD、的的中點(diǎn)，則

￡。+朋=36

分析：連接用，F(xiàn)G,GH,EH,由￡F、G、〃分別是4?、BC、CD、刃的中點(diǎn)，得到叫/,EF,

FG,如分別是勿，XABC,叢BCD,切的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到微FG

等于劭的一半，EF,67/等于”的一半，由於=即=6,得到E//=EF=GIHFG=3,根據(jù)四

邊都相等的四邊形是菱形，得到朋但為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EGIHF,旦EG=20E,

FH=20H,在Rt△龐〃中，根據(jù)勾股定理得到0戶+麻=印=9,再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式

的兩邊同時(shí)乘以4,根據(jù)4=2。把等式進(jìn)行變形，并把%=2/凡/=2如代入變形后的等

式中，即可求出加+加的值

解：如右圖，連接牙；FG,GH,EH,

■:E、〃分別是46、%的中點(diǎn)，

...周/是△/）劭的中位線，

:.EH=LBD=3,

2

同理可得第FG,以分別是△板；叢BCD,徵的中位線,

EF=GH=LC=3,FG=LBQ3,

22

:.Ell=EF=GH=FG=3,

.??四邊形",團(tuán)為菱形，

:.EGLHF,且垂足為0,

：.EG=20E,FH=20H,

在RtZXQ卯中，根據(jù)勾股定理得：。點(diǎn)0『i=El't=9,

等式兩邊同時(shí)乘以4得：4龐?+4麻=9X4=36,

(20E)2+(2617)2=36,

即E0+F#=36.

故答案為:36.

點(diǎn)評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，

本題的關(guān)鍵是連接哥FG,GH,EH,得到四邊形跖陽為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到仇」孫；

建立直角三角形，利用勾股定理來解決問題.

12.如圖，在。4?切中，AB=2,乙仍。的平分線與/時(shí)的平分線交于點(diǎn)反若點(diǎn)夕恰好在

分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AE=AB=DE=CD=2,NBEC=90°,

可得加―/。=2+2=4,再根據(jù)勾股定理解答即可.

解：?:BE、/分別平分N/8C和/以力

:.NEBC=L/ABC,NECB=LZBCD,

22

?.?四邊形］四是平行四邊形，

：.AD//BC,AB=CX2,BC=AD,

：.ZABC+ZBCD=180°,

:./EBC+NECB=9G,

:.NBEC=9G,

:.BE+CI^=BC,

'：AD//BC,

：.AEBC=AAEB,

■:BE平■分乙ABC,

：.4EBC=2ABE,

，NAEB=AABE,

:"B=AE=2,

同理可證DE=DC=2,

：.DE+AE=AD=A,

:.BE+CE=BG=A4=16.

故答案為：16.

點(diǎn)評：此題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)犍是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股

定理解答.

13.在中，46=3,4c=4,點(diǎn)。是成1邊的中點(diǎn)，則中線力〃的長度的取值范圍是0.5

分析：延長4〃至使4D=DE,連接質(zhì)證緇△加，推出宓=4G根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系定理求出即可.

解：延長4〃到反使龐；連接陽

是△47C的中線，

：.BD=CD,

在和△板中，

fBD=CD

<ZADC=ZBDE-

AD=DE

:.XADglXEDB(SAS),

：.EB=AC=\,

'：AB=3,

：.\<AE<1,

AO.5</ZX3.5.

故答案為：0.5<4X3.5.

點(diǎn)評：本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定以及三角形的三邊關(guān)系.此題難度適中，注

意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

14.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東

西，互相以長補(bǔ)短.在菱形/灰/中，AB=2,NDAB=120；如圖，建立平面直角坐標(biāo)

系xOy,使得邊18在x軸正半軸上，點(diǎn)〃在y軸正半軸上，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（2,JQ）.

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得勿和如的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)可得

答案.

解：?.?四邊形/靦是菱形，且奶=2,

:.CQAD=AB=2,

：/%8=120°,

：.ZOAD=&Oa,

RtZvl勿中，N/〃O=30°,

C14-x2=1，OD=yJ?2-]2=^/"^,

，C（2,弧）,

故答案為：（2,M）.

點(diǎn)評：此題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是確定切的長.

15.如圖，在AABC中，AB=AC,D,E,尸分別為/反BC、4C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①AADF

絲△儂②四邊形4〃跖為菱形，③心叱：心械=1：4.其中正確的結(jié)論是①②③.（填

寫所有正確結(jié)論的序號）

分析：①根據(jù)三角形的中位線定理可得出AD=FE、AF=FC、DF=EC,進(jìn)而可證出△"國△

⑸笫（SSS）,結(jié)論①正確；

②根據(jù)三角形中位線定理可得出加〃4?、EF=AD,進(jìn)而可證出四邊形4戚為平行四邊形，

由Zf8=/C結(jié)合久尸分別為18、的中點(diǎn)可得出力9=/尸，進(jìn)而可得出四邊形1兩為菱形,

結(jié)論②正確；

③根據(jù)三角形中位線定理可得出DF//BC.DF=LBC,進(jìn)而可得出△血不再利用相

2

似三角形的性質(zhì)可得出也迎=工，結(jié)論③正確.此題得解.

2AABC4

解：①E、廠分別為48、BC、4C的中點(diǎn)，

:.DE、DF、哥1為△放的中位線，

:.AgLB=FE,AF^AC^FC,DF=LBgEC.

222

'AD=FE

在△?!麻和中，＜AF=FC，

DF=EC

：./\ADF^/\FEC(55S),結(jié)論①正確；

②?：E、尸分別為8C、〃■的中點(diǎn)，

為△四C的中位線，

J.EF//AB,EF=LAB=AD,

2

四邊形4。跖為平行四邊形.

'：AB^AC,D、尸分別為48、4C的中點(diǎn)，

：.AD=AF,

四邊形/戚為菱形，結(jié)論②正確；

③：〃、尸分別為46、〃1的中點(diǎn)，

，。產(chǎn)為△48C的中位線，

J.DF//BC,DF=LBC,

2

XADFsXABC,

...也處=(DF_)2=A,結(jié)論③正確.

^AABCBC4

故答案為：①②③.

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)

以及三角形中位線定理，逐一分析三條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在平行四邊形/靦中，對角線〃'與劭交于點(diǎn)。，點(diǎn)也N分別為力、%的中

點(diǎn)，延長的/至點(diǎn)后使EM=BM,連接場

(1)求證：△4J蛇

(2)若BD=2AB,且四=5,ZW=4,求四邊形分1處的面積.

分析：(1)依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到△小蛇△◎以

(2)依據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出四邊形〃囪加是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)，即可得到N￡KV是直角，進(jìn)而得到四邊形。倒邠是矩形，即可得出四邊形應(yīng)給」的面積.

解：(1)?.?平行四邊形力及力中，對角線與血交于點(diǎn)0,

:.A0=C0,

又???點(diǎn)M"分別為小、。。的中點(diǎn)，

:?AM=CN,

???四邊形4?切是平行四邊形，

:"B〃CD,AB=CD,

：.Z.BAM=ZDCNf

：./\AMB^/\CND(SAS)；

(2)Y4AM昭ACM,

:?BM=DN,/ABM=/CDN,

又?：BM=EM,

：.DN=EM,

AB//CD,

：.AAB0=ACD0,

"MB0=/ND0,

：.ME//DN

???四邊形瓦捌「是平行四邊形，

,:BD=2AB,BD=2B0,

?AB=0B,

又："是40的中點(diǎn),

:.BM1A0,

：.Z￡W=90°,

四邊形Zffi網(wǎng)是矩形，

'：AB=5,DN=BM=\,

；.川仁3=時(shí)0,

網(wǎng)-6,

二矩形施啾'的面積=6X4=24.

點(diǎn)評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定，全等

三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等

時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

17.如圖，在04%/中，點(diǎn)反尸分別在8C、上，與如相交于點(diǎn)0,且/gCO.

（1）求證：△加儂

（2）連接4只CF,則四邊形/貪尸是（填“是”或“不是”）平行四邊形.

分析：（1）由力弘證明△4。以△。應(yīng)■即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出小功，再由/匕而，即可得出結(jié)論.

（1）證明：,四邊形46C7?是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.AOAF=ZOCE,

fZOAF=ZOCE

在△力冰和宏中，，AO=CO

,ZAOF=ZCOE

:.XAOF^XCOE(ASA)

(2)解：四邊形/白不是平行四邊形，理由如下:

由(1)得：&△夕應(yīng)，

：.FO=EO,

又,：AO=CO,

四邊形獷是平行四邊形；

故答案為：是.

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平

行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在四邊形俶/中，AB//DC,AB^AD,對角線4G初交于點(diǎn)0,47平分/回9,

過點(diǎn)。作CELAB交49的延長線于點(diǎn)E,連接0E.

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若46=依，劭=2,求您的長.

分析：(1)先判斷出/如進(jìn)而判斷出/的C=N%4,得出CD=AD=AB,即可得

出結(jié)論；

(2)先判斷出施=04=%,再求出仍=1,利用勾股定理求出勿，即可得出結(jié)論.

解：⑴,:AB〃CD,

：.Z0AB=ZDCA,

??"C為/加夕的平分線,

:"0AB=ZDAC,

"DCA=CDAC,

：.CD=AD=AB.

'：AB//CD,

四邊形46勿是平行四邊形,

'：AD^AB,

是菱形；

(2)?.?四邊形四口是菱形,

：.OA=OC,BDLAC,

'：CELAB,

：.OE=OA=OC,

'：BD=2,

：.OB=^BD=\,

2

在RtZvl紡中，AB=后,0B=\,

^^VAB^OB2=2,

：.OE=OA=2.

點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾

股定理，判斷出349=43是解本題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知。的對角線北、劭相交于點(diǎn)，49=12,劭=10,AC^2(5.

(1)求△/加的周長；

(2)求證：是直角三角形.

分析：(1)根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分確定/。和功的長，然后求得周長即可;

(2)利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可.

解：(1)?.?四邊形/靦是平行四邊形，

???對角線〃1與劭相互平分，

/=oc=Lc,OB=OD=LBD,

22

：然=26,89=10,

勿=5,

；止=⑵

二△/勿的周長=5+12+13=30；

(2)由(1)知的=13,<29=5,49=12,

V52+122=132,

.?.在△。勿中,小川=初,

...△/如是直角三角形.

點(diǎn)評：考查了平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對角線互相

平分，難度不大.

20.在菱形4頗中，對角線4C、物相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0直線好分別交物、6c的延長線于

點(diǎn)反F,連接跖、DF.

(1)求證：△加國△屐見

(2)若EF=BD,BE=8,處'=16,求菱形1比，的面積；

(3)若EFLAB,垂足為G,加=3百10求與寶的值.