專題四幾何證明專題

第三部分

專題探究專題四

幾何證明專題【例1】如圖Z4-1，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D，E，AD，CE相交于點(diǎn)H，若AE=CE，求證：△AEH≌△CEB.考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一

證明三角形全等

1.如圖Z4-2，點(diǎn)D，F(xiàn)，E分別在△ABC的三邊上，∠1=∠2=∠3，DE=DF，求證:△ADE≌△CFD.變式診斷

【例2】如圖Z4-3,△ABC內(nèi)部一點(diǎn)O到兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC.求證：AB=AC.考點(diǎn)突破

考點(diǎn)二

證明線段相等

2.如圖Z4-4,AB=AC，BD=CD，DE垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF垂直于AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DE=DF.變式診斷

【例3】如圖Z4-5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，E是線段AD上的點(diǎn)，且AD=BD，DE=DC.求證：∠BED=∠C.

考點(diǎn)突破

考點(diǎn)三

證明角相等

3.如圖Z4-6，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF⊥BD于點(diǎn)F.求證：∠BEF=∠DEF.變式診斷證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD.∴∠ABD=∠EDB.∴EB=ED.又∵EF⊥BD，∴∠BEF=∠DEF.【例4】如圖Z4-7,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線.（1）如圖Z4-7①，若AD=BD，求∠A的度數(shù)；（2）如圖Z4-7②，在（1）的條件下，作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接EC.求證：△EBC是等邊三角形.考點(diǎn)突破

考點(diǎn)四

證明等腰或等邊三角形（1）解：∵AD=BD，∴∠A=∠DBA.∵BD是△ABC的角平分線，∴∠DBA=∠DBC.∴∠A=∠DBA=∠DBC.∵∠ACB=90°，∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°.∴∠A=30°.

4.如圖Z4-8，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使CE=AC.（1）求證：DE=DB；（2）連接BE，試判斷△ABE的形狀，并說明理由.變式診斷

（2）解：△ABE是等邊三角形.理由如下：∵BC是線段AE的垂直平分線，∴BA=BE,即△ABE是等腰三角形.又∵∠CAB=60°，∴△ABE是等邊三角形.【例5】如圖Z4-9，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)A，B，試說明線段AD，AB，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.考點(diǎn)突破

考點(diǎn)五

證明線段的和、差、倍關(guān)系

5.如圖Z4-10,在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：BE+CF=EF.變式診斷證明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC.∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC.∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE.同理，CF=DF.∴EF=DE+DF=BE+CF，即BE+CF=EF.6.如圖Z4-11，AB=CD，BC=DA，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=CF.試證明：△BCF≌△DAE.

7.如圖Z4-12，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF∥DE交CD于點(diǎn)F.求證：DE=BF.證明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2.∵DE⊥AC，∠ABC=90°,∴DE=BD.可證△BCD≌△ECD（AAS）,∴∠3=∠4.∵BF∥DE，∴∠4=∠5.∴∠3=∠5.∴BD=BF.∴DE=BF.8.如圖Z4-13，若△ABC和△BDE均為等邊三角形，求證：BD+CD=AD.

9.如圖Z4-14，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.判斷△A