平穩(wěn)隨機過程的譜分析

第四章平穩(wěn)隨機過程的譜分析

2024/1/222第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機過程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過程的譜分解2024/1/223確定信號的頻域分析隨機信號是否也可以應用頻域分析方法?隨機信號的頻域分析關(guān)鍵點4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度2024/1/224信號特征分析時域分析頻域分析4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度關(guān)鍵詞傅立葉變換Parseval定理頻譜能譜功率譜確定信號分析2024/1/225設x(t)是時間t的非周期實函數(shù)，且x(t)

滿足狄利赫利條件

絕對可積條件，即

能量有限條件，即有限個極值；有限個斷點；斷點為有限值4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度關(guān)于確定信號的一些假設

2024/1/2264.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度對于確定信號x(t)，既可以通過時域分析，也可以通過頻域分析，時域和頻域之間存在確定的關(guān)系，周期信號可以表示成傅立葉級數(shù)，非周期信號可以表示傅立葉積分傅立葉變換

2024/1/2274.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度則的傅立葉變換為：

其反變換為：

包含：振幅譜相位譜頻譜密度頻譜密度存在的條件為：即信號為絕對可積信號

傅立葉變換

4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度傅立葉變換

約瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier拉格朗日，

傅立葉旁，

我凝視你凹函數(shù)般的臉龐。

微分了憂傷，

積分了希望，

我要和你追逐黎曼最初的夢想。

感情已發(fā)散，

收斂難擋，

沒有你的極限，

柯西抓狂，

我的心已成自變量，

函數(shù)因你波起波蕩。

低階的有限階的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亞諾余項。4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度傅立葉變換

約瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier狄利克雷，

勒貝格楊

一同仰望萊布尼茨的肖像，

拉貝、泰勒，無窮小量，

是長廊里麥克勞林的吟唱。

打破了確界，

你來我身旁，

溫柔抹去我，

阿貝爾的傷，

我的心已成自變量，

函數(shù)因你波起波蕩。

低階的有限階的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亞諾余項。

2024/1/2210即能量譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度信號在時域的總能量等于其在頻域的總能量能量譜密度存在的條件為：即信號總能量有限，s(t)也稱為有限能量信號Parseval定理即4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度信號在時域的總能量等于其在頻域的總能量證明：Parseval定理2024/1/2212功率型信號：能量無限、平均功率有限的信號其能譜不存在，而功率譜存在4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度持續(xù)時間無限長的信號一般能量無限利用截取函數(shù)的性質(zhì)功率譜2024/1/2213定義截取函數(shù)為：

4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度功率譜2024/1/22144.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度隨機信號是否也可以應用頻域分析方法？如何定義隨機信號的功率譜？如何計算隨機信號的平均功率？2024/1/2215隨機信號是否也可以應用頻域分析方法？4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度對于隨機過程，一般不滿足絕對可積和能量有限的這兩個條件，這是因為一個隨機過程的持續(xù)時間是無限長的，所以其總能量不是有限的。這說明隨機過程的幅度頻譜是不存在的，因此其頻譜密度和能量密度都不存在

2024/1/221616隨機過程的樣本函數(shù)及其截斷函數(shù)

2〕對樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計平均1〕定義每個樣本函數(shù)的功率譜〔處理方法適用于確定性信號〕)(tx)(txTtTT20T-4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？171〕定義每個樣本函數(shù)的功率譜〔處理方法適用于確定性信號〕4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？樣本函數(shù)的截斷函數(shù)的傅立葉變換：181〕定義每個樣本函數(shù)的功率譜〔處理方法適用于確定性信號〕4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？2024/1/22樣本函數(shù)的截斷函數(shù)的能量：截斷函數(shù)的能量譜1〕定義每個樣本函數(shù)的功率譜〔處理方法適用于確定性信號〕4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？樣本函數(shù)的〔時間〕平均功率：19功率譜4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計平均物理意義：功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號在單位電阻上消耗的功率的統(tǒng)計平均值.是的確定函數(shù)缺陷:不含相位信息2〕對樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計平均4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何定義隨機信號的功率譜？即：樣本函數(shù)的功率譜密度代表隨機過程的功率譜密度若為各態(tài)歷經(jīng)過程，則有：求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計平均2〕對樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計平均2024/1/222222隨機信號：隨機性信號功率譜分析的一個例子4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何計算隨機信號的平均功率？1〕頻域計算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為隨機過程的平均功率為隨機過程的平均功率：不同的頻率成分對隨機信號的平均功率的奉獻。若為各態(tài)歷經(jīng)過程：4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何計算隨機信號的平均功率？2〕時域計算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為隨機過程的平均功率為若為各態(tài)歷經(jīng)過程：4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度如何計算隨機信號的平均功率？3〕頻域計算與時域計算的關(guān)系對于平穩(wěn)隨機過程，有4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度Exercise4.12024/1/2227第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機過程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過程的譜分解2024/1/22284.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理利用維納-辛欽定理求功率譜密度函數(shù)關(guān)鍵點2024/1/2229確定信號：隨機信號：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系傅立葉變換對：2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2231

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12024/1/22設那么所以：4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2234那么

(注意，且，。因此，通常情況下，第二項為0)

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12024/1/22自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2024/1/2236由于實平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率局部的單邊功率譜。4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系單邊功率譜〔物理譜〕相關(guān)性與功率譜相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強，功率譜越陡窄2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系由于，因此功率譜存在Exercise4.2滿足絕對可積條件4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.3不滿足絕對可積條件4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4不滿足絕對可積條件4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零這個定理要求不能應用于含有直流分量或周期分量的隨機信號，功率譜密度是連續(xù)的，實際中含有直流分量和周期分量的隨機過程很多。4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零引入函數(shù)其傅立葉變換4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零借助函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點上無限值用函數(shù)表示，那么維納－辛欽定理可推廣應用。4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零假設隨機過程均值非零，那么功率譜在原點有一函數(shù)；假設含有周期分量，那么在相應的頻率處有函數(shù)；引入函數(shù)其傅立葉變換4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣2024/1/2245功率譜密度常用來進行周期性檢測四類典型信號的功率譜4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣2024/1/2246對于非平穩(wěn)信號：時間平均自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度為傅立葉變換對4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣2024/1/22474.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.3484.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4解法1：2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4解法2：4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.5解：

非平穩(wěn)隨機過程4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)Continuous-timeDiscrete-time4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)證明特別對實平穩(wěn)過程,4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率第一式說明功率譜密度曲線下的總面積(平均功率)等于平穩(wěn)過程的均方值.第二式說明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積.4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率2024/1/2255以上局部可能涉及到的計算●利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理●利用的根本公式和Fourier變換的性質(zhì)等●利用的一些性質(zhì)計算4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2024/1/2256留數(shù)定理

設為復變量s的函數(shù)，且其繞原點的簡單閉曲線C反時針方向上和曲線C內(nèi)部只有幾個極點

那么：一階留數(shù)

二階留數(shù)

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2024/1/2257留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2024/1/2258

是R(z)的分母在上半復平面的零點。若假設R(x)是分母無實零點的有理函數(shù)，且分子分母沒有相同的零點，而分母的冪次比分子的冪次至少高一次，則有是R(z)分母的n重零點，則留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.6利用的根本公式和Fourier變換的性質(zhì)等解：4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.72024/1/22解法1:利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.7解法1:利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.7解法1:利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.7解法2:利用的根本公式和Fourier變換的性質(zhì)等4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.7解法2:利用的根本公式和Fourier變換的性質(zhì)等2024/1/224.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2024/1/2265第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機過程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過程的譜分解4.3、互功率譜密度如何定義兩個隨機信號的互功率譜？1〕定義兩個隨機過程的樣本函數(shù)的功率譜2024/1/22674.3、互功率譜密度如何定義兩個隨機信號的互功率譜？1〕定義兩個隨機過程的樣本函數(shù)的功率譜4.3、互功率譜密度由于，的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即:如何定義兩個隨機信號的互功率譜？1〕定義兩個隨機過程的樣本函數(shù)的功率譜4.3、互功率譜密度如何定義兩個隨機信號的互功率譜？2〕對兩個隨機過程的所有樣本函數(shù)的互功率譜求統(tǒng)計平均和是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機性，取數(shù)學期望，并令得：

4.3、互功率譜密度如何定義兩個隨機信號的互功率譜？Definition3.4(JointPowerSpectraDensity

Function)4.3、互功率譜密度互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

F互相關(guān)函數(shù)互譜密度

F4.3、互功率譜密度互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系假設X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，那么有即結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。2024/1/2273性質(zhì)1：證明：

〔令〕4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2024/1/2274性質(zhì)2：

證明：

（令）

同理可證4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2024/1/2275性質(zhì)3：

證明：類似性質(zhì)2證明。4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2024/1/2276性質(zhì)4：

假設X(t)與Y(t)正交，那么有證明：假設X(t)與Y(t)正交，那么所以4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2024/1/2277性質(zhì)5：

假設X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，那么證明：

因為X(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)Exercise4.82024/1/22解：4.3、互功率譜密度Exercise4.94.3、互功率譜密度2024/1/2280第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機過程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過程的譜分解2024/1/2281在平穩(wěn)隨機過程中有一大類過程，它們的功率譜密度為的有理函數(shù)。在實際中，許多隨機過程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來逼近。這時可以表示為兩個多項式之比，即

4.4、平穩(wěn)過程的譜分解有理譜密度是實際中最常見的一類功率譜密度或形式工程中常用來作為有色噪聲的逼近功率譜密度的有理多項式形式2024/1/2282假設用復頻率s來表示功率譜密度，那么，對于一個有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：4.4、平穩(wěn)過程的譜分解功率譜密度的有理多項式形式2024/1/2283據(jù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導出關(guān)于的零、極點的如下性質(zhì)：（1）

為實數(shù)。

（2）

的所有虛部不為0的零點和極點都成復共軛出現(xiàn)。

（3）的所有零、極點皆為偶重的。

〔4〕M＜N。4.4、平穩(wěn)過程的譜分解功率譜密度的有理多項式形式2024/1/2284根據(jù)上面的性質(zhì)，可將

分解成兩項之積，即：

其中〔零極點在s上半平面〕〔零極點在s下半平面〕且譜分解定理

此時4.4、平穩(wěn)過程的譜分解譜分解定理(連續(xù)時間)2024/1/2285設X(n)是廣義平穩(wěn)實離散隨機過程，具有有理功率譜密度函數(shù)。那么可分解為：其中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點和極點包含了單位圓之外的全部零點和極點4.4、平穩(wěn)過程的譜分解譜分解定理(離散時間)2024/1/22在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即

式中式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點反時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。4.4、平穩(wěn)過程的譜分解離散傅立葉變換與Z變換

（因為）4.4、平穩(wěn)過程的譜分解Exercise4.10解：將z=代人上式，即可求得2024/1/2288第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機過程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過程的譜分解2024/1/2289連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)

FTDFT

4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2290連續(xù)時間確知信號離散時間確知信號采樣香農(nóng)采樣定理4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2291其中，T為采樣周期，為在時對的采樣。

設為一確知、連續(xù)、限帶、實信號，其頻帶范圍，當采樣周期T小于或等于時，可將展開為4.6、隨機過程的采樣定理確知信號的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)2024/1/2292連續(xù)時間確知信號離散時間確知信號采樣香農(nóng)采樣定理4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2293連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程

采樣4.6、隨機過程的采樣定理假設為平穩(wěn)隨機過程，具有零均值，其功率譜密度為，那么當滿足條件時，可將按它的振幅采樣展開為4.6、隨機過程的采樣定理平穩(wěn)隨機過程的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)證明:

帶寬有限，第一步：(1)

的帶寬也是有限(2)令，那么(3)是確知函數(shù)，根據(jù)維納-辛欽定理，對，

對應用香農(nóng)采樣定理的，對應用香農(nóng)采樣定理4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2296第二步：令，那么=0(2)這說明，正交

又是的線性組合，因此正交4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2297即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即4.6、隨機過程的采樣定理第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=04.6、隨機過程的采樣定理2024/1/2299連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程采樣=自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT

4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/22100假設平穩(wěn)連續(xù)時間實隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，對采樣后所得離散時間隨機過程，的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，那么有

4.6、隨機過程的采樣定理功率譜密度的采樣定理2024/1/22101證明:(1)

根據(jù)定義===由可見，，即樣可得==(2)進行等間隔的采對4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/22102連續(xù)時間平穩(wěn)隨機過程離散時間平穩(wěn)隨機過程采樣自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT平穩(wěn)隨機過程的采樣定理功率譜密度的采樣定理4.6、隨機過程的采樣定理2024/1/22103第四章平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4.2