高二數(shù)學寒假講義練習（人教B用 選擇性必修一）第02講 直線和圓（教師卷）

第02講直線和圓【易錯點總結(jié)】1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2圖示公切線條數(shù)402131.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.直線被圓截得的弦長的求法(1)幾何法：運用弦心距d、半徑r和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形，計算弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).【重難點剖析】考點一：直線及其方程1．無論為何實數(shù)值，直線總過一個定點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當時，，故直線總過定點.故選：D．2．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】C【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C3．經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．故選：D．4．若直線與直線平行，則的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或6【答案】B【詳解】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當時，：，：，，符合題意；②當時，：，：，均為，此時，重合，舍去，故，故選：B5．過坐標原點作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當時，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D考點二：圓及其方程6．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓的圓心坐標是，半徑，圓的圓心坐標是，半徑，,所以圓心距，所以兩圓相外切.故選：C7．已知直線l經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為4，則直線l的方程是

（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】圓的標準方程為：，由題意圓心到直線l的距離（1）當直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，（2）當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，綜上，直線l的方程為或．故選：B．8．過點引圓的切線，其方程是（

）A． B．C． D．和【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑r＝1；過點引圓的切線，若切線的斜率不存在，切線的方程為x＝2，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則有，即kx－y＋3－2k＝0，則有，解得，此時切線的方程為，即12x－5y－9＝0．綜上：切線的方程為x＝2和12x－5y－9＝0．故選：D．9．已知直線與圓相交于點A，B，點P為圓上一動點，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為圓，所以圓心為，半徑為，如圖，所以圓心到直線的距離，則，又點P到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值．故選：A..10．直線與圓相交于兩點，則的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【詳解】因為可化為，令，解得，所以直線恒過定點，該點在圓內(nèi)，因為，所以要求的最小值，即求圓心到直線的最大距離，顯然當時，最大，最小，又因為圓，所以圓心，，則，故此時.故選：D.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．直線的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題，將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得，所以直線的斜率，因為，所以，故選:C.2．已知直線相互垂直，則值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】由可得∵故選：C3．若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的圓心為,半徑，因為為圓的弦的中點，所以圓心與點確定的直線斜率為，因為圓心和弦的中點的連線與弦所在的直線垂直，所以弦所在直線的斜率為，所以弦所在直線的方程為：，即.故選：A.4．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【詳解】因為圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑為，,則兩圓的圓心距為,而，則圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)切.故選:D.5．過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則m的值為（

）A．2 B． C．-2 D．【答案】D【詳解】∵點在圓上，圓心為，∴直線的斜率為，且直線與切線垂直，∵切線與直線垂直，所以直線與斜率相等，∴，∴．故選：D．6．兩條直線與的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】D【詳解】直線即，所以與的距離為，故選：D.7．對于直線，下列選項正確的為（

）A．直線l傾斜角為 B．直線l在y軸上的截距為C．直線l不過第二象限 D．直線l過點【答案】C【詳解】將直線改寫成斜截式方程為由斜截式方程的幾何意義可知，斜率為，所以直線傾斜角滿足，即，故A錯誤；易知，直線l在y軸上的截距為，所以B錯誤；畫出直線l的圖象如下：由圖象可知，直線l不過第二象限，故C正確；將點代入直線方程得，所以直線l不過點，即D錯誤.故選：C.8．直線被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，所以圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以弦長為，故選：C二、多選題9．已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線l的方程為B．過點O且與直線l平行的直線方程為C．若點到直線l的距離為，則D．點O關(guān)于直線l對稱的點為【答案】ABD【詳解】對A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對；對B，直線l斜率為1，故過點O且與直線l平行的直線方程為，即，B對；對C，點到直線l的距離為，故或0，C錯；對D，點O關(guān)于直線l對稱的點滿足，解得，故該點為，D對.故選：ABD10．已知直線：和圓：，則（

）A．直線恒過定點 B．存在使得直線與直線：垂直C．直線與圓相離 D．若，直線被圓截得的弦長為【答案】BD【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；當時，直線與直線垂直，故B正確；∵定點在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C不正確：當時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BD.三、填空題11．已知直線，直線，若直線與的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【詳解】由題意得兩直線不平行，即，得，由得，由于直線與的交點在第一象限，所以，解得，則實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.12．圓心在直線上，且過兩圓，交點的圓的標準方程為_____________.【答案】【詳解】由解得交點坐標分別為，設(shè)圓心坐標為，半徑為，則，解得，所以該圓的標準方程為，故答案為：四、解答題13．設(shè)直線的方程為.(1)已知直線在軸上的截距為，求的值；(2)已知直線的斜率為1，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，即且，令，則，即，得或(舍去)．∴.（2）由題意知，，即且，由直線l化為斜截式方程得，則，得或(舍去)．∴.14．已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過點的直線．(1)判斷點P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；(2)若圓C被直線l截得的弦長為，求直線l的方程．【答案】(1)點P不在圓上，證明見解析(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．【詳解】（1）點P不在圓上．證明如下：∵，∴由圓的定義可知點P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；（2）由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到直線l的距離，①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時，滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，又∵，解得，此時直線l為3x＋4y－8＝0，綜上所述：直線l的方程為x＝0或3x＋4y－8＝0．15．已知圓與圓.(1)若圓與圓相外切，求實數(shù)的值；(2)在（1）的條件下，若直線被圓所截得的弦長為，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）圓的方程可整理為：，圓心，半徑；其中,由圓方程知：圓心，半徑；圓與圓相外切，，解得：.（2）由（1）知：圓心，半徑，圓心到直線的距離，，解得：或.【能力提升】一、單選題1．已知直線和互相平行，則實數(shù)m的取值為（）A．﹣1或3 B．-3或﹣1 C．﹣1 D．3【答案】C【詳解】當時，不存在，，不平行.當時，，，因為平行，所以，解得或.當時，，，重合，舍去.當時，，，.綜上.故選：C2．點為軸上的點，，，以，，為頂點的三角形的面積為8，則點的坐標為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【詳解】設(shè)，直線的方程為，點到直線的距離，，所以，解得：或，所以點的坐標為或.故選：A3．如圖，圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線AB的斜率為，又直線AB過點，所以直線AB的方程為：，即.圓心到直線AB：的距離為，則．故選：B4．設(shè)m為實數(shù)，直線和圓相交于P，Q兩點，若，則m的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】A【詳解】解：圓，即，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，由弦長公式得，則，即，解得，所以，即，即，解得或.所以m的值為或．故選：A．5．古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A，B的距離為2，動點Р滿足，若點Р不在直線AB上，則面積的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】以點A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，設(shè)點，由得：，即，整理得：，因此點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，則P到直線AB距離的最大值為，所以面積的最大值為.故選：B二、填空題6．已知圓與圓相交于兩點，則_________.【答案】【詳解】解：因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.7．已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．【答案】【詳解】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以兩圓相內(nèi)切.由解得，所以兩圓切點的坐標為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為.故答案為：三、解答題8．已知圓，直線．(1)求圓的圓心坐標和半徑；(2)若直線與圓相切，求實數(shù)的值．【答案】(1)圓心的坐標為，半徑為2．(2)【詳解】（1）圓，圓的標準方程為．圓的圓心的坐標為，半徑為2．（2）直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得．實數(shù)的值為．9．已知，圓.(1)若圓與圓外切，求實數(shù)的值；(2)當在中任意取值時，求圓心的軌跡方程；(3)是否存在定直線，使得：動圓截直線所得的弦長恒為?若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)或(2)(3)存在，且的方程為或.【詳解】（1）圓，，所以圓的圓心為，半徑.圓的圓心為，半徑為，由于圓與圓外切，所以，解得或.（2）由（1）得，即，消去得，所以圓心的軌跡方程為.（3）設(shè)直線交圓于兩點，設(shè)到直線的距離為，則，假設(shè)存在符合題意的定直線，則，即圓心與直線的距離恒為，而圓心的軌跡方程為，所以可設(shè)直線的方程為，且，解得或，所以存在符合題意的定直線，且定直線的方程為或.10．已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對稱．(1)求圓的方程；(2)