2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬卷（2020選修一全冊）02（全解全析）

20232024學(xué)年上學(xué)期期末模擬考試高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號碼等相關(guān)信息．4．測試范圍：（滬教版2020選修一）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．填空題（共12小題，滿分54分）1．（4分）已知m∈R，動(dòng)直線l1：x+my﹣2＝0過定點(diǎn)A，動(dòng)直線l2：mx﹣y﹣2m+3＝0過定點(diǎn)B，若l1與l2交于點(diǎn)P（異于點(diǎn)A，B），則|PA|+|PB|的最大值為．【分析】先確定兩條動(dòng)直線恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷兩條直線的位置關(guān)系，利用勾股定理結(jié)合不等式進(jìn)行分析求解即可．【解答】解：l1：x+my﹣2＝0可變形為（x﹣2）+my＝0，令y＝0，則x＝2，故動(dòng)直線l1：x+my﹣2＝0過定點(diǎn)A（2，0），l2：mx﹣y﹣2m+3＝0可變形為m（x﹣2）﹣（y﹣3）＝0，令x＝2，則y＝3，故動(dòng)直線l2：mx﹣y﹣2m+3＝0過定點(diǎn)B（2，3），又1?m+m?（﹣1）＝0，所以直線l1與直線l2垂直，則有PA⊥PB，且|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝9，所以，即|PA|+|PB|≤，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|時(shí)取等號，所以|PA|+|PB|的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了直線恒過定點(diǎn)問題以及直線與直線位置關(guān)系的判斷，同時(shí)考查了利用基本不等式求解最值問題，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．2．（4分）若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．錯(cuò)誤（判斷對錯(cuò)）【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線不一定垂直，故答案為：錯(cuò)誤．【點(diǎn)評】本題考查了直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3．（4分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝20，a5＝6，則a10＝11．【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，∴S5＝5a3＝20，∴a3＝4，∵a5＝6，a3＝4，∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2，即d＝1，∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故答案為：11．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意通項(xiàng)公式的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）若等差數(shù)列{an}中，a6＝3，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S11＝33．【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分析可得S11＝＝11a6，計(jì)算即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在等差數(shù)列{an}中，S11＝＝＝11a6＝33，故答案為：33．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知直線l1：mx﹣y﹣3m+1＝0與直線l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于點(diǎn)P，線段AB是圓C：（x+1）2+（y+1）2＝4的一條動(dòng)弦，且，則的最大值為8+2．【分析】由已知得到l1⊥l2，l1過定點(diǎn)（3，1），l2過定點(diǎn)（1，3），從而得到點(diǎn)P軌跡為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，設(shè)圓心為C2，半徑為r2，作垂直線段CD⊥AB，求得CD＝1，設(shè)圓C的半徑為r1，求得||的最大值，再由|+|＝2||得答案．【解答】解：設(shè)P（x，y），直線l1：mx﹣y﹣3m+1＝0與l2：x+my﹣3m﹣1＝0垂直又l1過定點(diǎn)E（3，1），l2過定點(diǎn)F（1，3），則PE⊥PF，即?＝（3﹣x，1﹣y）?（1﹣x，3﹣y）＝0，整理得P軌跡為圓（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，設(shè)圓C半徑為r1，P點(diǎn)軌跡圓的圓心為C2（2，2），半徑為r2，作CD⊥AB，則CD＝＝＝1，根據(jù)垂徑定理可知D為AB中點(diǎn)，因此|+＝2，則只需||最大即可，即當(dāng)C2、P、D、C四點(diǎn)共線即可，此時(shí)|||＝|CC2|+|CD|+r2＝3+1+＝4+1，則|+|的最大值為8+2．故答案為：8+2．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查向量模的最值的求法，理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．6．（4分）在數(shù)列{an}，{bn}中，，，且，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，則數(shù)列{an?bn}的最小值為．【分析】可由題意構(gòu)建為等差數(shù)列，求出an通項(xiàng)公式，{bn}可由Sn﹣Sn﹣1得出bn的通項(xiàng)公式，再利用作差法求出新數(shù)列an?bn單調(diào)性即可求出最小值．【解答】解：由可得，即數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，首項(xiàng)，，故d＝4，則，即，由，可得當(dāng)n≥2時(shí)，，∵b1＝S1＝2，符合，即{bn}的通項(xiàng)公式為，設(shè)新數(shù)列{cn}，，則cn+1﹣cn＝﹣＝，當(dāng)cn+1﹣cn＞0時(shí)，得n＞1.5，即n≥2時(shí)，{cn}是遞增數(shù)列；當(dāng)cn+1﹣cn＜0時(shí)，得n＜1.5，即c2＜c1，綜上所述是最小值，即數(shù)列{an?bn}的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（5分）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，焦距為10，則這條雙曲線的方程為．【分析】設(shè)雙曲線方程為，（a＞0，b＞0），由已知得，又c2＝a2+b2，由此能求出雙曲線方程．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為，（a＞0，b＞0），∵焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，焦距為10，∴，又c2＝a2+b2，解得c＝5，a＝，b＝2，∴雙曲線方程為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．8．（5分）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①Sn，S2n，S3n，?也是等差數(shù)列；②數(shù)列也是等差數(shù)列；③若S15＞0，S16＜0，則n＝8時(shí)，Sn最大；④若{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是19．其中所有真命題的序號是②③④．【分析】利用舉實(shí)例判斷①，利用等差數(shù)列的求和公式和定義判斷②，利用等差數(shù)列的求和公式判斷③，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①在等差數(shù)列{an}中，若a1＝1，d＝2，則an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，則Sn＝＝n2，S2n＝4n2，S3n＝9n2，不是等差數(shù)列，∴①錯(cuò)誤，②∵等差數(shù)列{an}，∴Sn＝na1+d，則＝a1+（n﹣1）×，則﹣＝a1+n?﹣[a1+（n﹣1）?]＝，∴數(shù)列也是等差數(shù)列，∴②正確，③若S15＞0，S16＜0，則S15＝15a8＞0，S16＝8（a8+a9）＜0，則a8＞0，a9＜0，則當(dāng)n＝8時(shí)，Sn最大，∴③正確，④∵S偶＝a2+a4+???+a2n＝（a2+a2n），S奇＝a1+a3+???+a2n﹣1+a2n+1＝（a1+a2n+1）＝（a2+a2n），∴＝＝，∴n＝9，∴此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是2×9+1＝19，∴④正確，故答案為：②③④．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式及其性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題．9．（5分）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1）是⊙C：x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q（x2，y2）是直線l：2x+3y﹣6＝0上的動(dòng)點(diǎn)，記LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，則LPQ的最小值是2﹣．【分析】設(shè)P（sinθ，cosθ），0≤θ＜2π，將LPQ轉(zhuǎn)化成探求線段PQ長的最值問題求解即可．【解答】解：如圖，根據(jù)題意設(shè)P（sinθ，cosθ），0≤θ＜2π，顯然圓C與直線l相離，LPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝＝≥|PQ|，當(dāng)且僅當(dāng)|x1﹣x2||y1﹣y2|＝0時(shí)取等號，當(dāng)|x1﹣x2|＝0時(shí)，x1＝x2＝cosθ，y2＝2﹣cosθ，y1＝sinθ，|PQ|＝|y1﹣y2|＝|sinθ+cosθ﹣2|＝|sin（θ+φ）﹣2|其中tanφ＝，此時(shí)，|PQ|＝2﹣sin（θ+φ）≥2﹣，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+φ）＝1時(shí)取等號，當(dāng)|y1﹣y2|＝0時(shí)，y1＝y(tǒng)2＝sinθ，x2＝3﹣sinθ，x1＝cosθ，|PQ|＝|x1﹣x2|＝|cosθ+sinθ﹣3|＝|sin（θ+Φ）﹣3|其中tanΦ＝，此時(shí)，|PQ|＝3﹣sin（θ+Φ）≥3﹣，當(dāng)且僅當(dāng)sin（θ+Φ）＝1時(shí)取等號，顯然3﹣≥2﹣，因此，當(dāng)|x1﹣x2||y1﹣y2|＝0時(shí)，|PQ|min＝2﹣，則LPQ的最小值是2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評】本題考查了圓的參數(shù)方程，訓(xùn)練了利用換元法及三角函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10．（5分）已知n∈N*，將數(shù)列{2n﹣1}與數(shù)列{n2﹣1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列{an}，則＝．【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可．【解答】解：設(shè)2n﹣1＝m2﹣1，即2n＝m2，又2n為偶數(shù)，則m為偶數(shù)，即，則，則＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了裂項(xiàng)求和，屬基礎(chǔ)題．11．（5分）雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過焦點(diǎn)F2與x軸垂直的直線和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P．若|?|，則雙曲線的離心率為．【分析】由題意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），令x＝c，可得P的坐標(biāo)，已知向量等式可得（c+a）2+（）2＝2c（c+a），化簡整理，由此可求雙曲線的離心率．【解答】解：由題意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），令x＝c，可得y＝±b＝±，可取P（c，），由|?|，得（c+a）2+（）2＝2c（c+a），化為（c+a）（c﹣a）＝c2﹣a2＝b2＝，即有a＝b，得c＝a，則e＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝n，且數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，若Tn+（﹣1）n+1?λ＞0，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．【分析】化簡得，采用疊加法求得，則原不等式等價(jià)于，分n為奇偶分離參數(shù)λ，結(jié)合單調(diào)性可求λ的取值范圍．【解答】解：∵，∴＝，∵，∴，當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，，令，易知f（n）單減，故，∴；當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，，令，易知y（n）單增，故，∴，綜上可知，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)列的遞推式，考查了裂項(xiàng)相消法和，同時(shí)考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比和首項(xiàng)，方法一：當(dāng)n＝1時(shí)，＝1，代入驗(yàn)證即可得到正確選項(xiàng)；方法二：求出通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，再根據(jù)選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，∴a6﹣a4＝（a5﹣a3）q，∴公比q＝2，∴a1q4﹣a1q2＝12，∴a1＝1，方法一：當(dāng)n＝1時(shí)，＝1，代入驗(yàn)證，只有C符合，方法二：an＝2n﹣1，Sn＝＝2n﹣1，則C正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式，求和公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“0＜q＜1”是“{an}為遞減數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷：當(dāng)a1＜0時(shí)，“0＜q＜1”“{an}為遞增數(shù)列”；{an}為遞減數(shù)列”，a1＜0時(shí)，q＞1，根據(jù)充分必要條件的定義可以判斷答案．【解答】解：∵數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“0＜q＜1”，∴當(dāng)a1＜0時(shí)，“{an}為遞增數(shù)列”，又∵“0＜q＜1”是“{an}為遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，充分必要條件的定義，屬于容易題．15．（5分）垂直于直線y＝x+1且與圓x2+y2＝4相切于第一象限的直線方程是（）A．x+y+2＝0 B．x+y+2＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+y﹣2＝0【分析】由直線垂直可設(shè)直線的方程，由直線和圓相切待定系數(shù)可得．【解答】解：垂直于直線y＝x+1的直線斜率為﹣1，故可設(shè)切線方程為y＝﹣x+b，即x+y﹣b＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得2＝，解得b＝2，或b＝﹣2，∴相切于第一象限的直線方程為x+y﹣2＝0，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓的切線方程，涉及直線與圓的位置關(guān)系和直線的垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．16．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＞0，且S12＝S15，則使Sn＞0成立的最大n值為（）A．13 B．14 C．26 D．27【分析】由題意可得等差數(shù)列{an}的公差d＜0．推導(dǎo)出a13＞0，a14＝0，進(jìn)而S27＝0，S26＞0．由此能求出使得Sn＞0成立的最大n值．【解答】解：若a1＞0，且S12＝S15，∵S15﹣S12＝0，即a15+a14+a13＝0，即有3a14＝0，得a14＝0，可得等差數(shù)列{an}的公差d＜0，a13＞0，所以有S27＝＝＝27a14＝0，S26＝＝＝13a13＞0，∴使Sn＞0成立的最大n值為26，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和取最小值時(shí)項(xiàng)數(shù)n的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題，滿分76分）17．（14分）已知圓C的圓心為直線x﹣y﹣1＝0與直線2x﹣y﹣1＝0的交點(diǎn)，直線3x+4y﹣11＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB＝6，求圓C的方程．【分析】要求圓C的方程，先求圓心，再求半徑，根據(jù)垂徑定理，利用勾股定理求出半徑．寫出圓的方程即可．【解答】解：直線x﹣y﹣1＝0與直線2x﹣y﹣1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），所以圓心的坐標(biāo)為（0，﹣1）；圓心C到直線AB的距離d＝＝3，因?yàn)锳B＝6，所以根據(jù)勾股定理得到半徑r＝＝3，所以圓的方程為x2+（y+1）2＝18．【點(diǎn)評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程．靈活運(yùn)用垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式解決數(shù)學(xué)問題．18．（14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{an}的前多少項(xiàng)和最大．【分析】（1）將n＝20代入sn公式，計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝s1，可得a1的值，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝sn﹣sn﹣1，求出an的表達(dá)式，綜合可得答案；（3）根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則其前20項(xiàng)的和s20＝32×20﹣400+1＝241；（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝s1＝32，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝sn﹣sn﹣1＝32n﹣n2+1﹣32（n﹣1）+（n﹣1）2﹣1＝﹣2n+33；綜合可得：an＝；（3）根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，易得，當(dāng)n＝16時(shí)，sn取得最大值，且其最大值為s16＝257．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．19．（14分）對于項(xiàng)數(shù)為m（m≥3，m∈N）的有限數(shù)列{an}，記該數(shù)列前i項(xiàng)a1、a2、?、ai中的最大項(xiàng)為xi（i＝1，2，?，m），即xi＝max{a1，a2，?，ai}；該數(shù)列后m﹣i項(xiàng)ai+1、ai+2、?、am中的最小項(xiàng)為yi（i＝1，2，?，m﹣1），即yi＝min{ai+1，ai+2，?，am}，di＝xi﹣yi（i＝1，2，?，m﹣1）．例如數(shù)列：1、3、2，則x1＝1，x2＝3，x3＝3；y1＝2，y2＝2；d1＝﹣1，d2＝1．（1）若四項(xiàng)數(shù)列{an}滿足y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝3，d1＝﹣4，d2＝1，d3＝5，求a1、a2、a3、a4；（2）設(shè)c為常數(shù)，且ak+xm﹣k+1＝c（k＝1，2，?m），求證：xk＝ak（k＝1，2，?，m）；（3）設(shè)實(shí)數(shù)λ＞0，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝λan﹣1+（n＝2，3，?，m），若數(shù)列{an}對應(yīng)的di滿足di+1＞di對任意的正整數(shù)i＝1，2，3，?，m﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）結(jié)合已知條件，首先求出x1，x2，x3，然后利用數(shù)列{an}的新定義即可求解；（2）結(jié)合數(shù)列新定義可得到xk+1≥xk，然后結(jié)合已知條件可得到ak+1≥ak，進(jìn)而即可證明xk＝ak；（3）結(jié)合已知條件對參數(shù)分類討論，易知當(dāng)λ＝1和λ＝時(shí)，不滿足題意；當(dāng)λ≠1且λ≠時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列井求出an通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列新定義可得到xi＝ai，進(jìn)而求得di＝ai﹣ai+1，然后可得到，對不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）因?yàn)樗捻?xiàng)數(shù)列{an}滿足v1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝3，d1＝﹣4，d2＝1，d3＝5由題意可知xi＝y(tǒng)i+di，故x1＝﹣1，x2＝4，x3＝8，且y3＝a4＝3，因?yàn)閥1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝3，從而a1＝﹣1，a2＝4，a3＝8，故a1＝﹣1，a2＝4，a3＝8，a4＝3．（2）證明：因?yàn)閤k＝max{a1，a2，?，ak}，xk+1＝max{a1，a2，?，ak，ak+1}，所以xk+1≥xk，又因?yàn)閍k+xm﹣k+1＝c1，所以ak+1+xn﹣k＝c，故ak+1﹣ak＝xm﹣k+1﹣xm﹣k≥0，即ak+1≥ak，所以xk＝ak．（3）①當(dāng)λ＝1時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，此時(shí)，不滿足題意；②當(dāng)λ≠1時(shí)，由可得，由a1＝1可知，，（i）當(dāng)時(shí)，，即an＝1，則數(shù)列an為常數(shù)列，此時(shí)di+1＝di＝0，不滿足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是公比為λ的等比數(shù)列，易得，由題意可知，di＝max{a1，a2，?，ai}﹣min{ai+1，ai﹣2，?，am}，di+1＝max{a1，a2，?，ai，ai+1}﹣min{ai+2，ai+3?，am}因?yàn)閙in{ai+1，ai+2，?，am1}≤min{ai+2，ai+3?，am}，且di+1＞di，所以max{a1，a2，?，ai，ai﹣1}＞max{a1，a2，?，ai}，故對于任意正整數(shù)i＝1，2，3，?，m都成立，從而xi＝ai，故di＝ai﹣ai+1，di+1＝ai+1﹣ai+2，所以，解得，故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．20．（16分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，是E上一點(diǎn)，且PF1與x軸垂直．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l與E交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，1），且△MAF2的面積是△MBF2面積的2倍，求直線l的方程．【分析】（1）因?yàn)槭荅上一點(diǎn)，且PF1與x軸垂直．可得c的值，及a，b的關(guān)系，再由a，b，c之間的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）由△MAF2的面積是△MBF2面積的2倍可得|AF2|＞|BF2|，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，可得A，B的坐標(biāo)，可得△MAF2的面積是△MBF2面積的3倍，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程，與橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，由△MAF2的面積是△MBF2面積的2倍，可得A，B的縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入兩根之和及兩根之積，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出直線l的方程．【解答】解：（1）由題意，得F2（1，0），F(xiàn)1（﹣1，0），且c＝1，則，即a＝2，所以，故E的方程為．（2）由題意，得|AF2|＞|BF2|，當(dāng)l與x軸重合時(shí)，|AF2|＝3，|BF2|＝1，從而△MAF2面積是△MBF2面積的3倍，此時(shí)不適合題意．當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，由題意，得Δ＞0，且，，由△MAF2的面積是△MBF2面積的2倍，得，所以y1＝﹣2y2，所以，，即，解得，所以直線l的方程為．【點(diǎn)評】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．21．（18分）已知無窮數(shù)列{an}（an∈Z）的前n項(xiàng)和為Sn，記S1，S2，…，Sn中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為bn．（1）若an＝|n﹣2|，請寫出數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)；（2）求證：“a1為奇數(shù)，ai（i＝2，3，4，…）為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是嚴(yán)格增數(shù)列的充分不必要條件；（3）若ai＝bi，i＝2，3，…，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【分析】（1）推導(dǎo)出，．由此能寫出數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)；（2）先證充分性，推導(dǎo)出bn＝n，從而數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列；再證不必要性，當(dāng)數(shù)列{an}中只有a2是奇數(shù)，其余項(xiàng)都是偶數(shù)時(shí)，S1為偶數(shù)，Si（i＝2，3，4…）均為奇數(shù)，bn＝n﹣1，數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，由此能證明：“a1為奇數(shù)，ai（i＝2，3，4，…）為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件；（3）當(dāng)ak為奇數(shù)時(shí)，推導(dǎo)出Sk不能為偶數(shù)；當(dāng)ak為偶數(shù)，推導(dǎo)出Sk不能是奇數(shù)，從而ak與Sk同奇偶，由此得到an．【解