陜西省銅川市2024屆高三上學(xué)期第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)

銅川市2023—2024學(xué)年度高三第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，只收答題卡。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.22.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸4.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，、、成等差數(shù)列，則（）A. B.3 C.或3 D.1.或5.函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.6.過直線上一點作圓的兩條切線（圓心為），切點分別是A，B，則四邊形的面積最小是（）A.1 B. C.2 D.7.構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國教育一直以來努力的方向，銅川市第一中學(xué)積極響應(yīng)黨的號召，開展各項有益于德智體美勞全面發(fā)展的活動。如圖所示的是該校高三（1）、（2）班兩個班級在某次活動中的德智體美勞的評價得分對照圖（得分越高，說明該項教育越好），則下列結(jié)論正確的是（）①高三（2）班五項評價得分的極差為1.②除體育外，高三（1）班的各項評價得分均高于高三（2）班對應(yīng)的得分.③高三（1）班五項評價得分的平均數(shù)比高三（2）班五項評價得分的平均數(shù)要高.④各項評價得分中，這兩個班的體育得分相差最大.A.②③ B.②④ C.①③ D.①④8.北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，已知聲音的聲強級（單位：）與聲強（單位：）滿足關(guān)系式：.若某人交談時的聲強級約為，且火箭發(fā)射時的聲強與此人交談時的聲強的比值約為，則火箭發(fā)射時的聲強級約為（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)圖象的一個對稱中心是，點在的圖象上，下列說法錯誤的是（）A. B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞減 D.是奇函數(shù)10.在中，是邊上的點，滿足，在線段（不含端點），，則的最小值為（）A. B. C. D.811.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為②若，則③存在點，使得④的最小值為A.①③ B.②④ C.②③ D.①④12.設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個數(shù)列的前2024項和______.14.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為______.15.2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分.唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬"）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標(biāo)為______.16.已知圓錐的外接球半徑為2，則該圓雉的最大體積為______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17.（本小題12分）在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且滿足______.（1）求；（2）求邊的最小值.請從下列條件：①；②；③中選一個條件補充在上面的橫線上并解答問題.18.（本小題12分）黨中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負擔(dān)和校外培訓(xùn)負擔(dān)意見》，也就是我們現(xiàn)在所稱的“雙減”政策.某地為了檢測雙減的落實情況，從某高中選了6名同學(xué)，檢測課外學(xué)習(xí)時長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.學(xué)生序號123456學(xué)習(xí)時長/分220180210220200230（1）若從被抽中的6名同學(xué)中隨機抽出2名，則抽出的2名同學(xué)課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘的概率；（2）下表是某班統(tǒng)計了本班同學(xué)2023年1-7月份的人均月課外勞動時間（單位：小時），并建立了人均月課外勞動時間關(guān)于月份的線性回歸方程、與的原始數(shù)據(jù)如下表所示：月份1234567人均月勞動時間89m12n1922由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知.（?。┣髆，n的值；（ⅱ）求該班6月份人均月勞動時間數(shù)據(jù)的殘差值（殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測值之差）.附：，，.19.（本小題12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）求點A到平面的距離.20.（本小題12分）已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知過右焦點的直線與交于A，B兩點，在軸上是否存在一個定點，使？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21.（本小題12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，令，若為的極大值點，證明：.選考題（共10分，請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分）22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為上的動點，點滿足，設(shè)點的軌跡為曲線，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）直線，與曲線交于點（不同于原點），與曲線交于點（不同于原點），求的最大值.23.【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)，求的取值范圍.

銅川市2024年高三第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)參考答案第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.C2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.C9.B10.B11.D12.A二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.1012 14.14 15. 16.答案詳解：1.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.2.【答案】A【解析】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿足必要性綜上“”是“”充分不必要條件，故選：A3.【答案】C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.4.【答案】B【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到方程，再解方程即可.【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，顯然，所以，解得或（舍去）故選：B.5.【答案】D【分析】方法一：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值的符號排除即可判斷；方法二：根據(jù)函數(shù)的奇偶性及某個函數(shù)值的符號排除即可判斷.【詳解】方法一：因為，即，所以，所以函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B，C；當(dāng)時，，即，因此，故排除A.故選：D.方法二：由方法一，知函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B，C；又，所以排除A.故選：D.6.【答案】D【分析】由距離公式結(jié)合勾股定理得出，進而由面積公式得出四邊形的面積最小值.【詳解】圓的圓心到直線的距離，故的最小值是3，又因為，則，故的面積的最小值是，故四邊形的面積的最小值是.故選：D.7.【答案】C【詳解】對于①，高三（2）班德智體美勞各項得分依次為9.5，9，9.5，9，8.5，所以極差為，正確；對于②，兩班的德育分相等，錯誤；對于③，高三（1）班的平均數(shù)為，（2）班的平均數(shù)為，故正確；對于④，兩班的體育分相差，而兩班的勞育得分相差，錯誤，故選：C.8.【答案】C【分析】由指數(shù)與對數(shù)的互化關(guān)系結(jié)合函數(shù)關(guān)系式計算即可.【詳解】設(shè)人交談時的聲強為，則火箭發(fā)射時的聲強為，且，得，則火箭發(fā)射時的聲強約為，將其代入中，得，故火箭發(fā)射時的聲強級約為，故選：C.9.【答案】B【分析】由可得，由對稱中心可求得，從而知函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項即可.【詳解】因為點在的圖象上，所以.又，所以.因為圖象的一個對稱中心是，所以，，則，.又，所以，則，A正確.，則直線不是圖象的一條對稱軸，B不正確.當(dāng)時，，單調(diào)遞減，C正確.，是奇函數(shù)，D正確.故選：B.10.【答案】B【分析】利用平面向量的線性運算推導(dǎo)出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為是邊上的點，滿足，則，所以，，因為在線段上（不含端點），則存在實數(shù)，使得，所以，，又因為，且、不共線，則，故，因為，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：B11.【答案】D【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由定義結(jié)合余弦定理、三角形面積公式判斷B；由余弦定理得出的最大角為銳角，從而判斷C；由基本不等式判斷D.【詳解】對于①：由，解得，，，則粗圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故①正確；對于②：由定義可知，由余弦定理可得，解得，則，故②錯誤；對于③：當(dāng)點為短軸的一個端點時，最大，此時，為銳角，則不存在點，使得，故③錯誤；對于④：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故④正確；故選：D12.【答案】A【分析】由題意可得，令，，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，沒有最小值，由，得，當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，當(dāng)時，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即的取值范圍為.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】1012【分析】根據(jù)等和數(shù)列的性質(zhì)可以求出奇數(shù)項都相等，偶數(shù)項也都相等，最后求和即可.【詳解】由等和數(shù)列概念可得，，，，，所以.故答案為：101214.【答案】14【分析】首先畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形根據(jù)其幾何意義即可求得當(dāng)過點時，取得最大值為14.【詳解】根據(jù)題意畫出滿足約束條件的可行域如下圖中著色部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，若取得最大值，即直線在軸上的截距取得最小值，將平移到過點時，直線在軸上的截距最小，此時目標(biāo)函數(shù)有最大值為14.故答案為：1415.【答案】【分析】結(jié)合兩點間線段最短，只需求其中一個點關(guān)于直線的對稱點，再求對稱點與另一點的距離即可.【詳解】由題可知A，B在的同側(cè)，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得即.將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點為，則即為與的交點，，解得，所以.故答案為：16.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓雉的高為，底面圓的半徑為，由勾股定理得，根據(jù)圓雉的體積公式得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)求出即可求解.【詳解】設(shè)圓雉的高為，底面圓的半徑為，則，即，所以該圓錐的體積為，設(shè)函數(shù)，則，令，函數(shù)單調(diào)遞增，令，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.即圓雉的最大體積為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）（一）必考題（共60分）17.（12分）【答案】（1）條件選擇見解析， （2）【分析】（1）選①，利用二倍角余弦公式及三角形的性質(zhì)求解，再利用余弦值求角；選②，利用余弦定理及面積公式建立方程求得，利用正切值求角；選③，利用兩角和正切公式化簡得，利用正切值求角；（2）由余弦定理得，利用基本不等式求得，從而解二次不等式得的最小值.【詳解】（1）選①，由得，解得或（舍去），因為，所以.選②，由余弦定理得，則，所以，所以，因為，所以.選③，由得，所以.所以，因為，所以.（2）由余弦定理得，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，所以.所以的最小值為.18.（12分）【答案】（1）（2）（?。?，；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)古典概型運算公式，結(jié)合列舉法進行求解即可；（2）（?。└鶕?jù)題中所給的公式進行求解即可；（ⅱ）利用代入法，結(jié)合殘差的定義進行求解即可.【詳解】（1）用表示從被抽中的6名同學(xué)中隨機抽出2名同學(xué)的序號分別為和，則基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15個，將“抽出的2名同學(xué)的課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘”記為事件，由已知，序號為1，3，4，6的同學(xué)課外學(xué)習(xí)時長都不小于210分鐘，事件A中基本事件有，，，，，，共6個，；（2）（?。┯杀碇?，，，，即，①回歸直線恒過樣本點的中心，，即，②由①②，得，，③，，④由③④，得，（ⅱ）線性回歸方程為，當(dāng)時，預(yù)測值，此時殘差為.19.（12分）【答案】（1）證明見解析（2）.【詳解】（1），，平面平面，且交線為，平面，平面，平面，連接，，如圖，因為四邊形是邊長為的菱形，，所以為等邊三角形.又因為為的中點，所以，又，平面，平面，所以平面（2）設(shè)點A到平面的距離為，則，因為，所以，又由（1）知，又，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，又由，，，平面，平面，所以平面，且，，所以，即，所以點A到平面的距離為20.（12分）【答案】（1）（2）存在，【詳解】（1）因為，所以所以橢圓的方程為因為點在橢圓上，所以，解得，所以所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）存在定點，使.理由如下：由（1）知，，則點.設(shè)在軸上存在定點，使成立.當(dāng)直線斜率為0時，直線右焦點的直線即軸與交于長軸兩端點，若，則，或當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，，，由消去并整理，得，則，因為，所以，所以，即.所以，即，恒成立，即對，恒成立，則，即又點滿足條件.綜上所述，故存在定點，使21.（12分）【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）對參數(shù)分類討論，根據(jù)不同情況下導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負，即可判斷單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得的范圍，滿足的條件，以及