平面教學設計課件

2.1.1平面

教學目的：

1理解公理一、三,并能運用它解決點、線共面問題

2理解公理二,并能運用它找出兩個平面的交線及“三線共點”和“三點共線”

問題

教學重點：平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用.

教學難點：（1）對平面基本性質(zhì)的三條公理的理解.

（2）確定兩相交平面的交線.

教學過程：

一、復習引入：

1.平面的概念：

平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性常見的桌面，

黑板面，平靜的水面等都是平面的局部形象一個平面把空間分成兩部分，一條

直線把平面分成兩部分

2.平面的畫法及其表示方法：

①在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面當平面水平放置時，通常把平

行四邊形的銳角畫成45。，橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個平面相交時，當一個平面

的一部分被另一個平面遮住時，應把被遮住的部分畫成虛線或不畫

②一般用一個希臘字母a、/、/……來表示，還可用平行四邊形的對角頂

點的字母來表示如平面a,平面/C等

3.空間圖形是由點、線、面組成的

點、線、面的基本位置關系如下表所示：

圖形符號語言文字語言（讀法）

Aea點4在直線a上

△aA^a點z不在直線。上.

&A./Aea點N在平面a內(nèi)

,A；

/6c/A^a點Z不在平面a內(nèi).

aC\b=A直線a、b交于A點.

集合中"e”的符號只能用于點與直線，點與平面的關系，“U”和“n”

的符號只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系，雖然借用于集合

符號，但在讀法上仍用幾何語言.。01=0或?？诳?/

二、講解新課：

12平面的基本性質(zhì)

立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個公理體系.人們經(jīng)過長期的觀察和實踐，

把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.

公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在

這個平面內(nèi)

推理模式小外女圖一

推理模式：如圖不：

5ea

或者：/.AB<^a

應用：這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平

面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿.

①判定直線在平面內(nèi)；②判定點在平面內(nèi)模式：［a(Za^Aea.

AGa

公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過直線的“直”來刻劃平面的“平”,

通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面

內(nèi)，又是檢驗平面的方法.

公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些

公共點的集合是一條過這個公共點的直線.

A

推理模式：=/e/=an/如圖示:

A&（3

或者：''Aea,Ae/3,=l,Ael

應用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點在直線上

公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了

確定兩個平面交線的方法.

指出：今后所說的兩個平面（或兩條直線），如無特殊說明，均指不同的平面

（直線）

公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面

A,B,C不共線,

推理模式：A,B,Cea與《重合

A,B,CG0

或者：.me不共線，，存在唯一的平面a,使得

應用：①確定平面；②證明兩個平面重合

“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一,

“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有

且只有一個"既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學語言的敘

述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個"是同義詞，因

此，在證明有關這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論

證.

實例：（1）門：兩個合頁，一把鎖；（2）攝像機的三角支架；（3）自行車的撐腳

公理3及其下面要學習的三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑,

而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化使得立體幾何的

問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相

當一部分問題的主要的思想方法.

24.平面圖形與空間圖形的概念

如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi)，則稱這個圖形為平面圖形，否則

稱為空間圖形

推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.

已知：直線/，點”是直線/外一點.

求證：過點N和直線/有且只有一個平面?'

a7/

證明：（存在性）：在直線/上任取兩點8、C,

,：Ail,不共線.

由公理3,經(jīng)過不共線的三點4民?？纱_定一個平面a,

?.?點在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1,

：.lua,即平面a是經(jīng)過直線/和點/的平面.

（唯一，性）：,:B,Cwl,/ua,A&a,.,.點

由公理3,經(jīng)過不共線的三點4民。的平面只有一個，

所以，經(jīng)過/和點N的平面只有一個

推理模式：Zea=＞存在唯一的平面a,使得/ea,Iua

推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面

已知：直線anb=P.

求證：過直線a和直線b有且只有一個平面

證明：（存在性）：在直線a上任取兩點A,直線b上8,

,：aC\b=P,...48,尸不共線.

由公理3,經(jīng)過不共線的三點4民尸可確定一個平面a,

?.?點4民尸在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1,

a,bua,即平面a是經(jīng)過直線a和直線6的平面.

（唯一性）：aC\b=P,Aea,B&b,a,bua,

??點Z,B,Pwa,

由公理3,經(jīng)過不共線的三點48,P的平面只有一個,

所以，經(jīng)過直線a和直線6的平面只有一個

推理模式：。0力=P=＞存在唯一的平面a,使得〃力ua

推論3經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面

已知:直線a〃6./（L</

a"J

求證：過直線a和直線b有且只有一個平面

證明：（存在性）:

'：allb由平行線的定義，直線a和直線b在同一個平面a內(nèi),

即平面a是經(jīng)過直線a和直線6的平面.

（唯一性）：取4。￡〃，Bwb,

?Ia,bua,allb：.點A,B,C不共線且A,B,Cca,

由公理3,經(jīng)過不共線的三點4民。的平面只有一個,

所以，經(jīng)過直線a和直線b的平面只有一個

推理模式：a//6=＞存在唯一的平面a,使得a,bua

三、講解范例:5C-

A-,B/

例1求證:三角形是平面圖形

已知：三角形ABC

求證：三角形ABC是平面圖形

證明：?.?三角形ABC的頂點A、B、C不共線

...由公理3知，存在平面a使得A、B、Cea

再由公理1知，AB、BC、CAua

，三角形ABC上的每一個點都在同一個平面內(nèi)

三角形ABC是平面圖形

例2點/e平面BCD,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4上的點，若EH與FG交

于尸（這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形）

求證：P在直線AD上/p

證明：?；EHCFG=P,/.PEEH,PeFG,90

?.?￡,〃分別屬于直線/8,4。，F(xiàn)

EHu平面ZB。，：.Pe平面ABD,

同理：尸€平面。8。，

又,/平面ABDCl平面CBD=BD,

所以，P在直線80上

例3兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi)

已知：直線兩兩相交，交點分別為4民C:「A

h./

求證：直線共面

證法一：?.?直線Z8n/C=N，二直線Z8和ZC可確定平面a,

BGAB,CGAC,:?Bwa,Cwa,

/.BC<za,即AB,BC,CAua

即直線共面

證法二：因為Ac直線BC上，所以過點A和直線BC確定平面a.（推論1）

因為Ada,BGBC,所以Bea.故ABCa,

同理ACca,

所以AB,AC,BC共面.

證法三：

因為A,B,C三點不在一條直線上，所以過A,B,C三點可以確定平面a.

因為Aea,Bea,所以ABua.

同理BCCaACCa,所以AB,BC,CA三直線共面.

問題：在這題中“且不過同一點”這幾個字能不能省略，為什么？

例4在正方體4BCD-中，①與CG是否在

同一平面內(nèi)？②點8,G，。是否在同一平面內(nèi)？③畫出

平面AC,與平面BCQ的交線，平面ACD｝與平面BDC]

的交線

解：①在正方體NBC。-48cR中,

■:AA\/iCC\,：.由推論3可知，與CC,可確定平面，

...〃4與CG在同一平面內(nèi)

②?.?點8，G，0不共線，由公理3可知，點民G，。可確定平面BOQ，

.?.點8,G，0在同一平面內(nèi)

(3)VAC[}BD=O,O|CnOG=E，，點。€平面NQ,OG平面8c",

又Ge平面Ge平面8CA，二平面/Q口平面8CQ=。弓，

同理平面ACD}A平面BDC\=OE.

四、課堂練習：

1下面是一些命題的敘述語（A、B表示點，a表示直線，a、B表示平面）

A.AGa,Ba,ABea..B.Vaea,ae/3,aA^0=a.

C.VAea,aczafAea,D.Aa,aa,???/ea?

其中命題和敘述方法都正確的是（）

2.下列推斷中，錯誤的是（）

A.Ael,Aea,Bel,Bea^>la

B.Aea,Ae/3,Bea,Bej3=>aC\^=AB.

C.Icta,A&l=>Aa

D.A,B,Cea,A,B,Cep,且A、B、C不共線na,夕重合

3.一個平面把空間分成一部分，兩個平面把空間最多分成一部分，三個平

面把空間最多分成一部分.

4.判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”

（1）空間三點可以確定一個平面（）

（2）兩條直線可以確定一個平面（）

（3）兩條相交直線可以確定一個平面（）

（4）一條直線和一個點可以確定一個平面（）

（5）三條平行直線可以確定三個平面（）

（6）兩兩相交的三條直線確定一個平面