平面教學(xué)設(shè)計(jì)課件

2.1.1平面

教學(xué)目的：

1理解公理一、三,并能運(yùn)用它解決點(diǎn)、線共面問(wèn)題

2理解公理二,并能運(yùn)用它找出兩個(gè)平面的交線及“三線共點(diǎn)”和“三點(diǎn)共線”

問(wèn)題

教學(xué)重點(diǎn)：平面基本性質(zhì)的三條公理及其作用.

教學(xué)難點(diǎn)：（1）對(duì)平面基本性質(zhì)的三條公理的理解.

（2）確定兩相交平面的交線.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.平面的概念：

平面是沒(méi)有厚薄的，可以無(wú)限延伸，這是平面最基本的屬性常見(jiàn)的桌面，

黑板面，平靜的水面等都是平面的局部形象一個(gè)平面把空間分成兩部分，一條

直線把平面分成兩部分

2.平面的畫法及其表示方法：

①在立體幾何中，常用平行四邊形表示平面當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常把平

行四邊形的銳角畫成45。，橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個(gè)平面相交時(shí)，當(dāng)一個(gè)平面

的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫

②一般用一個(gè)希臘字母a、/、/……來(lái)表示，還可用平行四邊形的對(duì)角頂

點(diǎn)的字母來(lái)表示如平面a,平面/C等

3.空間圖形是由點(diǎn)、線、面組成的

點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：

圖形符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言（讀法）

Aea點(diǎn)4在直線a上

△aA^a點(diǎn)z不在直線。上.

&A./Aea點(diǎn)N在平面a內(nèi)

,A；

/6c/A^a點(diǎn)Z不在平面a內(nèi).

aC\b=A直線a、b交于A點(diǎn).

集合中"e”的符號(hào)只能用于點(diǎn)與直線，點(diǎn)與平面的關(guān)系，“U”和“n”

的符號(hào)只能用于直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系，雖然借用于集合

符號(hào)，但在讀法上仍用幾何語(yǔ)言.。01=0或?？诳?/

二、講解新課：

12平面的基本性質(zhì)

立體幾何中有一些公理，構(gòu)成一個(gè)公理體系.人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的觀察和實(shí)踐，

把平面的三條基本性質(zhì)歸納成三條公理.

公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在

這個(gè)平面內(nèi)

推理模式小外女圖一

推理模式：如圖不：

5ea

或者：/.AB<^a

應(yīng)用：這條公理是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平

面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿.

①判定直線在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)在平面內(nèi)模式：［a(Za^Aea.

AGa

公理1說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別.通過(guò)直線的“直”來(lái)刻劃平面的“平”,

通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展性”，它既是判斷直線在平面

內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法.

公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些

公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線.

A

推理模式：=/e/=an/如圖示:

A&（3

或者：''Aea,Ae/3,=l,Ael

應(yīng)用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點(diǎn)在直線上

公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了

確定兩個(gè)平面交線的方法.

指出：今后所說(shuō)的兩個(gè)平面（或兩條直線），如無(wú)特殊說(shuō)明，均指不同的平面

（直線）

公理3經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

A,B,C不共線,

推理模式：A,B,Cea與《重合

A,B,CG0

或者：.me不共線，，存在唯一的平面a,使得

應(yīng)用：①確定平面；②證明兩個(gè)平面重合

“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說(shuō)明圖形存在，但不唯一,

“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有

且只有一個(gè)"既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性.在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘

述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)"是同義詞，因

此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論

證.

實(shí)例：（1）門：兩個(gè)合頁(yè)，一把鎖；（2）攝像機(jī)的三角支架；（3）自行車的撐腳

公理3及其下面要學(xué)習(xí)的三個(gè)推論是空間里確定一個(gè)平面位置的方法與途徑,

而確定平面是將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的重要條件，這個(gè)轉(zhuǎn)化使得立體幾何的

問(wèn)題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識(shí)來(lái)解決，是立體幾何中解決相

當(dāng)一部分問(wèn)題的主要的思想方法.

24.平面圖形與空間圖形的概念

如果一個(gè)圖形的所有點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這個(gè)圖形為平面圖形，否則

稱為空間圖形

推論1經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面.

已知：直線/，點(diǎn)”是直線/外一點(diǎn).

求證：過(guò)點(diǎn)N和直線/有且只有一個(gè)平面?'

a7/

證明：（存在性）：在直線/上任取兩點(diǎn)8、C,

,：Ail,不共線.

由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)4民?？纱_定一個(gè)平面a,

?.?點(diǎn)在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1,

：.lua,即平面a是經(jīng)過(guò)直線/和點(diǎn)/的平面.

（唯一，性）：,:B,Cwl,/ua,A&a,.,.點(diǎn)

由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)4民。的平面只有一個(gè)，

所以，經(jīng)過(guò)/和點(diǎn)N的平面只有一個(gè)

推理模式：Zea=＞存在唯一的平面a,使得/ea,Iua

推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

已知：直線anb=P.

求證：過(guò)直線a和直線b有且只有一個(gè)平面

證明：（存在性）：在直線a上任取兩點(diǎn)A,直線b上8,

,：aC\b=P,...48,尸不共線.

由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)4民尸可確定一個(gè)平面a,

?.?點(diǎn)4民尸在平面a內(nèi)，根據(jù)公理1,

a,bua,即平面a是經(jīng)過(guò)直線a和直線6的平面.

（唯一性）：aC\b=P,Aea,B&b,a,bua,

??點(diǎn)Z,B,Pwa,

由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)48,P的平面只有一個(gè),

所以，經(jīng)過(guò)直線a和直線6的平面只有一個(gè)

推理模式：。0力=P=＞存在唯一的平面a,使得〃力ua

推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面

已知:直線a〃6./（L</

a"J

求證：過(guò)直線a和直線b有且只有一個(gè)平面

證明：（存在性）:

'：allb由平行線的定義，直線a和直線b在同一個(gè)平面a內(nèi),

即平面a是經(jīng)過(guò)直線a和直線6的平面.

（唯一性）：取4。￡〃，Bwb,

?Ia,bua,allb：.點(diǎn)A,B,C不共線且A,B,Cca,

由公理3,經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)4民。的平面只有一個(gè),

所以，經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面只有一個(gè)

推理模式：a//6=＞存在唯一的平面a,使得a,bua

三、講解范例:5C-

A-,B/

例1求證:三角形是平面圖形

已知：三角形ABC

求證：三角形ABC是平面圖形

證明：?.?三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C不共線

...由公理3知，存在平面a使得A、B、Cea

再由公理1知，AB、BC、CAua

，三角形ABC上的每一個(gè)點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)

三角形ABC是平面圖形

例2點(diǎn)/e平面BCD,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4上的點(diǎn)，若EH與FG交

于尸（這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形）

求證：P在直線AD上/p

證明：?；EHCFG=P,/.PEEH,PeFG,90

?.?￡,〃分別屬于直線/8,4。，F(xiàn)

EHu平面ZB。，：.Pe平面ABD,

同理：尸€平面。8。，

又,/平面ABDCl平面CBD=BD,

所以，P在直線80上

例3兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

已知：直線兩兩相交，交點(diǎn)分別為4民C:「A

h./

求證：直線共面

證法一：?.?直線Z8n/C=N，二直線Z8和ZC可確定平面a,

BGAB,CGAC,:?Bwa,Cwa,

/.BC<za,即AB,BC,CAua

即直線共面

證法二：因?yàn)锳c直線BC上，所以過(guò)點(diǎn)A和直線BC確定平面a.（推論1）

因?yàn)锳da,BGBC,所以Bea.故ABCa,

同理ACca,

所以AB,AC,BC共面.

證法三：

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過(guò)A,B,C三點(diǎn)可以確定平面a.

因?yàn)锳ea,Bea,所以ABua.

同理BCCaACCa,所以AB,BC,CA三直線共面.

問(wèn)題：在這題中“且不過(guò)同一點(diǎn)”這幾個(gè)字能不能省略，為什么？

例4在正方體4BCD-中，①與CG是否在

同一平面內(nèi)？②點(diǎn)8,G，。是否在同一平面內(nèi)？③畫出

平面AC,與平面BCQ的交線，平面ACD｝與平面BDC]

的交線

解：①在正方體NBC。-48cR中,

■:AA\/iCC\,：.由推論3可知，與CC,可確定平面，

...〃4與CG在同一平面內(nèi)

②?.?點(diǎn)8，G，0不共線，由公理3可知，點(diǎn)民G，?？纱_定平面BOQ，

.?.點(diǎn)8,G，0在同一平面內(nèi)

(3)VAC[}BD=O,O|CnOG=E，，點(diǎn)。€平面NQ,OG平面8c",

又Ge平面Ge平面8CA，二平面/Q口平面8CQ=。弓，

同理平面ACD}A平面BDC\=OE.

四、課堂練習(xí)：

1下面是一些命題的敘述語(yǔ)（A、B表示點(diǎn)，a表示直線，a、B表示平面）

A.AGa,Ba,ABea..B.Vaea,ae/3,aA^0=a.

C.VAea,aczafAea,D.Aa,aa,???/ea?

其中命題和敘述方法都正確的是（）

2.下列推斷中，錯(cuò)誤的是（）

A.Ael,Aea,Bel,Bea^>la

B.Aea,Ae/3,Bea,Bej3=>aC\^=AB.

C.Icta,A&l=>Aa

D.A,B,Cea,A,B,Cep,且A、B、C不共線na,夕重合

3.一個(gè)平面把空間分成一部分，兩個(gè)平面把空間最多分成一部分，三個(gè)平

面把空間最多分成一部分.

4.判斷下列命題的真假，真的打“J”，假的打“X”

（1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（）

（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面（）

（3）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（）

（4）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（）

（5）三條平行直線可以確定三個(gè)平面（）

（6）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面