立體幾何綜合題（原卷版）-2022年新高考數(shù)學模擬試題分類匯編（江蘇專用）

專題12立體幾何綜合題

1.(2021?江蘇一模)如圖，在五面體45aJE/中，四邊形ABEF為正方形，平面A3EF_L平面CDFE,

CD//EF,DFYEF,EF=2CD=2.

(1)若。尸=2,求二面角A-CE-F的正弦值;

(2)若平面Ab_L平面8CE,求DF的長.

2.(2021?南京二模)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面AfiCD,M為線段PC

的中點，PD=AD,N為線段BC上的動點.

(1)證明：平面MNE>_L平面尸3C；

(2)當點N在線段BC的何位置時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°?指出點N的位置，

并說明理由.

3.(2021?江蘇一模)如圖，在正六邊形ABCDE/；'中，將AA8F沿直線8尸翻折至△,使得平面A8尸_L

平面BCDEF,O,"分別為防和AC的中點.

(1)證明：O//〃平面A￡F;

(2)求平面48c與平面ADE所成銳二面角的余弦值.

4.(2021?江蘇一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AMD是以4)為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

AB1AD,AD=2AB=2BC=2,PC=y/2,E為PD的中點.

(1)求直線尸3與平面PAC所成角的正弦值；

(2)設(shè)F是班的中點，判斷點尸是否在平面B4C內(nèi)，并請證明你的結(jié)論.

5.(2021?江蘇二模)如圖，三棱柱A8C-AgG的所有棱長都為2，B、C=屈,ABJ.4c.

(1)求證：平面AB與A_L平面AfiC；

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(2)若點P在棱上且直線CP與平面ACGA所成角的正弦值為g，求8P的長

6.(2021?江蘇二模)如圖，在三棱臺ABC-A8C中，ACVA.B,。是8c的中點，4。_1,平面ABC.

(1)求證：ACA.BC；

(2)若4。=1，AC=2y/3,BC=ABI=2,求二面角耳-BC-A的大小.

7.(2021?徐州模擬)在如圖所示的圓柱OR中，為圓01的直徑，C,。是AB的兩個三等分點，EA,

FC,GB都是圓柱RO?的母線.

(1)求證：FOJ/平面4DE；

⑵若BC=FC=2,求二面角B-AF-C的余弦值.

8.(2021?江蘇模擬)圖1是由正方形ABC。，RtAABE,RtACDF組成的一個等腰梯形，其中Afi=2,將

MBE、ACD尸分別沿AB,C￡＞折起使得E與尸重合，如圖2.

(1)設(shè)平面A3EC平面CDE=/,證明：Z//CD；

(2)若二面角A-8E-。的余弦值為好，求他長.

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圖1圖2

9.(2021?江蘇模擬)如圖，矩形BCDE所在平面與A4BC所在平面垂直，ZACB=90°,BE=2.

(1)證明：￡)E_L平面ACD；

(2)若平面4DE與平面43c所成銳二面角的余弦值是把-,且直線AE與平面3CDE所成角的正弦值是1，

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求異面直線DE與AB所成角的余弦值.

D

10.（2021?蘇州模擬）如圖，四棱錐尸-MCG的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=3.

(1)證明：NPAD=NPBC;

（2）當直線P4與平面PC￡＞所成角的正弦值最大時，求此時二面角P-A8-C的大小.

II.（2021?揚州一模）如圖，在三棱錐A-BCD中，MBD與ABCD都為等邊三角形，平面ABDA.平面BCD，

M,O分別為43,%）的中點，AO^\DM=G,N在棱CD上且滿足2CN=ND,連接MC,GN.

(1)證明：GN//平面ABC；

(2)求直線AC和平面GNZ）所成角的正弦值.

12.（2021?淮安模擬）如圖1所示，梯形ABCD中，AO=2A8=23C=2CO=4.E為AD的中點，連結(jié)8E,

AC交于尸，將AABE沿BE折疊，使得平面至E_L平面8cDE（如圖2）.

（1）求證：AFYCD；

（2）求平面"C與平面4DE所成的二面角的正弦值.

13.(2021?如皋市模擬)如圖，在多面體中，底面/WCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,四邊

形比)EF是矩形，平面由無尸，平面ABC。，BF=3,G和H分別是CE和CF的中點.

(I)求證：平面BDGH//平面AEF；

(II)求二面角"-BD—C的大小.

14.(2021?江蘇模擬)如圖，在直角AABC中，直角邊AC=2,Z4=60°,M為他的中點，Q為8C的

中點，將三角形A4MC沿著MC折起，使A"，MB,(A為A翻折后所在的點)，連接M。.

(1)求證：MQJ.A8；

(2)求直線MB與面AMC所成角的正弦值.

15.(2021?南京三模)如圖，在四棱錐P-A8C。中，四邊形A88為直角梯形，AD//BC,ZABC=90°,

AD=2BC=2AB=4,4為。為等邊三角形，E為PD的中點，直線43與CE所成角的大小為45。.

(1)求證：平面上M)_L平面ABCD；

(2)求平面R4B與平面PCD所成角的正弦值.

16.（2021?常州一模）在矩形中，3c=243=2,取3c邊上一點/，將A/出”沿著AM折起，如

圖所示形成四棱錐S-408.

（1）若"為BC的中點，二面角S-4W-3的大小為工，求AS與平面所成角的正弦值;

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（2）若將AABM沿著AM折起后使得SOLAA7,求線段MC的長.

17.（2021?江蘇模擬）如圖，在水平桌面上放置一塊邊長為1的正方形薄木板ABCD.先以木板的45邊為

軸，將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動，得到平面ABCQ,此時的大小為e（o<e<］）.再以木板的A4邊為軸，

將木板向上緩慢轉(zhuǎn)動，得到平面ABC?。，此時NQSG的大小也為e.

（1）求整個轉(zhuǎn)動過程木板掃過的體積；

（2）求平面與平面MCD所成銳二面角的余弦值.

18.（2021?常州一模）如圖，在四棱錐P-/WCD中，底面四邊形是矩形，AB=AP=2BC,平面以5JL

平面/WCZ）,二面角P-8C-A的大小為45。.

（1）求證：E4_L平面AB8；

（2）求直線P8與平面R4c所成的角的正弦值.

19.(2021?蘇州模擬)如圖，三棱錐S-ABC的底面ABC和側(cè)面S3C都是等邊三角形，且平面S3CJ_平面

ABC.

(1)若P點是線段SA的中點，求證：SAJ_平面戶8C；

(2)點。在線段出上且滿足AQ=,求BQ與平面SAC所成角的正弦值.

20.(2021?江蘇模擬)在四棱錐P-"C￡>中，平面F4T>_L平面ABCD,底面ABCD為直角梯形，BC//AD,

ZADC=90°,BC=CD=\,PA=PD=AD=2,￡為線段4)的中點，過BE的平面與線段PD,PC分

別交于點G,F.

(I)求證：GFrPA；

(II)在棱PD上是否存在點G,使得直線PB與平面3EGR所成角的正弦值為叵，若存在，請確定G點

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的位置；若不存在，請說明理由.

21.(2021?江蘇模擬)如圖，四棱錐C-ABDE中，AE//BD,AE=28￡>=2,點/是Afi的中點，點G在

線段“■上，&2DG=GC.

(1)求證：BG//平面CEF；

(2)若他_1_平面ABC,AE^AB,AC=CB=6,求二面角F一EC-O的正弦值.

22.(2021?無錫一模)如圖，四棱錐尸一ABCD中，Q4_L平面ABC￡>,AD//BC,NfiM)=120。，AB=AD=2,

點〃在線段尸。上，且DM=2MP,P8//平面M4c.

(1)求證：平面M4c_L平面皿>;

(2)若24=3,求平面和平面M4c所成銳二面角的余弦值.

23.(2021?南通模擬)如圖，在四棱錐P-A88中，四邊形A3CD是等腰梯形，AB//DC,BC=CD=2,

AB=4.M,N分別是43,AZ)的中點，且P￡>_LNC,平面BU9J_平面/WCD.

(1)證明：PD_L平面ABC。；

(2)已知三棱錐。-P4B的體積為士，求二面角C-PN-M的大小.

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M

24.(2020?珠海三模)如圖，四棱錐尸-9CD,四邊形ABCD為平行四邊形，ADA.BD,ACp\BD=O,

AD=BD=2,PBA.PD,PB=PD,PA=PC,〃為中點.

(1)求證：〃平面PBC；

(2)求證：平面E4O_L平面尸斑?；

(3)求二面角A-P3-C的余弦值.

25.(2021?江蘇模擬)如圖，在三棱柱4?C-AB|G中，AABC是邊長為2的等邊三角形，平面ABC_L平

面A4,用8,AA=48,NAAB=60。，O為AB的中點，M為AG的中點?

(1)求證：QM//平面BBC。；

(2)求二面角￡-8A-C的正弦值.

26.(2020?咸陽二模)如圖，在直角梯形A8CD中，AB//DC,NA8C=90。，AB=2DC=2BC,E為AB

的中點，沿上將A4DE折起，使得點A到點尸位置，且PELEB,M為P3的中點，N是3c上的動點

(與點8,C不重合).

(1)求證：平面EMNJ_平面P8C；

(2)是否存在點N,使得二面角8-硒-M的余弦值.？若存在，確定N點位置；若不存在，說明理由.

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27.(2021?蘇州模擬)如圖，多面體PQA3CZ)中，四邊形AB8是菱形，R4_L平面ABCZ),"=24=2,

ZABC=60°,QC=QD=2y/2,PQ=a(a>0).

(1)設(shè)點尸為棱8的中點，求證：對任意的正數(shù)。，四邊形尸QE4為平面四邊形；

(2)當a=J五時，求直線P0與平面PBC所成角的正弦值.

28.(2021?江蘇模擬)已知AB是圓。的直徑，且長為4,C是圓O上異于A,3的一點，點P到A,B,

C的距離均為2G.設(shè)二面角P—AC—8與二面角P—8C—4的大小分別為a,/?.

(1)求一士一+—^的值；