3.2 函數(shù)的性質(zhì)（精練）-2022版高中數(shù)學新同步精講精煉（必修第一冊）（教師版含解析）

3.2函數(shù)的性質(zhì)【題組一性質(zhì)法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)】1．(2020·林芝市第二高級中學高二期中(文))函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函數(shù),∴函數(shù)圖像為開口向下的拋物線,且其對稱軸為軸∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故選:A.2．(2019·福建高二期末(理))函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是()A． B． C． D．【答案】B【解析】定義域為恒成立所以在上單增，在上單增所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是3．函數(shù)y＝的單調(diào)區(qū)間是()A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1} D．R【答案】A【解析】單調(diào)區(qū)間不能寫成集合，故C不對，由于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也不能超出定義域，故D不對，由于函數(shù)在(－∞，1)和(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以B表達不當．故答案為：A.4．(2019·遼寧大連。高一期末)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的二次項的系數(shù)大于零，拋物線的開口向上，二次函數(shù)的對稱軸是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故選A．5．(2018·唐山市第十一中學高一月考)下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，函數(shù)在上遞減.對于B選項，函數(shù)在和上遞減.對于C選項，函數(shù)在上遞減，在上遞增.對于D選項，函數(shù)在上遞減，在上遞增，故也在上遞增，符合題意.故選D.6．(2020·上海高一課時練習)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為____________．【答案】【解析】函數(shù)由復合而成，單調(diào)遞減，則的減區(qū)間為即為函數(shù)的增區(qū)間，所以的增區(qū)間為.【題組二定義法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)】1．(2020·浙江高一課時練習)已知函數(shù).(1)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù).(2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)，.【解析】(1)任取，，且，則.∵，∴，，∵，即，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，.2．(2020·全國高一)利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上是減函數(shù)．【答案】證明見解析【解析】證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)且，則，∵，∴，，．∴．即，．∴在上是減函數(shù)．3．(2020·全國高一)已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】(1)增函數(shù).見解析(2)，【解析】(1)設(shè)且，所以∵∴，∴即，在上為增函數(shù).(2)在上為增函數(shù)，則，【題組三圖像法求單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)】1．(2020·全國高一課時練習)如圖是定義在區(qū)間，上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【答案】答案見解析【解析】從函數(shù)圖象上看，當時，圖象呈下降趨勢，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減；從函數(shù)圖象上看，當時，圖象呈上升趨勢，所以為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增；從函數(shù)圖象上看，當時，圖象呈下降趨勢，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞減；從函數(shù)圖象上看，當時，圖象呈上升趨勢，所以為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在此區(qū)間單調(diào)遞增．2．(2020·上海高一課時練習)作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)減區(qū)間：和，值域：；減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：；增區(qū)間：和，減區(qū)間：，值域：；減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：；(5)減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：，大致圖像見解析【解析】(1)，圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù).因為，所以，故值域為：；(2)，圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，當時，取得最小值，故值域：；(3)，圖象如圖所示：函數(shù)在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)，值域為：.(4)，圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù).值域為：；(5)，函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，值域為：.3(2019·深州長江中學高一期中)已知函數(shù)(1)請在給定的坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；(2)寫出此函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間，并寫出值域.【答案】(1)作圖見解析；(2)定義域為，增區(qū)間為，減區(qū)間為、、，值域為.【解析】(1)圖象如圖所示：(2)由函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的定義域為，增區(qū)間為，減區(qū)間為、、，值域為.【題組四利用單調(diào)性求參數(shù)】1．(2019·廣東順德一中高一期中)如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】.【解析】由題意得，當時，函數(shù)，滿足題意，當時，則，解得，綜合得所求實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.2．(2020·全國高一課時練習)已知函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)【解析】∵函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，

函數(shù)的對稱軸為或故的取值范圍為或.故答案為:．3．(2020·全國高一課時練習)若函數(shù)f(x)＝(4－x)(x－2)在區(qū)間(2a，3a－1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】f(x)是開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸x＝3解得故答案為：4．(2020·全國高一課時練習)函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則的取值范圍是________.【答案】(－1，1)【解析】函數(shù)在上是減函數(shù)，且，，解得，故答案為：5．(2020·天津高二期末)已知，若，則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】在區(qū)間都是增函數(shù)，并且在處函數(shù)連續(xù)，所以在上是增函數(shù)，等價于，解得.故答案為:6．(2020·浙江高一課時練習)已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】.【解析】∵是上的增函數(shù)，∴，即對一切都成立，∴.故答案為：．7．(2020·浙江高一課時練習)若的定義域為且在上是減函數(shù)，則下列不等式成立的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】，函的定義域為且在上是減函數(shù)，可得．故選：B．8．(2020·全國高一課時練習)若函數(shù)的定義域為，且為增函數(shù)，，則的取值范圍又是什么？【答案】【解析】由于函數(shù)的定義域為，且為增函數(shù)，由，可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.9．(2020·全國高一課時練習)已知y＝f(x)在定義域(－1，1)上是減函數(shù)，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范圍.【答案】【解析】由題意可知，，解得【題組五奇偶性的判斷】1．(2020·全國高一專題練習)判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)；(3)；(4)【答案】(1)奇函數(shù)；(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(3)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；(4)奇函數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函數(shù)的定義域為{－1，1}，關(guān)于原點對稱．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱．f(－x)＝，于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．2．(2019·全國高一課時練習)判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)．【答案】(1)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)偶函數(shù)．【解析】(1)由于該函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱．，所以函數(shù)為偶函數(shù)．3．(2018·上海市上南中學高一期中)已知函數(shù)，求(1)函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】(1)且；(2)奇函數(shù)【解析】(1)由題得得且x，所以函數(shù)的定義域為且.(2)由(1)得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.,所以函數(shù)是奇函數(shù).【題組六利用奇偶性求解析式】1．(2016·徐匯。上海中學高一期末)已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】因為是定義在上的奇函數(shù),所以,當時,,所以,當時,,所以.故答案為:.2．(2020·浙江高一課時練習)函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當時，，則當時，________．【答案】【解析】令，則，∴，又函數(shù)在上為奇函數(shù)，則，即，得，故當時，．3．(2020·吉林寧江.松原市實驗高級中學高三其他(文))已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則當時，______．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，有，又由為偶函數(shù)，則，即，故答案為：．4．(2020·呼和浩特開來中學高二期末(文))已知定義在R上的奇函數(shù),當時,,那么當時,的解析式為().A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè),則,∵∴.故選：D【題組七利用奇偶性求參數(shù)】1．(2020·林芝市第二高級中學高二期末(文))已知函數(shù)，若，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，則.故選：B.2．(2020·上海高一開學考試)函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】為奇函數(shù)，.，.故由，得.又在單調(diào)遞減，，.故選：D3．(2019·浙江南湖。嘉興一中高一月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)(x+a)x為奇函數(shù)，則a＝【答案】-1【解析】因為函數(shù)f(x)＝(x+1)(x+a)x為奇函數(shù)，∴f(1)=(1+1)(1+a)1=-f(-1)=4．(2019·浙江湖州.高一期中)若定義域為的函數(shù)是偶函數(shù)，則______，______.【答案】20【解析】偶函數(shù)的定義域為，則，解得，所以，滿足的對稱軸關(guān)于軸對稱，所以對稱軸，解得.故答案為：2；05．(2020·遼寧丹東.高一期末)已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，，那么實數(shù)m的值為________，的值為________.【答案】23【解析】由于奇函數(shù)的定義域為，所以，解得.所以當時，，所以.故答案為：(1).2(2).36．(2019·浙江高一期中)已知是定義在上的偶函數(shù)，則實數(shù)____，此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為____．【答案】2【解析】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以其對稱軸為軸；即，解得；于是，顯然其單調(diào)增區(qū)間為：．故答案為2；【題組八單調(diào)性與奇偶性的綜合運用】1．(2020·盤錦市第二高級中學高二月考(理))已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，∴不等式可變?yōu)?，∴，解得．故選：B．2．(2019·哈爾濱市第一中學校高三開學考試(文))已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則的解集是()A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，．由得或，解得或，即．所以不等式的解集為.故選：A.3．(2020·浙江高一課時練習)已知函數(shù)，若在上的值域為，則________.【答案】.【解析】由題意知函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴即解得.故答案為：．4．(2019·四川仁壽.高一期中)已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當時，，則的解集為______.【答案】【解析】因為函數(shù)為R上的奇函數(shù),當時,令,則則由奇函數(shù)定義可得,所以所以當時,即所以,解不等式可得當時,成立當時,即,所以,解不等式可得綜上所述,不等式成立的解集為故答案為:5．(2020·浙江高一課時練習)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且(1)求函數(shù)的解析式；(2)用定義證明:在上是增函數(shù)；(3)解不等式:【答案】(1)；(2)見詳解；(3).【解析】(1)是定義在上的奇函數(shù)，.又，.經(jīng)檢驗符合題意..(2)設(shè)，則.，，，所以在上是增函數(shù).(3)是定義在上的奇函數(shù)，由，得，又是定義在上的增函數(shù)，，解得，所以原不等式的解集為.6．(2020·黑龍江薩爾圖.大慶實驗中學高二期末(理))已知是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且，若a?b∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.(1)判斷函數(shù)在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明.(2)解不等式.(3)若對所有?，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)是增函數(shù)，證明見解析;(2);(3)【解析】(1)任取，且，則，又∵為奇函數(shù)，∴，由已知得，，∴，即.∴在上單調(diào)遞增.(2)∵在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴不等式的解集為.(3)因為在[﹣1，1]上是增函數(shù)，所以，即1是的最大值．若對所有?恒成立，則有，對恒成立，即恒成立．令，它的圖象是一條線段，那么，解得：．7．(2019·福建省廈門第六中學高一月考)已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當時，，(1)求函數(shù)在的解析式；(2)在所給的坐標系中畫出的圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(作圖要求：要標出與坐標軸的交點，頂點).【答案】(1)；(2)圖象見解析；單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為和【解析