2.2 基本不等式（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（教師版含解析）

2.2基本不等式思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一公式的直接運(yùn)用【例1】(1)(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若，則的最大值是()A． B． C． D．(2)(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知，求函數(shù)的最小值是()A．4 B．3 C．2 D．1【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，故，則，當(dāng)時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為A(2)由，即，所以，時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為D考查基本不等式，采用構(gòu)造法，基本不等式需注意：考查基本不等式，采用構(gòu)造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。一不可【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若，則的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】則，，當(dāng)時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為C2．(2020·上海高一開學(xué)考試)已知，函數(shù)的最小值是()A．5 B．4 C．8 D．6【答案】D【解析】因?yàn)樵摵瘮?shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來(lái)求最小值，，因?yàn)?，由重要不等式可知，所以，本題正確選項(xiàng)為D.3．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)二條件型【例2】(1)(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知實(shí)數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．(2)(2020·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高一期末)已知實(shí)數(shù)，，，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】(1)D(2)B【解析】(1)，正確選項(xiàng)為D(2)∵，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選B條件型（乘K法）：和為定值K，求倒數(shù)和的最小值，采用乘K法條件型（乘K法）：和為定值K，求倒數(shù)和的最小值，采用乘K法【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一開學(xué)考試)已知,則的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào))的最小值為故選：2．(2020·四川金牛。成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末(文))若正數(shù)，滿足，則的最小值是()A． B． C．5 D．25【答案】C【解析】正數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值是5．故選：C．3．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知，，則的最小值為_______________；【答案】【解析】采用常數(shù)1的替換，，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以答案為．考點(diǎn)三配湊型【例3】(1)(2020·衡水市第十三中學(xué)高一月考)已知，則的最小值是________．(2019·四川高一期末)已知正數(shù)、滿足，則的最小值為【答案】(1)5(2)【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，函數(shù)的最小值為.故答案為：.(2)，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：．1.分子分母為一次函數(shù)和二次函數(shù)，把二次函數(shù)配湊成關(guān)系一次函數(shù)的一元二次，再分子分母同除一次函數(shù)1.分子分母為一次函數(shù)和二次函數(shù)，把二次函數(shù)配湊成關(guān)系一次函數(shù)的一元二次，再分子分母同除一次函數(shù)2.給出等式但是不符合條件型，則從分母入手，分母相加減可得到等式的關(guān)系的倍數(shù)，即降次-配湊-均值不等式【舉一反三】1(2020·全國(guó)高一專題練習(xí))設(shè)，求的最大值.【答案】1【解析】∵，∴∴所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立所以的最大值為2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的最小值為()A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】，則，，當(dāng)時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為A．3．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知，則有A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選：．考點(diǎn)四換元法【例4】(2019·河北路南.唐山一中高三期中(文))已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是()A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】考察均值不等式，整理得即，又，【舉一反三】1．(2020·上海高一開學(xué)考試)若正數(shù)滿足，則的最小值是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：A2．(2020·江西高一期末)已知a，，且滿足，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴．即．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為故選：C3．(2020·黑龍江工農(nóng).鶴崗一中高一期末(理))若正數(shù)滿足，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，化?jiǎn)可得，左右兩邊同時(shí)除以xy得求的最大值，即求的最小值所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最大值為所以選A4．(2020·浙江高三月考)已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，，則，，，設(shè)，則，，解得，的最小值為.故選：B考點(diǎn)五求參數(shù)【例5】(2020·浙江高一單元測(cè)試)已知不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)、恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】.若，則，從而無(wú)最小值，不合乎題意；若，則，.①當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，，則不恒成立；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C.【舉一反三】1．(2020·河北路南.唐山一中高一期中)若對(duì)于任意恒成立，則a的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，則，即的最大值為，故.故選：2．(2020·河南高三其他(理))若對(duì)任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．(2020·西夏.寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考(文))若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又由恒成立，可得，即，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C.考點(diǎn)六實(shí)際應(yīng)用題【例6】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))某工廠擬建一個(gè)平面圖形為矩形，且總面積為平方米的三級(jí)污水處理池，如圖R3－1所示.已知池外墻造價(jià)為每米元，中間兩條隔墻造價(jià)為每米元，池底造價(jià)為每平方米元(池壁的厚度忽略不計(jì)，且污水處理池?zé)o蓋).若使污水處理池的總造價(jià)最低，那么污水處理池的長(zhǎng)和寬分別為()A．米，米 B．米，米 C．米,米 D．米，米【答案】C【解析】設(shè)污水池的寬為米，則長(zhǎng)為米，總造價(jià)為，則(元)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，此時(shí)，污水池的寬為米，長(zhǎng)為米.故選：C.【舉一反三】1．(2019·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))設(shè)計(jì)用32m2的材料制造某種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m，則車廂的最大容積是(A．(38－373)m3 B．16m3 C．42m3 D．14m【答案】B【解析】設(shè)長(zhǎng)方體車廂的長(zhǎng)為xm，高為hm，則2x+2×2h＋2xh=32∴16=x+2h+xh≥22xh+xh，即xh+2∴0<xh≤8．∴車廂的容積為V=2xh≤16(m3)．當(dāng)且僅當(dāng)x=2h且x+2h＋xh=162．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為，形狀為直角三角形的框架，在下列4種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理共用且浪費(fèi)最少的是()A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m【答案】C【解析】設(shè)直角三角形的框架的兩條直角邊為x，y(x＞0，y＞0)則xy＝4，此時(shí)三角形框架的周長(zhǎng)C為：x+y+＝x+y+∵x+y≥2＝4∴C＝x