圓錐曲線的原理最詳細(xì)圖解(平面與圓錐面的截線)

風(fēng)從水上走過，留下粼粼波紋;駱駝從沙漠上走過，留下深深的腳印;哨鴿從天空飛過，留下串串歡韻;歲月從樹林穿過，留下圈圈年輪。啊，朋友，我們從時代的舞臺走過，將給社會留下些什么?花從春走過，留下縷縷花香;葉從夏走過，留下片片蔭涼;風(fēng)從秋走過，留下陣陣金浪;雪從冬走過，留下種種希望。啊，朋友，我們從人生的四季走過，將給人生留下些什么?沒有落日般的瑰麗，沒有流云般的飄逸，但可以有水晶般的清純與透明。沒有大山般的巍峨，沒有湖水般的輕柔，但可以有巖石般的堅毅與穩(wěn)重。沒有大海般的浩瀚，沒有瀑布般的飛瀉，但可以有泥土般的樸素與隨和。平面與圓錐面的截線一、直觀感受：觀察平面截圓錐面的圖形，截線是什么圖形？

改變平面的位置，可得到三種曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線（下圖由軟件《立幾畫板》制作）：

二、分類探究：從平面圖形入手，開始討論一條直線與等腰三角形的位置關(guān)系：將等腰三角形拓廣為圓錐，直線拓廣為平面。如果用一平面去截一個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點(diǎn)，會出現(xiàn)哪些情況呢？如下圖：

歸納提升：定理

在空間中，取直線l為軸，直線l'與l相交于O點(diǎn)，其夾角為α，l'圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l'為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β（π與l平行，記作β＝0），則：

（1）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；

（2）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；

（3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。

三、證明結(jié)論：利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面的上方，一個位于平面的下方，并且與平面及圓錐均相切）證明：β＞α，平面與圓錐的交線為橢圓.

如圖，利用切線長相等，容易證明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.

下面證明：β＝α?xí)r，平面與圓錐面的交線為拋物線。

下面討論當(dāng)平面與圓錐面的交線為雙曲線時準(zhǔn)線的及離心率：

換個角度看圖：

容易知道：截得的圓錐曲線的離心率等于截面和圓錐軸的夾角的余弦與圓錐頂角一半的余弦之比.

四、知識運(yùn)用

用圖霸制作三維直觀圖：解答參看下圖：

五、圖形制作三種曲線的丹迪林Dandelin雙球圖可以在《幾何圖霸》中統(tǒng)一到一幅圖中，主要制作步驟如下：1.作全自由點(diǎn)O，過點(diǎn)O作平行于z軸上的點(diǎn)B，過B作平行于x軸上的點(diǎn)C，作點(diǎn)B、C關(guān)于O的對稱點(diǎn)B’、C'.2.選取點(diǎn)O、B、C，作圓錐，選取點(diǎn)O、B’、C’，作圓錐.

3.在圓B上任取點(diǎn)D，作D關(guān)于B對稱點(diǎn)，連接OD，OD’，在OD上任取一點(diǎn)E，以E為圓心畫過點(diǎn)D’、D的心點(diǎn)圓，在圓E上任取點(diǎn)F，連EF，它表示截面的位置，可以繞點(diǎn)E轉(zhuǎn)動.4.作角OEF的平分線，與軸BB’交于O1；作角DEF的平分線，與軸BB’交于O2，它們就是雙球的球心.5.過球心O1、O2分別作邊EF的垂線，垂足分別為F1、F2，它們就是焦點(diǎn).

6.選取點(diǎn)O1、F1，作球O1（圖中顯示大圓，光照后顯示為球），同法作球O2.

7.取線EF上的點(diǎn)G、H，作GDO垂線上的伸縮點(diǎn)I，作點(diǎn)I關(guān)于點(diǎn)G的對稱點(diǎn)I’，按向量GH平稱點(diǎn)I、I’，得點(diǎn)I2、I".添加面II2I"I’，連接四邊，表示截面.它的長寬可以用點(diǎn)G、H、I控制；點(diǎn)F控制其轉(zhuǎn)動.

8.添加下底圓上的點(diǎn)J，連結(jié)OJ交截面于點(diǎn)K，選取點(diǎn)J、K，添加軌跡，它就是截線，如上圖中的橢圓.9.點(diǎn)E按向量OD’平移得點(diǎn)E’，EE’交圓于點(diǎn)G1，EG1平行于母線OD’，添加點(diǎn)F到點(diǎn)G1的動畫，名為“拋物線”.

10.參看前面各圖添加其它圖元.下載圖霸文件后在“對象瀏覽器”中查看各對象.

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