導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達法則在解答高考壓軸題中的妙用

導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達法則在解答高考壓軸題中的妙用在2010年和2011年的高考中，全國新課標卷中的第21題中的第二步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大。但是，使用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。洛必達法則是微分學(xué)中的重點之一。它可以用來求未定式的極限。具體來說，若函數(shù)f(x)和g(x)滿足一定條件，那么通過洛必達法則可以求出它們的極限。其中，法則1、法則2和法則3分別適用于不同的情況。在使用洛必達法則求極限時，需要注意以下幾點：首先，將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，x→0。其次，洛必達法則可處理各種類型的極限，如0/0型，∞/∞型，1^∞型，0×∞型，1×∞型，∞-∞型等。但是，在著手求極限之前，需要檢查是否滿足定式，否則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。最后，如果條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。舉個例子，2010年全國新課標理題中的函數(shù)f(x)=e^(-1-x-ax^2)，要求求出其單調(diào)區(qū)間和參數(shù)a的取值范圍。通過洛必達法則，可以求出f'(x)=-e^(-1-x-ax^2)(1+2ax)，再通過求解f'(x)=0，可以得到x=-1/2a和f'(x)>0時，f(x)單調(diào)遞減；f'(x)<0時，f(x)單調(diào)遞增。因此，當a≤0時，f(x)單調(diào)遞減；當a>0時，f(x)單調(diào)遞增。接著，當x≥0時，f(x)≥1/2，因此e^(-1-x-ax^2)≥1/2，即1-x-ax^2≥ln2。解得a≤(1-x)/x^2-ln2/x^2。因此，當a≤(1-x)/x^2-ln2/x^2時，當x≥0時，f(x)≥1/2。根據(jù)題意，我們需要求出函數(shù)$f(x)=\frac{x+1}{x\lnx}-\frac{k}{(k-1)(x^2-1)}$中$k$的取值范圍。首先，我們考慮函數(shù)$h(x)=2\lnx$，求出其導(dǎo)數(shù)為$h'(x)=\frac{2}{x}$。由于$x>0$，所以$h'(x)>0$，即$h(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。接下來，我們分別考慮$k$的三種情況：（i）當$k\leq0$時，根據(jù)$h'(x)$的符號，可得$h(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，在$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。由于$h(1)=0$，所以當$x\in(0,1)$時，$h(x)<0$，當$x\in(1,+\infty)$時，$h(x)>0$。因此，$f(x)$在$x\in(0,1)\cup(1,+\infty)$上單調(diào)遞增，即$f(x)>f(1)$，即$f(x)>-\frac{1}{k-1}$。（ii）當$0<k<1$時，我們可以求出$(k-1)(x+1)+2x=(k-1)x+2x+k-1$的圖像開口向下，對稱軸為$x=\frac{1}{2-k}<1$。因此，$h(x)$在$(0,1)$上單調(diào)遞減，在$(1,\frac{1}{2-k})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{1}{2-k},+\infty)$上單調(diào)遞減。由于$h(1)=0$，所以當$x\in(0,1)$時，$h(x)>0$，當$x\in(1,\frac{1}{2-k})$時，$h(x)<0$，當$x\in(\frac{1}{2-k},+\infty)$時，$h(x)>0$。因此，$f(x)$在$x\in(0,1)\cup(\frac{1}{2-k},+\infty)$上單調(diào)遞減，即$f(x)<f(\frac{1}{2-k})$，即$f(x)<\frac{2-k}{k-1}$。但是，由于$x\neq1$，所以$\frac{1}{2-k}\neq1$，因此這個范圍是有效的。（iii）當$k\geq1$時，我們可以求出$(k-1)(x+1)+2x\geq(k-1)x+2x+k-1$，即$(k-1)(x+1)\geqk-1$，即$x+1\geq\frac{k}{k-1}$。因此，$h(x)$在$(0,\frac{k}{k-1})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{k}{k-1},+\infty)$上單調(diào)遞減。由于$h(1)=0$，所以當$x\in(0,1)$時，$h(x)<0$，當$x\in(1,\frac{k}{k-1})$時，$h(x)>0$，當$x\in(\frac{k}{k-1},+\infty)$時，$h(x)<0$。因此，$f(x)$在$x\in(0,1)\cup(\frac{k}{k-1},+\infty)$上單調(diào)遞減，即$f(x)<f(\frac{k}{k-1})$，即$f(x)<\frac{k}{k-1}\cdot\frac{1}{k-1}$。綜上所述，$k$的取值范圍為$(-\infty,0]\cup[1,+\infty)$。注意，當$k=1$時，$f(x)$不存在，因為分母為零。當$x\in(0,1)$時，$g'(x)<0$，當$x\in(1,+\infty)$時，$g'(x)>0$。因此，$g(x)$在$(0,1)$上為減函數(shù)，在$(1,+\infty)$上為增函數(shù)。由洛必達法則，$\lim\limits_{x\to1}g(x)=2\lim\limits_{x\to1}\frac{x\lnx}{1+\lnx}+1=2-2\lim\limits_{x\to1}\frac{x-