線圓最值（隱圓壓軸二）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

專題4.5線圓最值考點：線圓最值已知O及直線l，O的半徑為r，點Q為O上一點，圓心O與直線l之間的距離為d.位置關(guān)系直線與O相離直線與O相切直線與O相交圖示點Q到直線l距離的最大值d＋r2rd＋r此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，其反向延長線與O的交點，即為點Q點Q到直線l距離的最小值d－r0r－d此時點Q的位置過點O作直線l的垂線，與O的交點即為點Q拓展：在解決某些面積最值問題時，常利用此模型，將問題轉(zhuǎn)化為求動點到定邊的最大（小）距離，進(jìn)而利用面積公式求解【典例1】如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，點E是AB的中點，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，且EP＝AE，連接CP，PD，則△PCD面積的最小值為．【答案】3【解答】解：∵BC＝2AB＝4，∴AB＝2，?點E是AB的中點，∴AE＝BE＝1．；∴點P在以點E為圓心，1為半徑的弧上運動，過點P作PQ⊥CD于點Q，過點E作EF⊥CD于點F，則＝PQ，∴當(dāng)PQ最小時，△PCD的面積取得最小值?EP+PQ≥EF，當(dāng)E，P，Q三點共線時，PQ取得最小值，最小值為EF﹣EP的值；∴四邊形ABCD是矩形，∴EF＝BC＝4，∴PQ最?。紼F﹣EP＝3，∴S△PCD最?。絇Q最?。?，故答案為：3．【變式1-1】（2022?觀山湖區(qū)一模）如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【解答】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓弧上，如圖，取AB的中點O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點共線時，PD有最小值，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，∵點O為AB的中點，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六邊形的每個內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值為OD﹣OP＝．故選：B．【變式1-2】（安徽一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，點D是BC邊上一動點，連接AD交以CD為直徑的圓于點E．則線段BE長度的最小值為（）A．1 B． C． D．【解答】解：如圖，作以AC為直徑的圓，圓心為O∵E點在以CD為直徑的圓上∴∠CED＝90°∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°∴點E也在以AC為直徑的圓上，可得當(dāng)O、E、B三點共線時，BE是最短，∵AC＝8，∴OC＝4∵BC＝3，∠ACB＝90°∴OB＝＝＝5∵OE＝OC＝4∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1故選：A．【典例2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，DE∥BC，點M是DE的中點，連接BM，CM．將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△BMC面積的最大值為．【答案】12．【解答】解：連接AM，交BC于H，.∵AB＝AC，AD＝AE，點M是DE的中點，∴AM⊥DE，AH⊥BC，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°，即M'、M、H在同一直線上時，△BMC面積取最大值．∵AB＝AC＝6，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，且BD＝2AD，∴AD＝AE＝2，BH＝＝＝3，∴AM＝AD＝＝，∴AM'＝，∴M'H＝＝4，此時，△BMC面積＝＝＝12．故答案為：12．【變式2-1】（思明區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BC＝2，點A為動點，在點A運動的過程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．【解答】解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，過點O作OD⊥BC，垂足為D，∵OB＝OC，∴BD＝CD＝BC＝1，∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，∴OD＝BC＝1，∴OB＝＝，∵BC＝2保持不變，∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時，最大，此時BC邊上的高為：+1，∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．故答案為：+1．【變式2-2】如圖，直線分別與x軸、y軸相交于點M，N．點P在平面內(nèi)．∠MPN＝90°，點C（0，3），則PC長度的最小值是1．【答案】1．【解答】解：∵點P在平面內(nèi)．∠MPN＝90°，∴點P在以MN為直徑的圓上，如圖，以MN為直徑作⊙E，連接EC并延長交⊙E于點P′，此時，PC長度最小為P′C，∵直線分別與x軸、y軸相交于點M，N，∴M（﹣8，0），N（0，6），∴OM＝8，ON＝6，在Rt△MON中，MN＝＝＝10，∴EM＝EN＝EP′＝＝5，∵M(jìn)（﹣8，0），N（0，6），點E為MN的中點，∴E（﹣4，3），∵C（0，3），∴CE＝4，∴P′C＝EP′﹣CE＝5﹣4＝1，∴PC長度的最小值是1．故答案為：1．【變式2-3】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在半圓的中點，且BC＝4cm，點D是上的一個動點，連接BD，過C點作CH⊥BD于H，連接AH，在點D的運動過程中，AH長度的最小值是2﹣2．【答案】2﹣2．【解答】解：連接AC，取BC的中點T，連接AT，TH．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵點C在半圓的中點，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴點H在以BC為直徑的圓上運動，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值為2﹣2，故答案為：2﹣2．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，且∠BPC＝90°，連接AP，PD，則△APD面積的最小值為．【答案】2【解答】解：∵∠BPC＝90°，∴點P在以BC為直徑的圓上，即點P到BC的最大距離為2，∴點P到AD的最小值＝3﹣×4＝1，∴S△APD＝×4×1＝2，∴△APD面積的最小值為2．故答案為：2．【變式3-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點F到線段BC的最短距離是．【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴點F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運動，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴點F到線段BC的最短距離是2，故答案為：2﹣2，2．【變式3-2】如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時，CP＝．【解答】解：以AB為直徑作半圓O，連接OD，與半圓O交于點P′，當(dāng)點P與P′重合時，DP最短，則AO＝OP′＝OB＝AB＝2，∵AD＝2，∠BAD＝90°，∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，過P′作P′E⊥CD于點E，則P′E＝DE＝DP′＝2﹣，∴CE＝CD﹣DE＝+2，∴CP′＝．故答案為：2．【變式3-3】（2022?邗江區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點P是AB邊上的一個動點，以BP為直徑的圓交CP于點Q，若線段AQ長度的最小值是4，則△ABC的面積為．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT，QT，BQ．∵PB是⊙O的直徑，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT＝BC＝定值，AT是定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴當(dāng)A，Q，T共線時，AQ的值最小，設(shè)BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，則有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC＝AB?BC＝×8×12＝48，故答案為：48．【變式3-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動點，F(xiàn)為AE中點，G為DE上一點，BF＝FG，則CG的最小值為﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：如圖1，連接AG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DC＝AB＝3，∵F是AE的中點，∴BF＝AE＝AF＝EF，∵BF＝FG，∴AF＝FG＝EF，∴∠AGE＝∠AGD＝90°，∴點G在以AD為直徑的圓上運動，取AD的中點O，連接OG，當(dāng)O，G，C三點共線時，CG的值最小，如圖2所示，∴OD＝OG＝2，∴OC＝＝，∴CG的最小值為﹣2．故答案為：﹣2．【變式3-5】矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點P為矩形內(nèi)一個動點．且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴P點在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，∵BC＝6，∴CO＝3，∵CD＝2，∴DO＝，∴PD的最小值為﹣3，故答案為：﹣3．【變式3-6】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝8，D是線段BC上的動點，連接AD，過點C作CM⊥AD于M，連接BM，則BM的最小值是4．【答案】4．【解答】解：如圖，以AC為直徑作⊙O，∵CM⊥AD，∴∠AMC＝90°，∴點M在⊙O的上半圓上，當(dāng)且僅當(dāng)點B、M、O三點共線時，BM最小，∵OC＝AC＝×12＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴OB＝＝＝10，∵OM＝OC＝6，∴BM＝OB﹣OM＝10﹣6＝4，即BM的最小值是4，故答案為：4．【典例4】如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN，連接A'B，A'C，則△A'BC面積的最小值為．【答案】﹣1【解答】解：如圖，由折疊知A'M＝AM，又∵M(jìn)是AD的中點，∴MA＝MA'＝MD，點A'的運動軌跡就是在以點M為圓心，MA長為半徑的上，過點M作ME⊥BC于點E，連接BD，在菱形ABCD中，∵AD＝AB，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形．∵M(jìn)是AD的中點，∴點E與點B重合，∴EM＝，設(shè)點A'到BC的距離為h，當(dāng)點A'在ME上時，h取得最小值，最小值為EM﹣A'M＝﹣1，∴△A'BC面積的最小值為＝BC?h＝×2×（﹣1）＝﹣1，故答案為：﹣1．【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，點D在邊BC上．將△ACD沿AD折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為．【答案】3．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折疊的性質(zhì)可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴當(dāng)A、C′、B三點在同一條直線時，BC'取最小值，最小值即為，故答案為．【典例5】如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，點D是AC邊上一點，點E是平面內(nèi)一點，且DE＝1，連接AE，CE，則四邊形ABCE面積的最大值為．【答案】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝．經(jīng)分析，當(dāng)DE⊥AC于D時，四邊形ABCE面積的最大．∴四邊形ABCE面積的最大值為S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE＝DE＝＝．故答案為：．【變式5-1】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點P是射線AD上一個動點，點Q在BP上，且滿足∠BCQ＝∠BPC，則線段CQ的最小值為（）?A． B．1 C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連接AQ，∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，∴△BCQ∽△BPC，∴BQ：BC＝BC：BP，∵AB＝BC，∴BQ：AB＝AB：BP，∵∠ABQ＝∠PBA，∴△ABQ∽△PBA，∴∠AQB＝∠BAP＝90°，∴點Q的運動軌跡是在以AB為直徑的圓上，如圖，取AB中點O，連接OC交⊙O于Q，則CQ此時最小，∵BC＝2，∴OB＝1，∴OC＝＝，∵OQ＝1，∴CQ＝﹣1．故選：C．【變式5-2】如圖，正方形ABCD的邊長為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C．點P為⊙C上的動點，連接BP，并將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'．在點P運動的過程中，CP'長度的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接P'A，PC，∵∠ABC＝∠P'BP＝90°，∴∠P'BA＝∠PBC，∵BP'＝BP，BA＝BC，∴△P'BA≌△PBC（SAS）．∴P'A＝PC＝2，∴P'在以A為圓心，2為半徑的圓上，連接AC，則當(dāng)P'在CA的延長線上時，P'C最長，此時P'C＝P'A+AC＝2+＝5+2，故選：A．【變式5-3】在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，點M在以半徑為2的⊙D上運動，則MF2+MG2的最大值為（）A．104 B．116 C．120 D．100【答案】B【解答】解：取GF的中點O，連接OM，OD，DM．∵四邊形DEFG是矩形，∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，F(xiàn)G＝DE＝6，∵M(jìn)G2+MF2＝2GO2+2OM2，∵OG＝OF＝3，∴OM的值最大時，MG