《隨機(jī)分析補(bǔ)充知識(shí)》課件

隨機(jī)分析補(bǔ)充知識(shí)BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目錄CONTENTS隨機(jī)分析簡(jiǎn)介隨機(jī)變量的性質(zhì)隨機(jī)過(guò)程馬爾科夫鏈大數(shù)定律和中心極限定理隨機(jī)分析的進(jìn)一步學(xué)習(xí)建議BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01隨機(jī)分析簡(jiǎn)介0102隨機(jī)分析的定義它涉及到概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、微積分等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支之一。隨機(jī)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)分支，主要研究隨機(jī)變量、隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律。物理學(xué)在物理學(xué)的許多領(lǐng)域，如量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)中，隨機(jī)分析都有廣泛的應(yīng)用。工程學(xué)在通信工程、信號(hào)處理、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域，隨機(jī)分析用于描述噪聲、干擾和誤差等隨機(jī)因素。經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，隨機(jī)分析用于描述市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和投資組合優(yōu)化；在金融學(xué)中，用于衍生品定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理等領(lǐng)域。隨機(jī)分析的應(yīng)用領(lǐng)域隨機(jī)變量是定義在概率空間上的變量，其取值具有隨機(jī)性。根據(jù)取值的不同，隨機(jī)變量可以分為離散型和連續(xù)型。隨機(jī)變量隨機(jī)過(guò)程是多個(gè)隨機(jī)變量的集合，每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)間點(diǎn)或狀態(tài)。隨機(jī)過(guò)程可以描述一系列隨時(shí)間變化的事件或現(xiàn)象。隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)函數(shù)是定義在時(shí)間或空間上的函數(shù)，其取值具有隨機(jī)性。常見(jiàn)的隨機(jī)函數(shù)有高斯過(guò)程、泊松過(guò)程等。隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)分析的基本概念BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02隨機(jī)變量的性質(zhì)03連續(xù)隨機(jī)變量可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)所有值的隨機(jī)變量。01隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，將試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)之間建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。02離散隨機(jī)變量只能取可數(shù)個(gè)可能值的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的定義只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值的隨機(jī)變量，如投擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)?？梢匀∧硞€(gè)區(qū)間內(nèi)所有值的隨機(jī)變量，如人的身高。隨機(jī)變量的類(lèi)型連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量期望數(shù)學(xué)期望或均值，表示隨機(jī)變量取值的平均水平。方差衡量隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)，表示各個(gè)取值與期望值的偏離程度。隨機(jī)變量的期望和方差隨機(jī)變量的獨(dú)立性獨(dú)立性定義若兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y滿(mǎn)足P(X,Y)=P(X)P(Y)，則稱(chēng)X和Y獨(dú)立。獨(dú)立性的性質(zhì)若X和Y獨(dú)立，則X和Y的任何函數(shù)也獨(dú)立。BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量在時(shí)間或空間中的一系列表現(xiàn)，通常用來(lái)描述一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象在時(shí)間或空間中的變化。隨機(jī)過(guò)程可以看作是一系列隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)時(shí)間點(diǎn)或空間位置。隨機(jī)過(guò)程可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述，常用的數(shù)學(xué)工具包括概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)和函數(shù)分析等。隨機(jī)過(guò)程的定義在時(shí)間或空間上取離散值的隨機(jī)過(guò)程，例如：投擲骰子、股票交易等。離散型隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間或空間上取連續(xù)值的隨機(jī)過(guò)程，例如：布朗運(yùn)動(dòng)、溫度波動(dòng)等。連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間或空間變化的隨機(jī)過(guò)程，例如：白噪聲等。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間或空間變化的隨機(jī)過(guò)程，例如：股票價(jià)格波動(dòng)等。非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的類(lèi)型隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望或均值，表示隨機(jī)過(guò)程的中心趨勢(shì)。期望值表示隨機(jī)過(guò)程偏離期望值的程度，即隨機(jī)過(guò)程的波動(dòng)程度。方差隨機(jī)過(guò)程的期望和方差平穩(wěn)性如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間或空間的變化而變化，則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的。遍歷性如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)達(dá)到的任何狀態(tài)都可以由初始狀態(tài)通過(guò)一系列過(guò)渡狀態(tài)到達(dá)，則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程具有遍歷性。隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性和遍歷性BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04馬爾科夫鏈馬爾科夫鏈的定義馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N隨機(jī)過(guò)程，其中下一個(gè)狀態(tài)只依賴(lài)于當(dāng)前狀態(tài)，與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。總結(jié)詞馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N數(shù)學(xué)模型，用于描述一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)在連續(xù)時(shí)間或離散時(shí)間上的狀態(tài)變化。這個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)在任何一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的狀態(tài)只依賴(lài)于之前的一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)，而與更早的時(shí)間點(diǎn)無(wú)關(guān)。因此，系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。詳細(xì)描述馬爾科夫鏈的性質(zhì)包括無(wú)后效性、平穩(wěn)性和遍歷性?？偨Y(jié)詞無(wú)后效性是指系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與過(guò)去的狀態(tài)無(wú)關(guān)。平穩(wěn)性是指系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行后，各個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率趨于穩(wěn)定。遍歷性是指系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行后，會(huì)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣會(huì)收斂到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布。詳細(xì)描述馬爾科夫鏈的性質(zhì)總結(jié)詞馬爾科夫鏈在自然語(yǔ)言處理、股票市場(chǎng)分析、天氣預(yù)報(bào)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。詳細(xì)描述馬爾科夫鏈在自然語(yǔ)言處理中用于詞性標(biāo)注、句法分析等任務(wù)。在股票市場(chǎng)分析中，馬爾科夫鏈用于描述股票價(jià)格的連續(xù)漲跌，預(yù)測(cè)未來(lái)的走勢(shì)。此外，馬爾科夫鏈還應(yīng)用于天氣預(yù)報(bào)、人口遷移模型、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。馬爾科夫鏈的應(yīng)用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05大數(shù)定律和中心極限定理總結(jié)詞大數(shù)定律描述了在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，某一事件發(fā)生的頻率趨于穩(wěn)定，并逐漸接近于該事件發(fā)生的概率。詳細(xì)描述大數(shù)定律是指當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，某一事件發(fā)生的頻率趨于該事件發(fā)生的概率。這個(gè)定律在統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要，因?yàn)樗峁┝藦挠邢迾颖就茢嗫傮w特性的基礎(chǔ)。大數(shù)定律可以分為弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律，其中弱大數(shù)定律指出當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，事件發(fā)生的相對(duì)頻率趨于該事件的概率；而強(qiáng)大數(shù)定律則進(jìn)一步指出，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，事件發(fā)生的絕對(duì)頻率也趨于該事件的概率。大數(shù)定律總結(jié)詞中心極限定理描述了在大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量下，這些隨機(jī)變量的平均值的分布趨近于正態(tài)分布。要點(diǎn)一要點(diǎn)二詳細(xì)描述中心極限定理是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)基本定理，它指出當(dāng)有大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量相加時(shí)，這些隨機(jī)變量的平均值的分布趨近于正態(tài)分布。這個(gè)定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要，因?yàn)樗峁┝藦臉颖揪低茢嗫傮w均值的依據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，中心極限定理可以幫助我們確定樣本大小、估計(jì)總體參數(shù)以及進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)等。中心極限定理總結(jié)詞大數(shù)定律和中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，包括樣本均值的推斷、總體均值的估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等。詳細(xì)描述大數(shù)定律和中心極限定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要工具，它們的應(yīng)用非常廣泛。在樣本均值的推斷中，我們可以利用中心極限定理來(lái)估計(jì)樣本均值的分布，從而進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。在總體均值的估計(jì)中，我們可以利用大數(shù)定律來(lái)估計(jì)總體均值，并確定樣本大小。在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們可以利用大數(shù)定律和中心極限定理來(lái)確定樣本統(tǒng)計(jì)量是否符合預(yù)期，從而判斷假設(shè)是否成立。此外，大數(shù)定律和中心極限定理還可以用于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、金融分析等領(lǐng)域。大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06隨機(jī)分析的進(jìn)一步學(xué)習(xí)建議張志涌等編著，高等教育出版社出版，內(nèi)容全面，深入淺出，適合初學(xué)者?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》劉嘉焜等編著，高等教育出版社出版，系統(tǒng)介紹了隨機(jī)過(guò)程的基本理論和方法，適合有一定基礎(chǔ)的讀者?！峨S機(jī)過(guò)程導(dǎo)論》嚴(yán)加安等編著，科學(xué)出版社出版，內(nèi)容涵蓋了隨機(jī)分析的基本理論和方法，包括布朗運(yùn)動(dòng)、隨機(jī)微分方程等，適合進(jìn)階學(xué)習(xí)者?！峨S機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)》推薦教材和參考書(shū)中國(guó)大學(xué)MOOC國(guó)內(nèi)知名的高等教育在線平臺(tái)，提供多所高校的隨機(jī)分析課程，可自由選擇。Coursera國(guó)際知名的在線課程平臺(tái)，提供多所世界名校的隨機(jī)分析課程，英文授課配有中文字幕。edX與Coursera類(lèi)似的在線課程平臺(tái)，提供隨機(jī)分析相關(guān)的課程，可以選擇中文或英文授課。在線學(xué)習(xí)資源