浙江省杭州市浙大附中2023-2024學年高一數(shù)學第一學期期末含解析

浙江省杭州市浙大附中2023-2024學年高一數(shù)學第一學期期末請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．函數(shù)的一部分圖像如圖所示，則（）A. B.C. D.2．將函數(shù)，且，下列說法錯誤的是（）A.為偶函數(shù) B.C.若在上單調(diào)遞減，則的最大值為9 D.當時，在上有3個零點3．已知為上的奇函數(shù)，，在為減函數(shù)．若，，，則a，b，c的大小關系為A. B.C. D.4．中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20%C.50% D.100%5．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A.有最小值 B.有最大值C.有最大值 D.沒有最值6．若?x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.﹣3≤a≤0 B.a≥0C.a≥1 D.a≥﹣37．已知函數(shù)（且），若函數(shù)圖象上關于原點對稱的點至少有3對，則實數(shù)a的取值范圍是（）.A. B.C. D.8．不等式的解集是（）A. B.C. D.9．已知扇形周長為40，當扇形的面積最大時，扇形的圓心角為（）A. B.C.3 D.210．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)關于x的方程有4個根，，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，滿足，且，若，則a與b的關系是A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上,其中.若，則的值是____________.14．某種候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模的遷徙，研究候鳥的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度（單位：m/s）與其耗氧量之間的關系為（其中、是實數(shù)）．據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在耗氧量為80個單位時，其飛行速度為18m/s，則________；若這種候鳥飛行的速度不能低于60m/s，其耗氧量至少要________個單位.15．已知向量，滿足=（3，-4），||=2，|+|=，則，的夾角等于______16．已知角的終邊經(jīng)過點，則__三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值；（2）求的值.18．已知四棱錐的底面是菱形，,又平面，點是棱的中點，在棱上.（1）證明：平面平面.（2）試探究在棱何處時使得平面.19．已知函數(shù)，（，，）圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當時，求的值域.20．已知（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與對稱軸方程；（2）當時，求的最大值與最小值21．已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).22．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間（2，3）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】由圖可知,,排除選項,由,排除選項,故選.2、C【解析】先求得，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】，，所以，為偶函數(shù)，A選項正確.，B選項正確.，若在上單調(diào)遞減，則，，由于，所以，所以的最大值為，的最大值為，C選項錯誤.當時，，，當時，，所以D選項正確.故選：C3、C【解析】由于為奇函數(shù),故為偶函數(shù),且在上為增函數(shù).,所以,故選C.4、B【解析】根據(jù)題意，計算出值即可；【詳解】當時，，當時，，因為所以將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查運算求解能力，求解時注意對數(shù)運算法則的運用.5、B【解析】換元法后用基本不等式進行求解.【詳解】令，則，因為，，故，當且僅當，即時等號成立，故函數(shù)有最大值，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)，即有最小值.故選：B6、D【解析】等價于二次函數(shù)的最大值不小于零，即可求出答案.【詳解】設，，使得不等式成立，須，即，或，解得.故選:D【點睛】本題考查特稱命題成立求參數(shù)的問題，等價轉(zhuǎn)化是解題的關鍵，屬于基礎題.7、A【解析】由于關于原點對稱得函數(shù)為，由題意可得，與的圖像在的交點至少有3對，結(jié)合函數(shù)圖象，列出滿足要求的不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】關于原點對稱得函數(shù)為所以與的圖像在的交點至少有3對，可知，如圖所示，當時，，則故實數(shù)a的取值范圍為故選：A【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性，難點在于將問題轉(zhuǎn)換為與的圖像在的交點至少有3對，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.8、B【解析】利用一元二次不等式的解法即得.【詳解】由可得，，故不等式的解集是.故選：B.9、D【解析】設出扇形半徑并表示出弧長后，由扇形面積公式求出取到面積最大時半徑的長度，代入圓心角弧度公式即可得解.【詳解】設扇形半徑,易得,則由已知該扇形弧長為.記扇形面積為,則,當且僅當，即時取到最大值，此時記扇形圓心角為，則故選：D10、D【解析】設中點的坐標為，則，利用在已知的圓上可得的中點的軌跡方程.【詳解】設中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.【點睛】求動點的軌跡方程，一般有直接法和間接法，（1）直接法，就是設出動點的坐標，已知條件可用動點的坐標表示，化簡后可得動點的軌跡方程，化簡過程中注意變量的范圍要求.（2）間接法，有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質(zhì)，如圓錐曲線的定義等；②動點轉(zhuǎn)移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數(shù)法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點的軌跡方程.11、B【解析】依題意畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知且，，即可得到，則，再令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，最后根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因，所以函數(shù)圖象如下所示：由圖象可知，其中，其中，，，則，得..令，，又在上單調(diào)減，，即.故選：B.12、A【解析】由題意，設，則，又由，求得，得t值，確定函數(shù)的解析式，據(jù)此分析可得，即，又由，利用換底公式，求得，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則為常數(shù)，設，則，又由，即，則有，解可得，則，若，即，則，若，必有，則有，又由，則，解可得，即，所以，故選A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用，以及對數(shù)的運算性質(zhì)的應用，其中解答中根據(jù)題意，設，求得實數(shù)的值，確定出函數(shù)的解析式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及換元思想的應用，屬于中檔試題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、##-0.4【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性及可得的值，進而利用周期性即可求解的值.【詳解】解：因為是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上,所以，，又，即，解得，所以，故答案為：.14、①.6②.10240【解析】由初始值解出的值，然后令，可得出的取值范圍，由此得出候鳥在飛行時速度不低于時的最低耗氧量.【詳解】由題意，知，解得，所以，要使飛行速度不能低于，則有，即，即，解得，即，所以耗氧量至少要個單位.故答案為：6；10240【點睛】本題考查對數(shù)的應用，解題的關鍵就是要利用題中數(shù)據(jù)解出函數(shù)解析式，利用題意列出不等式進行求解.15、【解析】利用求解向量間的夾角即可【詳解】因為，所以，因為，所以，即，所以，所以，因為向量夾角取值范圍是，所以向量與向量的夾角為【點睛】本題考查向量的運算，這種題型中利用求解向量間的夾角同時需注意16、【解析】根據(jù)終邊上的點可得，再應用差角正弦公式求目標式的值.【詳解】由題設，，所以.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）由奇函數(shù)定義求；（2）代入后結(jié)合對數(shù)恒等式計算【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以恒成立，可得.（2）由（1）可得.所以.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查對數(shù)恒等式，屬于基礎題18、（1）證明見解析；（2）當時，平面【解析】（1）證明：,又底面是的菱形，且點是棱的中點，所以，又,所以平面.平面平面.（2）解：當時，平面，證明如下：連接交于，連接.因為底面是菱形，且點是棱的中點，所以∽且,又，所以，平面.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的最大值得到，根據(jù)周期得到，根據(jù)得到，從而得到.（2）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)，利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解值域即可.【詳解】（1）因為，，所以.又因為，所以，即，.因為，，，所以，又因為，所以，.（2）.因為，所以，所以，即，故函數(shù)的值域為.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1【解析】（1）因為，由，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z由，求得，k∈Z故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z（2）因為，所以，故有，故當即x=0時，f（x）的最小值為–1，當即時，f（x）的最大值為221、（1）（2）當時，有一個零點；當時，且當時，有兩個零點，當時，有一個零點【解析】（1）由、都是單調(diào)遞增函數(shù)可得的單調(diào)性，利用單調(diào)性可得答案；（2）時有一個零點；當時，利用單獨單調(diào)性求得，分和討論可得答案.