滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊專題特訓(xùn) 專題3.1 一元一次方程及等式的性質(zhì)【十大題型】（原卷版+解析版）

專題3.1一元一次方程及等式的性質(zhì)【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程及一元一次方程的定義】 1【題型2利用一元一次方程的定義求值】 2【題型3方程的解】 2【題型4列方程】 3【題型5利用等式的性質(zhì)變形】 3【題型6等式的性質(zhì)的應(yīng)用】 3【題型7利用等式的性質(zhì)解方程】 4【題型8方程的解中的遮擋問題】 5【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】 5【題型10方程的解的規(guī)律問題】 5【知識點(diǎn)1方程及一元一次方程的定義】（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．（2）一元一次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．

通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型1方程及一元一次方程的定義】【例1】（2022?順德區(qū)模擬）下列等式中不是一元一次方程的是（）A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100 C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850【變式1-1】（2022秋?博白縣期末）下列式子中是方程的是（）A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5【變式1-2】（2022秋?鹽城校級期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）3x+1=?2；（5）x2﹣A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（2009?江東區(qū)質(zhì)檢）在初中數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了各種各樣的方程．以下給出了6個方程，請你把屬于一元方程的序號填入圓圈（1）中，屬于一次方程的序號填入圓圈（2）中，既屬于一元方程又屬于一次方程的序號填入兩個圓圈的公共部分．①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．【題型2利用一元一次方程的定義求值】【例2】（2022?市中區(qū)模擬）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則代數(shù)式|m﹣1|的值為（）A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2【變式2-1】（2022秋?婺源縣期末）已知方程x2k-1+k＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則方程的解等于（）A．﹣1 B．1 C．12 D．【變式2-2】（2010秋?江陰市校級期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是．【變式2-3】（2022秋?鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是關(guān)于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x＝．【知識點(diǎn)2方程的解】方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．【題型3方程的解】【例3】（2010秋?溫州期末）若關(guān)于x的方程mx＝4﹣x的解是整數(shù)，則非負(fù)整數(shù)m的值為．【變式3-1】（2008秋?番禺區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解為x=12，則3a+5的值為【變式3-2】（2022秋?錦江區(qū)校級期末）對于正整數(shù)n，階乘符號n!表示從n到1的整數(shù)的乘積（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），則滿足方程5!?9!＝N！?12的N的值為．【變式3-3】（2022春?黔江區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程2x﹣3=m3+x的解滿足|xA．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12【題型4列方程】【例4】（2022秋?泗水縣期末）一根細(xì)鐵絲用去23后還剩2m，若設(shè)鐵絲的原長為xm，可列方程為【變式4-1】（2022秋?南崗區(qū)期末）列等式表示“x的三分之一減y的差等于6”是．【變式4-2】（2022秋?雨花區(qū)校級期末）某校長方形的操場周長為210m，長與寬之差為15m，設(shè)寬為xm，列方程為．【變式4-3】（2022秋?越秀區(qū)校級月考）一件衣服打八折后，售價(jià)為88元，設(shè)原價(jià)為x元，可列方程為．【知識點(diǎn)3等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【題型5利用等式的性質(zhì)變形】【例5】（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）A．若ac=bc，則a＝b B．若ac＝bc，則C．若a2＝b2，則a＝b D．若?13x＝6，則x＝【變式5-1】（2022?杭州）設(shè)x，y，c是有理數(shù)，正確的是（）A．若x＝y(tǒng)，則x+c＝y(tǒng)﹣c B．若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)c C．若x＝y(tǒng)，則xc=yc D．若x【變式5-2】（2022?安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且b=45a+A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．a(chǎn)﹣b＝4（b﹣c） D．a(chǎn)﹣c＝5（a﹣b）【變式5-3】（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng)；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么a7A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【題型6等式的性質(zhì)的應(yīng)用】【例6】（2022?石家莊模擬）能運(yùn)用等式的性質(zhì)說明如圖事實(shí)的是（）A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0） B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不為0） C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不為0） D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不為0）【變式6-1】（2022?河北）有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”，其中，同一種物體的質(zhì)量都相等，現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體，只有一組左右質(zhì)量不相等，則該組是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2022?蘆淞區(qū)模擬）有質(zhì)量分別為11克和17克的砝碼若干個，在天平上稱出質(zhì)量為3克的物體，至少要用個這樣的砝碼．【變式6-3】（2022?利津縣一模）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？處只放“■”那么應(yīng)放“■”（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【題型7利用等式的性質(zhì)解方程】【例7】（2022秋?饒平縣校級期末）利用等式的性質(zhì)解方程：（1）5+x＝﹣2（2）3x+6＝31﹣2x．【變式7-1】（2022秋?柳江區(qū)期中）利用等式的性質(zhì)解方程并檢驗(yàn)：2?1【變式7-2】（2022秋?盂縣期中）用等式性質(zhì)解下列方程：（1）4x﹣7＝13（2）3x+2＝x+1．【變式7-3】（2022秋?三門縣期中）利用等式的性質(zhì)解方程：（1）5﹣x＝﹣2（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．【題型8方程的解中的遮擋問題】【例8】（2022秋?玉田縣期末）小強(qiáng)在解方程時，不小心把一個數(shù)字用墨水污染成了x＝1?x?●5，他翻閱了答案知道這個方程的解為x＝1，于是他判斷●應(yīng)該是【變式8-1】（2022秋?紅河州期末）方程2+▲＝3x，▲處被墨水蓋住了，已知方程的解是x＝2，那么▲處的數(shù)字是．【變式8-2】（2022秋?巴彥縣期末）小麗同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一個常數(shù)污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x＝9，請問這個被污染的常數(shù)■是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式8-3】（2022秋?郫都區(qū)期末）小強(qiáng)在解方程時，不小心把一個數(shù)字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻閱了答案知道這個方程的解為x＝﹣1，于是他判斷●的值應(yīng)為．【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】【例9】（2022秋?雨花區(qū)期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，檢驗(yàn)x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．【變式9-1】（2022春?崇明區(qū)期末）x＝1方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”）【變式9-2】（2022秋?雨花區(qū)校級期末）判斷括號內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根：（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2=?4【變式9-3】（2022秋?萊山區(qū)期末）有下列方程：①13x＝1；②2x﹣3＝1；③23x?32=37；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x?2x=3；⑥2[3x﹣【題型10方程的解的規(guī)律問題】【例10】（2022春?衛(wèi)輝市期中）一列方程如下排列：x4+x?1x6+x?2x8+x?3…根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x＝2017的方程：．【變式10-1】（2002?煙臺）先閱讀下列一段文字，然后解答問題．已知：方程x?1x=112的解是x1＝2，x2=?12；方程x?1方程x?1x=334的解是x1＝4，x2=?14；方程x?1問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x?1【變式10-2】（2022秋?莘縣校級月考）有一系列方程，第1個方程是x4?（x﹣2）＝1，解為x=43；第2個方程是x5?（x﹣3）＝1，解為x=104；第3個方程是x6?（x﹣4）＝1，解為x=【變式10-3】（2022春?方城縣期中）已知關(guān)于x的方程x+2x=3+又已知關(guān)于x的方程x+2x=4+又已知關(guān)于x的方程x+2x=5+…，小王認(rèn)真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．關(guān)于x的方程x+2x=c+（1）關(guān)于x的方程x+2x=11+211的兩個解是x1＝和（2）已知關(guān)于x的方程x+2x?1=12+專題3.1一元一次方程及等式的性質(zhì)【十大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程及一元一次方程的定義】 1【題型2利用一元一次方程的定義求值】 3【題型3方程的解】 5【題型4列方程】 6【題型5利用等式的性質(zhì)變形】 8【題型6等式的性質(zhì)的應(yīng)用】 9【題型7利用等式的性質(zhì)解方程】 11【題型8方程的解中的遮擋問題】 13【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】 15【題型10方程的解的規(guī)律問題】 16【知識點(diǎn)1方程及一元一次方程的定義】（1）方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．

方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．（2）一元一次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．

通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型1方程及一元一次方程的定義】【例1】（2022?順德區(qū)模擬）下列等式中不是一元一次方程的是（）A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100 C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850【分析】利用一元一次方程方程的定義判斷即可．【詳解】解：x（x+25）＝5850是一元二次方程，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022秋?博白縣期末）下列式子中是方程的是（）A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5【分析】根據(jù)方程的定義，含有未知數(shù)的等式是方程，判斷即可．【詳解】解：A.5x+4，不是方程，故A不符合題意；B.3x﹣5＜7是一元一次不等式，故B不符合題意，C．x﹣2＝6，是方程，故C符合題意；D.3×2﹣1＝5，不是方程，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋?鹽城校級期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）3x+1=?2；（5）x2﹣A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．【詳解】解：（1）x3=2、（6）（2）由5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定義，屬于一元一次方程；（3）xy＝5中含有2個未知數(shù)，屬于二元二次方程；（4）3x+1（5）x2﹣x＝1的未知數(shù)的最高次數(shù)是2，屬于一元二次方程．綜上所述，屬于一元一次方程的個數(shù)是3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．【變式1-3】（2009?江東區(qū)質(zhì)檢）在初中數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)了各種各樣的方程．以下給出了6個方程，請你把屬于一元方程的序號填入圓圈（1）中，屬于一次方程的序號填入圓圈（2）中，既屬于一元方程又屬于一次方程的序號填入兩個圓圈的公共部分．①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．【分析】根據(jù)一次方程與一元一次方程的定義即可解答．【詳解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0；（2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5；（3）既屬于一元方程又屬于一次方程的是①3x+5＝9．【點(diǎn)睛】此題很簡單，關(guān)鍵是熟知一次方程與一元一次方程的定義即可解答．【題型2利用一元一次方程的定義求值】【例2】（2022?市中區(qū)模擬）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則代數(shù)式|m﹣1|的值為（）A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2【分析】根據(jù)一元一次方程的定義知m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，據(jù)此可以求得代數(shù)式|m﹣1|的值．【詳解】解：由已知方程，得（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0．∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是關(guān)于x的一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，解得，m＝1，則|m﹣1|＝0．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知數(shù)的指數(shù)為1．【變式2-1】（2022秋?婺源縣期末）已知方程x2k-1+k＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則方程的解等于（）A．﹣1 B．1 C．12 D．【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．根據(jù)定義可列出關(guān)于k的方程，求解即可．【詳解】解：由一元一次方程的特點(diǎn)得，2k﹣1＝1，解得：k＝1，∴一元一次方程是：x+1＝0解得：x＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．【變式2-2】（2010秋?江陰市校級期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是﹣2．【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．據(jù)此可得出關(guān)于a的式子，進(jìn)而求出a的值．【詳解】解：由題意，得|a|?1=1a?2≠0解得：m＝﹣2．故答案為﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不等于0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．【變式2-3】（2022秋?鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是關(guān)于x的一元一次方程，且x有唯一解，則x＝1.5．【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常數(shù)且a≠0）．高于一次的項(xiàng)系數(shù)是0，據(jù)此可得出3a+2b＝0且a≠0，再用b表示a，代入原方程，即可得出x的值．【詳解】解：方程（3a+2b）x2+ax+b＝0是關(guān)于x的一元一次方程，且有唯一解，則3a+2b＝0且a≠0，因?yàn)閍=?23b，把a(bǔ)=?23b代入ax?23bx+所以，?23解得x＝1.5．故答案為：1.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．【知識點(diǎn)2方程的解】方程的解：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．【題型3方程的解】【例3】（2010秋?溫州期末）若關(guān)于x的方程mx＝4﹣x的解是整數(shù)，則非負(fù)整數(shù)m的值為0或1或3．【分析】先用m的代數(shù)式表示x的值，再根據(jù)方程的解是整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)m的值即可．【詳解】解：由方程mx＝4﹣x，得：x=4∵方程的解是整數(shù)，∴非負(fù)整數(shù)m的值為0或1或3．故答案為：0或1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程解的定義，關(guān)鍵會用m的代數(shù)式表示方程的解．【變式3-1】（2008秋?番禺區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解為x=12，則3a+5的值為﹣【分析】根據(jù)方程解的定義，將方程的解代入方程可得關(guān)于字母系數(shù)a的一元一次方程，從而可求出a的值，然后將其代入求值式即可得到答案．【詳解】解：方法1：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣解得：a=?8∴3a+5＝3×（?83）+5＝方法2：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣3﹣a，即2a+5＝﹣3﹣a，3故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】已知條件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母系數(shù)的方程進(jìn)行求解．可把它叫做“有解就代入”．【變式3-2】（2022秋?錦江區(qū)校級期末）對于正整數(shù)n，階乘符號n!表示從n到1的整數(shù)的乘積（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），則滿足方程5!?9!＝N！?12的N的值為10．【分析】根據(jù)階乘符號n!表示從n到1的整數(shù)的乘積，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵5!?9!＝N！?12，∴5×4×3×2×1?9!＝N！?12，∴12×10?9!＝N！?12，∴10!＝N!，∴N＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握階乘符號n!表示從n到1的整數(shù)的乘積，進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022春?黔江區(qū)期末）已知關(guān)于x的方程2x﹣3=m3+x的解滿足|xA．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12【分析】方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即利用方程的解代替未知數(shù)，所得到的式子左右兩邊相等．就得到一個關(guān)于m的方程，解方程就可求出m．【詳解】解：∵|x|＝1∴x＝±1當(dāng)x＝1時，代入方程得：2﹣3=m解得：m＝﹣6；當(dāng)x＝﹣1時，代入方程得：﹣2﹣3=m解得：m＝﹣12∴m＝﹣6或﹣12故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程解的定義，已知|x|＝1即已知方程的解是±1，方程的解實(shí)際就是得到了兩個關(guān)于m的方程．【題型4列方程】【例4】（2022秋?泗水縣期末）一根細(xì)鐵絲用去23后還剩2m，若設(shè)鐵絲的原長為xm，可列方程為x?23【分析】設(shè)鐵絲的原長為xm，用去全長的23后還剩2m，根據(jù)題意可得出數(shù)量關(guān)系式：鐵絲的全長﹣鐵絲全長×【詳解】解：設(shè)鐵絲的原長為xm，由題意，得：x?23故答案為：x?23【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系式列方程，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．【變式4-1】（2022秋?南崗區(qū)期末）列等式表示“x的三分之一減y的差等于6”是13x?y=6【分析】本題需先根據(jù)已知條件“x的三分之一減y的差等于6”，列出等式，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)已知條件：“x的三分之一減y的差等于6”，得：13故答案為：13【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，在解題時要根據(jù)已知條件列出等式是本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022秋?雨花區(qū)校級期末）某校長方形的操場周長為210m，長與寬之差為15m，設(shè)寬為xm，列方程為2（x+x+15）＝210．【分析】先表示出長，再根據(jù)長方形的周長公式列出方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為xm，則長為（x+15）m，根據(jù)題意得，2（x+x+15）＝210．故答案為：2（x+x+15）＝210．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，主要利用了長方形的周長公式．【變式4-3】（2022秋?越秀區(qū)校級月考）一件衣服打八折后，售價(jià)為88元，設(shè)原價(jià)為x元，可列方程為0.8x＝88．【分析】根據(jù)打八折后售價(jià)等于88元列式即可．【詳解】解：設(shè)原價(jià)為x元，根據(jù)題意得，0.8x＝88．故答案為：0.8x＝88．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，理解打折的意義是解題的關(guān)鍵．【知識點(diǎn)3等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【題型5利用等式的性質(zhì)變形】【例5】（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）A．若ac=bc，則a＝b B．若ac＝bc，則C．若a2＝b2，則a＝b D．若?13x＝6，則x＝【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、若ac=bc，則a＝B、若ac＝bc（c≠0），則a＝b，故B不符合題意；C、若a2＝b2，則a＝±b，故C不符合題意；D、?13x＝6，則x＝﹣18，故故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022?杭州）設(shè)x，y，c是有理數(shù)，正確的是（）A．若x＝y(tǒng)，則x+c＝y(tǒng)﹣c B．若x＝y(tǒng)，則xc＝y(tǒng)c C．若x＝y(tǒng)，則xc=yc D．若x【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：A、兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意；B、兩邊都乘以c，故B符合題意；C、c＝0時，兩邊都除以c無意義，故C不符合題意；D、兩邊乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)并根據(jù)等式的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2022?安徽）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且b=45a+A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．a(chǎn)﹣b＝4（b﹣c） D．a(chǎn)﹣c＝5（a﹣b）【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，對已知等式進(jìn)行變形即可．【詳解】解：∵b=45a+∴5b＝4a+c，在等式的兩邊同時減去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，在等式的兩邊同時乘﹣1，則5（a﹣b）＝a﹣c．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的基本性質(zhì)，結(jié)合已知條件及選項(xiàng)，對等式進(jìn)行合適的變形是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級二模）下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng)；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么a7A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：（1）∵ax＝ay，當(dāng)a≠0時，x＝y(tǒng)，故（1）選項(xiàng)不符合題意；（2）∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴a2＝（﹣b）2，即a2＝b2，故（2）選項(xiàng)符合題意；（3）∵|a|＝|b|，∴a＝±b，故（3）選項(xiàng)不符合題意；（4）∵4a＝7b，兩邊同時除以28，可得a7故（4）選項(xiàng)符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6等式的性質(zhì)的應(yīng)用】【例6】（2022?石家莊模擬）能運(yùn)用等式的性質(zhì)說明如圖事實(shí)的是（）A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0） B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不為0） C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不為0） D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不為0）【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：觀察圖形，是等式a+c＝b+c的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），利用等式性質(zhì)1，得到a＝b，即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不為0）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊加或減去同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022?河北）有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”，其中，同一種物體的質(zhì)量都相等，現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體，只有一組左右質(zhì)量不相等，則該組是（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知盤子上的物體得出物體之間的重量關(guān)系進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)的質(zhì)量為x，的質(zhì)量為y，的質(zhì)量為：a，假設(shè)A正確，則，x＝1.5y，此時B，C，D選項(xiàng)中都是x＝2y，故A選項(xiàng)錯誤，符合題意．故選：A．【變式6-2】（2022?蘆淞區(qū)模擬）有質(zhì)量分別為11克和17克的砝碼若干個，在天平上稱出質(zhì)量為3克的物體，至少要用13個這樣的砝碼．【分析】由11×8﹣17×5＝3，則可知用11g的砝碼8個，17g的砝碼5個，即可求解．【詳解】解：∵11×8＝88，17×5＝85，∴88﹣85＝3，∴用11g的砝碼8個，17g的砝碼5個，∴至少用13個，故答案為13．【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022?利津縣一模）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？處只放“■”那么應(yīng)放“■”（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】首先根據(jù)圖示可知，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），據(jù)此判斷出〇、△與□的關(guān)系，然后判斷出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)圖示可得，2×〇＝△+□①，〇+□＝△②，由①、②可得，〇＝2□，△＝3□，∴〇+△＝2□+3□＝5□，故選：A．【題型7利用等式的性質(zhì)解方程】【例7】（2022秋?饒平縣校級期末）利用等式的性質(zhì)解方程：（1）5+x＝﹣2（2）3x+6＝31﹣2x．【分析】（1）在等式的兩邊同時減去5；（2）在等式的兩邊同時加上（2x﹣6），然后再除以5．【詳解】（1）5+x＝﹣25+x﹣5＝﹣2﹣5x＝﹣7；（2）3x+6＝31﹣2x3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣65x＝25x＝5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【變式7-1】（2022秋?柳江區(qū)期中）利用等式的性質(zhì)解方程并檢驗(yàn)：2?1【分析】1、根據(jù)等式的基本性質(zhì)解題；2、檢驗(yàn)時，把所求的未知數(shù)的值代入原方程，使方程左右兩邊相等的值才是方程的解．【詳解】解：根據(jù)等式性質(zhì)1，方程兩邊都減去2，得：?1根據(jù)等式性質(zhì)2，方程兩邊都乘以﹣4，得：x＝﹣4，檢驗(yàn)：將x＝﹣4代入原方程，得：左邊=2?1所以方程的左右兩邊相等，故x＝﹣4是方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用等式的基本性質(zhì)解方程．等式性質(zhì)1：等式的兩邊都加上或者減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2：等式的兩邊都乘以或者除以同一個數(shù)（除數(shù)不為零），所得結(jié)果仍是等式．【變式7-2】（2022秋?盂縣期中）用等式性質(zhì)解下列方程：（1）4x﹣7＝13（2）3x+2＝x+1．【分析】（1）利用等式的基本性質(zhì)分別化簡得出即可；（2）利用等式的基本性質(zhì)分別化簡得出即可．【詳解】解：（1）4x﹣7＝13移項(xiàng)得：4x＝20，方程兩邊同時除以4得：x＝5；（2）3x+2＝x+1移項(xiàng)得：3x﹣x＝﹣2+1，合并同類項(xiàng)得：2x＝﹣1，解得：x=?1【點(diǎn)睛】此題主要考查了等式的性質(zhì)，熟練利用等式的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋?三門縣期中）利用等式的性質(zhì)解方程：（1）5﹣x＝﹣2（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．【分析】（1）根據(jù)等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0數(shù)（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）根據(jù)等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0數(shù)（或字母），等式仍成立，可得答案．【詳解】解：（1）兩邊都減5，得﹣x＝﹣7，兩邊都除以﹣1，得x＝7；（2）兩邊都加（2x+6），得5x＝﹣25，兩邊都除以5，得x＝﹣5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為0數(shù)（或字母），等式仍成立．【題型8方程的解中的遮擋問題】【例8】（2022秋?玉田縣期末）小強(qiáng)在解方程時，不小心把一個數(shù)字用墨水污染成了x＝1?x?●5，他翻閱了答案知道這個方程的解為x＝1，于是他判斷●應(yīng)該是【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一個關(guān)于a的方程，解方程求得a的值．【詳解】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1?1?a解得：a＝1．故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，理解定義是關(guān)鍵．【變式8-1】（2022秋?紅河州期末）方程2+▲＝3x，▲處被墨水蓋住了，已知方程的解是x＝2，那么▲處的數(shù)字是4．【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出關(guān)于▲的方程，通過解該方程可以求得▲處的數(shù)字．【詳解】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6，解得▲＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式8-2】（2022秋?巴彥縣期末）小麗同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一個常數(shù)污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x＝9，請問這個被污染的常數(shù)■是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．【詳解】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，掌握代入計(jì)算法是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋?郫都區(qū)期末）小強(qiáng)在解方程時，不小心把一個數(shù)字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻閱了答案知道這個方程的解為x＝﹣1，于是他判斷●的值應(yīng)為﹣5．【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一個關(guān)于a的方程，解方程求得a的值．【詳解】解：●用a表示，把x＝﹣1入方程得：2+a＝﹣3，解得：a＝﹣5．故答案是：﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，理解定義是關(guān)鍵．【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】【例9】（2022秋?雨花區(qū)期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，檢驗(yàn)x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由為：由x＝2為已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再將a的值代入所求方程，檢驗(yàn)即可．【詳解】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由為：∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解，∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0，解得：a＝2，將a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8，將x＝3代入該方程左邊，則左邊＝7，代入右邊，則右邊＝1，左邊≠右邊，則x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解．【點(diǎn)睛】此題考查了方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【變式9-1】（2022春?崇明區(qū)期末）x＝1是方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”）【分析】將x＝1代入到方程的左右兩邊，看是否相等，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)x＝1時，x2+3＝12+3＝4，3x+1＝3+1＝4，∴x＝1是方程的解，故答案為：是．【變式9-2】（2022秋?雨花區(qū)校級期末）判斷括號內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的根：（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2=?4【分析】利用方程解的定義找到相等關(guān)系．即將未知數(shù)分別代入方程式看是否成立．【詳解】解：（1）當(dāng)x1＝﹣1時，左邊＝1+3﹣4＝0＝右邊，則它是該方程的根；當(dāng)x2＝1時，左邊＝1﹣3﹣4＝﹣6≠右邊，則它不是該方程的根；（2）當(dāng)a1＝﹣2時，左邊＝（﹣4+1）2＝9，右邊＝4+1＝5，左邊≠右邊，則它不是該方程的根；當(dāng)a2=?43時，左邊＝（?43×2+1）2=259【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的定義．無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這