陜西省西安市蓮湖區(qū)2022-2023學年九年級上學期期末數(shù)學試卷

2022-2023學年陜西省西安市蓮湖區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）a是的整數(shù)部分，則a為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12．（3分）如果關于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有實根．那么以下結(jié)論正確的是（）A．k＞l B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣13．（3分）在Rt△ABC中，各邊都擴大3倍，則∠A的正切值（）A．擴大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定4．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應點，點B'與點B是對應點．若點B'恰好落在AB邊上，則點A到直線A'C的距離等于（）A．1 B． C． D．5．（3分）設a，b是方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則a+b﹣ab的值為（）A．2023 B．﹣2021 C．2021 D．﹣20236．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c＝m有一正實數(shù)根和一負實數(shù)根的條件是（）A．m＞5 B．m≥0 C．m≥﹣4 D．m≥67．（3分）如圖，兩個三角形是以點P為位似中心的位似圖形，則點P的坐標是（）A．（﹣3，2） B．（﹣3，1） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）8．（3分）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞BP），如果AB的長度為10cm，那么較短線段BP的長度為（）A． B． C． D．9．（3分）若關于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥010．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列4個結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）最簡二次根式與是同類二次根式，則m＝．12．（3分）在一個不透明的袋子里裝有紅球6個，黃球若干個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是個．13．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C．若在拋物線上存在一點P（與點C不重合），使S△ABP：S△ABC＝5：3，則點P的坐標為．14．（3分）如圖，將扇形紙片AOB折疊，使點A與點O重合，折痕為CD．若∠AOB＝120°，OA＝6，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為．15．（3分）已知：如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，點P在以A點為圓心，2個單位長度為半徑的圓上，Q點是BP的中點，連接OQ，則OQ的最小值為．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）（1）計算：|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1；（2）計算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣．17．（8分）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△A1B1C1的頂點均在格點上．（1）在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2（△A2B2C2的頂點均在格點上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）說明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依據(jù)．18．（8分）已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長線上一點，CE與AD、BD交于G、F．求證：CF2＝GF?EF．19．（8分）哈美佳外校為了豐富學生的課余生活，計劃購買圍棋和象棋供興趣小組活動使用，若購買4副圍棋5副象棋的價錢為114元，購買8副圍棋3副象棋的價錢為158元．（1）求每副圍棋和每副象棋各多少元？（2）學校決定購買圍棋和象棋共40副，總費用不超過550元，那么哈美佳外校最多可以購買多少副圍棋？20．（9分）已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．（1）如圖1，求證：AE＝CF；（2）如圖2，當∠ADB＝30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的．21．（10分）⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC，過點B作BD⊥AC，垂足為點H，交⊙O于點D，連接AD．（1）如圖1，求證：∠CAB＝2∠CAD；（2）如圖2，若弧AD＝弧AE，連接CE交BD于點F，交AB于點G，求證：點G為線段EF的中點；（3）如圖3，在（2）的條件下，過圓心O作OM⊥AB于點M，若OM：DH＝5：6，AH＝15，求線段AD的長．22．（11分）閱讀與思考如圖1所示的是一座鋼鐵橋梁，為了計算其中一個三角形鋼架的面積，小明想辦法測量出三邊的長度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC鋼架的面積？下面是甲，乙兩位同學的解題思路，分別根據(jù)甲、乙兩位同學的解題思路求△ABC的面積．（1）甲同學：我們知道，已知△ABC的三邊長a，b，c，設，即p為△ABC周長的一半，那么利用海倫公式就可求出△ABC的面積．（2）乙同學：如圖2，過點A作AD⊥BC于點D，設BD＝x米，然后用含x的代數(shù)式表示出CD，根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的長，再計算△ABC的面積．23．（13分）綜合與實踐在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．在矩形ABCD中，E為射線BC上一動點，連接AE．（1）當點E在BC邊上時，將△ABE沿AE翻折，使點B恰好落在對角線BD上點F處，AE交BD于點G．基礎探究：①如圖1，若，則∠AFB的度數(shù)為．深入探究：②如圖2，當，且EF＝EC時，求AB的長．拓展探究：（2）在②所得矩形ABCD中，將矩形ABCD沿AE進行翻折，點C的對應點為C'，當點E，C'，D三點共線時，請直接寫出BE的長．

2022-2023學年陜西省西安市蓮湖區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）a是的整數(shù)部分，則a為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵3＜＜4，∴﹣2＜＜﹣1，∴的整數(shù)部分為：﹣1．故選：B．2．（3分）如果關于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有實根．那么以下結(jié)論正確的是（）A．k＞l B．k＝﹣1 C．k≥﹣1 D．k＜﹣1【解答】解：由題意知Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得：k≥﹣1，故選：C．3．（3分）在Rt△ABC中，各邊都擴大3倍，則∠A的正切值（）A．擴大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定【解答】解：Rt△ABC中，各邊都擴大3倍，則由銳角的正切定義得到∠A的正切值不變．故選：C．4．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'B'C，其中點A'與點A是對應點，點B'與點B是對應點．若點B'恰好落在AB邊上，則點A到直線A'C的距離等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：連接AA′，如圖，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝BC＝，∠B＝60°，∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′，∵CB＝CB′，∠B＝60°，∴△CBB′為等邊三角形，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°，∴△CAA′為等邊三角形，過點A作AD⊥A'C于點D，∴CD＝AC＝，∴AD＝CD＝＝，∴點A到直線A'C的距離為，故選：C．5．（3分）設a，b是方程x2+x﹣2022＝0的兩個實數(shù)根，則a+b﹣ab的值為（）A．2023 B．﹣2021 C．2021 D．﹣2023【解答】解：根據(jù)題意，得a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，∴a+b﹣ab＝﹣1+2022＝2021，故選：C．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c＝m有一正實數(shù)根和一負實數(shù)根的條件是（）A．m＞5 B．m≥0 C．m≥﹣4 D．m≥6【解答】解：拋物線的頂點坐標為（6，﹣4）即x＝6時，二次函數(shù)有最小值為﹣4，當m≥﹣4時，直線y＝m與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c有公共點，方程ax2+bx+c＝m有實數(shù)根的條件是m≥﹣4．故選：C．7．（3分）如圖，兩個三角形是以點P為位似中心的位似圖形，則點P的坐標是（）A．（﹣3，2） B．（﹣3，1） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）【解答】解：如圖點P為位似中心，∴＝，即＝，解得，PB＝3，∴點P的坐標為（﹣3，2），故選：A．8．（3分）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞BP），如果AB的長度為10cm，那么較短線段BP的長度為（）A． B． C． D．【解答】解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故選：D．9．（3分）若關于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥0【解答】解：∵于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實數(shù)根，∴，解得：k≥且k≠2，故選：A．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列4個結(jié)論：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正確，符合題意；﹣＝1，得b＝﹣2a，2a+b＝0，故②正確，符合題意；當x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，故③正確，符合題意；當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④錯誤，不符合題意；故選：C．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）最簡二次根式與是同類二次根式，則m＝7．【解答】解：由題意可知：2m﹣1＝34﹣3m，解得：m＝7，故答案為：7．12．（3分）在一個不透明的袋子里裝有紅球6個，黃球若干個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是14個．【解答】解：設袋子中黃球的個數(shù)可能有x個，根據(jù)題意得：＝0.3，解得：x＝14，經(jīng)檢驗x＝14是原方程的解，答：袋子中黃球的個數(shù)可能是14個．故答案為：14．13．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C．若在拋物線上存在一點P（與點C不重合），使S△ABP：S△ABC＝5：3，則點P的坐標為（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，∴點C（0，3），∴S△ABC＝＝＝6，∵S△ABP：S△ABC＝5：3，∴S△ABP＝10，∴＝10，∴|yP|＝＝5，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的頂點為（﹣1，4），∴yP＝﹣5，把y＝﹣5代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣5，解得x＝﹣4或x＝2，∴點P的坐標為（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．故答案為：（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）．14．（3分）如圖，將扇形紙片AOB折疊，使點A與點O重合，折痕為CD．若∠AOB＝120°，OA＝6，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為．【解答】解：連接OD，AD，過O作OE⊥AD于E，∵扇形紙片AOB折疊，使點A與點O重合，折痕為CD，OA＝6，∴AD＝OD＝OA＝6，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝3，∠AEO＝90°，∴，∴，∴，故答案為：．15．（3分）已知：如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，點P在以A點為圓心，2個單位長度為半徑的圓上，Q點是BP的中點，連接OQ，則OQ的最小值為．【解答】解：當x＝0時，y＝﹣x2+4＝4，∴A（0，4），當y＝0時，﹣x2+4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴B（3，0），∴AB＝＝5，連接AB，點C為AB的中點，連接OC、CQ，如圖，則OC＝AB＝，∵Q點為BP的中點，∴CQ為△ABP的中位線，∴CQ＝AP＝1，∵OQ≥OC﹣CQ（當且僅當O、C、Q共線時取等號），∴OC的最小值為OC﹣CQ＝﹣1＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）（1）計算：|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1；（2）計算：2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣．【解答】解：（1）|﹣3|﹣4sin30°++（）﹣1＝3﹣4×+2+3＝3﹣2+5＝6；（2）2tan60°+|﹣2|+（）﹣1﹣＝2×+2﹣+﹣1﹣＝．17．（8分）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△A1B1C1的頂點均在格點上．（1）在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2（△A2B2C2的頂點均在格點上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；（2）說明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依據(jù)．【解答】解：（1）如圖，△A2B2C2即為所求；（2）相似的理由是三邊成比例兩三角形相似．18．（8分）已知：平行四邊形ABCD，E是BA延長線上一點，CE與AD、BD交于G、F．求證：CF2＝GF?EF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴＝，＝，∴＝，即CF2＝GF?EF．19．（8分）哈美佳外校為了豐富學生的課余生活，計劃購買圍棋和象棋供興趣小組活動使用，若購買4副圍棋5副象棋的價錢為114元，購買8副圍棋3副象棋的價錢為158元．（1）求每副圍棋和每副象棋各多少元？（2）學校決定購買圍棋和象棋共40副，總費用不超過550元，那么哈美佳外校最多可以購買多少副圍棋？【解答】解：（1）設每副圍棋x元，每副象棋y元，根據(jù)題意得，，解得：，答：每副圍棋16元，每副象棋10元；（2）設哈美佳外校購買z副圍棋，則購買（40﹣z）副象棋，依題意得，16z+10（40﹣z）≤550，解得：z≤25，∵z為正整數(shù)，∴z＝25，答：哈美佳外校最多可以購買25副圍棋．20．（9分）已知：在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．（1）如圖1，求證：AE＝CF；（2）如圖2，當∠ADB＝30°時，連接AF、CE，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形ABCD面積的．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE的面積＝△CDF的面積＝△BCE的面積＝△ADF的面積＝矩形ABCD面積的．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面積＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面積，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面積＝矩形ABCD的面積；作EG⊥BC于G，如圖所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面積＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面積，同理：△ADF的面積＝矩形ABCD的面積．21．（10分）⊙O為△ABC的外接圓，AB＝AC，過點B作BD⊥AC，垂足為點H，交⊙O于點D，連接AD．（1）如圖1，求證：∠CAB＝2∠CAD；（2）如圖2，若弧AD＝弧AE，連接CE交BD于點F，交AB于點G，求證：點G為線段EF的中點；（3）如圖3，在（2）的條件下，過圓心O作OM⊥AB于點M，若OM：DH＝5：6，AH＝15，求線段AD的長．【解答】（1）證明：作AP⊥BC于點P，如圖1，∴∠APC＝90°，∴∠PAC+∠C＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAP，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝90°，∴∠CBH+∠C＝90°，∴∠PAC＝∠CBH，∵，∴∠CAD＝∠CBH，∴∠PAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）證明：連接BE，如圖2，∵，∴∠ACE＝∠DBA＝∠ABE，又∵BD⊥AC，∴∠HAB+∠HBA＝90°，∴∠ACG+∠CAG＝90°，∴∠CGA＝90°，即AB⊥CE，∴∠BGE＝∠BGF＝90°，在Rt△BGF和Rt△BGE中，，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GF＝GE，∴點G為線段EF的中點；（3）解：作AP⊥BC于點P，如圖3，又∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠PAB，∵∠BAC＝2∠CAD，∠PAB＝∠CAD，又∵BD⊥AC，OM⊥AB，∴∠AHD＝∠OMA＝90°，∴△AHD∽△AMO，∴，又∵AH＝15，∴，∴AB＝2AM＝25，∵，∴，∴∠FCP＝∠FBP，∴FC＝FB，∴點F在線段AP上，即點A、O、F、P四點共線，∵OM⊥AB，∴∠OMA＝90°，∵∠BAC＝∠BAC，∠AHB＝∠AGC＝90°，AB＝AC＝25，∴△AHB≌△AGC（AAS），∴AH＝AG＝15，∴BG＝10，在Rt△ABH中，，在Rt△AGC中，，在Rt△CGB中，，在△AHD和△BHC中，∠AHD＝∠BHC＝90°，∵，∴∠DAH＝∠CBH，∴△DHA∽△CHB，∴，即，∴．22．（11分）閱讀與思考如圖1所示的是一座鋼鐵橋梁，為了計算其中一個三角形鋼架的面積，小明想辦法測量出三邊的長度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC鋼架的面積？下面是甲，乙兩位同學的解題思路，分別根據(jù)甲、乙兩位同學的解題思路求△ABC的面積．（1）甲同學：我們知道，已知△ABC的三邊長a，b，c，設，即p為△ABC周長的一半，那么利用海倫公式就可求出△ABC的面積．（2）乙同學：如圖2，過點A作AD⊥BC于點D，設BD＝x米，然后用含x的代數(shù)式表示出CD，根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的長，再計算