大平臺(tái)課程高數(shù)課件

7.6空間曲面與空間曲線簡(jiǎn)介1、空間曲面及其方程求到兩定點(diǎn)A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的化簡(jiǎn)得即說(shuō)明:動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程.解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為軌跡方程.

定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個(gè)基本問(wèn)題:(1)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀(必要時(shí)需作圖).故所求方程為例1.

求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程.特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解:

設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.球心在M0

(x0,y0,z0)，半徑為R

的球面方程例2.

研究方程解:配方得此方程表示:說(shuō)明:一般的球面方程可表示為(A≠0)的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為

定曲線C

稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線.2.柱面動(dòng)直線L沿給定曲線C

平行移動(dòng)形成的曲面，稱(chēng)為柱面，動(dòng)直線L

稱(chēng)為柱面的母線，CLxyzO柱面圖形：圓柱面由于方程f(x,y)=0不含z，

所以點(diǎn)M(x,y,z)也滿(mǎn)足方程f(x,y)=0.設(shè)M(x,y,z)為柱面上的任一點(diǎn)，

過(guò)M作平行于z

軸的直線交xoy

坐標(biāo)面于點(diǎn)

由柱面定義可知必在準(zhǔn)線C上.

所以的坐標(biāo)滿(mǎn)足曲線C

的方程

f(x,y)=0.

而不在柱面上的點(diǎn)作平行于z

軸的直線

與xoy

坐標(biāo)面的交點(diǎn)必不在曲線C

上，也就是說(shuō)不在柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程

f(x,y)=0.

xyzOMLC

現(xiàn)在來(lái)建立以xoy

坐標(biāo)面上的曲線C:f(x,y)=0為準(zhǔn)線，平行于z

軸的直線L

為母線

的柱面方程.

f(x,y)=0在空間表示以xoy

坐標(biāo)面上的曲線C為準(zhǔn)線，

平行于z軸的直線為母線的柱面.類(lèi)似地，不含變量x

的方程f(

y,z)=0

平行于x軸的直線為母線的柱面.在空間表示以yoz坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線,

而不含變量y的方程f(x,z)=0在空間表示以xoz坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線,

平行于y軸的直線為母線的柱面.所以，不含變量z

的方程f(

y,z)=0f(x,z)=0

例如方程表示圓柱面xyzO母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的圓

表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線

方程表示橢圓柱面.xyzO2母線平行于y軸;準(zhǔn)線為xoz

面上的橢圓

雙曲柱面yxz

方程表示雙曲柱面.母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的雙曲線

定義2.一條平面曲線

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)軸.3、旋轉(zhuǎn)曲面建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:得旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到將代入例

2

將下列平面曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(1)yoz

坐標(biāo)面上的直線z=ay(a

0)，繞z

軸.(2)yoz

坐標(biāo)面上的拋物線z=ay2(a

>0)，繞z

軸.(3)xoy坐標(biāo)面上的橢圓分別繞x、y

軸.解(1)yoz

坐標(biāo)面上的直線z=ay(a

0)繞z軸旋轉(zhuǎn)，故z保持不變，將y換成則得

即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為

點(diǎn)O稱(chēng)為圓錐面的頂點(diǎn).表示的曲面稱(chēng)為圓錐面，(2)yoz

坐標(biāo)面上的拋物線z=ay2

(a>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為

該曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)拋物面.其特征是:

當(dāng)a<0時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開(kāi)口向下.xyzO(3)xoy坐標(biāo)面上的橢圓繞x

軸旋轉(zhuǎn)，故x

保持不變，而將y

換成

得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為該曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)橢球面.類(lèi)似地，該橢圓繞y

軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為xyzO4.空間曲線及其方程空間曲線的一般方程例

3下列方程組表示什么曲線?

z=3是平行于xoy

坐標(biāo)面的平面，

因而它們的交線是在平面z=3上的圓.(1)因?yàn)閤2+y2+z2=25是球心在原點(diǎn)，半徑為5的球面，解xyzO

因而它們的交線是在xoy

坐標(biāo)面上的圓z=0是

xoy

坐標(biāo)面，(2)因?yàn)榈谝粋€(gè)方程所表示的球面與(1)相同，若把(2)寫(xiě)成同解方程組

它表示母線平行于z軸的圓柱面與xoy坐標(biāo)面的交線.這樣更清楚地看出它是

xoy坐標(biāo)面上的圓xyzOt為參數(shù).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線

上動(dòng)點(diǎn)M

的坐標(biāo)x，y，z

也可以用另一個(gè)變量t的函數(shù)來(lái)表示，即形如上的方程組稱(chēng)為曲線

的參數(shù)方程，例4.將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解:(1)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù),(2)將第二方程變形為故所求為得所求為設(shè)

為已知空間曲線，則以

為準(zhǔn)線，

平行于z

軸的直線為母線的柱面，

稱(chēng)為空間曲線

關(guān)于xoy

坐標(biāo)面的投影柱面.

而投影柱面與xoy

坐標(biāo)面的交線C稱(chēng)為曲線

在xy

坐標(biāo)面的投影曲線.類(lèi)似地，

可以定義曲線

關(guān)于yoz

坐標(biāo)面、xoz坐標(biāo)面的投影柱面及投影曲線.設(shè)空間曲線

的方程為消去z，得G(x,y)=0.5、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

C

就可得到

關(guān)于

yoz

坐標(biāo)面

或者zox坐標(biāo)面的投影柱面方程，

可知滿(mǎn)足曲線

的方程一定滿(mǎn)足方程G(x,y)=0，而G(x,y)=0是母線平行于z軸的柱面方程，因此柱面G(x,y)=0

就是曲線

關(guān)于xoy

坐標(biāo)面的投影柱面.而就是曲面

在xoy

坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.同理，從曲線

的方程中消去

x或者y，從而也可得到相應(yīng)的投影曲線的方程.得x2+y2

3x5y=0，

在xoy坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.例

5求曲線解從曲線

的方程中消去

z，

即它是曲線

關(guān)于xy坐標(biāo)面的投影柱面－

圓柱面的方程，

在xy坐標(biāo)面上