遼寧省朝陽(yáng)市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題

遼寧省朝陽(yáng)市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

一.分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

2

1.（2022?朝陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，簡(jiǎn)求值：-+x+3+^,其中無(wú)=（_1）2

X2~4X+4X2-2XX+32

2

2.（2021?朝陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：（^L+l）222二其中x=tan60°.

2

x-2X-4

32_

3.（2020?朝陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：盧!■+］）+三也+1,其中x=?+l.

2

x+1x-l

二.一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

4.（2021?朝陽(yáng)）某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，規(guī)定這種商品每件售價(jià)不低于進(jìn)

價(jià)，又不高于38元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）

之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商場(chǎng)銷售這種商品要想每天獲得600元的利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）設(shè)商場(chǎng)銷售這種商品每天獲利卬（元），當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷

售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

5.（2021?朝陽(yáng)）為了進(jìn)一步豐富校園文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球，已知每個(gè)

籃球的進(jìn)價(jià)比每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)多25元，用2000元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量是用750元購(gòu)進(jìn)足球

數(shù)量的2倍，求：每個(gè)籃球和足球的進(jìn)價(jià)各多少元？

四.一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

6.（2022?朝陽(yáng)）某中學(xué)要為體育社團(tuán)購(gòu)買一些籃球和排球，若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)排球，

共需560元；若購(gòu)買2個(gè)籃球和4個(gè)排球，共需640元.

（1）求每個(gè)籃球和每個(gè)排球的價(jià)格分別是多少元；

（2）該中學(xué)決定購(gòu)買籃球和排球共10個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)1100元，那么最多可以購(gòu)買多

少個(gè)籃球？

五.二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）

7.（2022?朝陽(yáng)）某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天

的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8WxW15,且x為整

數(shù)）.當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí)，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11

元時(shí)，每天的銷售量為95件.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為多少

元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利卬（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí),

每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

8.（2020?朝陽(yáng)）某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日

銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價(jià)、日銷售量的三組對(duì)應(yīng)

數(shù)值如下表：

銷售單價(jià)X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）直接寫出y與x的關(guān)系式；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤(rùn)；

（3）銷售一段時(shí)間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價(jià)部門規(guī)

定該商品銷售單價(jià)不能超過(guò)。元，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）保持（1）中

函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，求。的值.

六.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

9.（2022?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），="/+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1,

0）和點(diǎn)8,與），軸交于點(diǎn)C（0,-3）,連接8c.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），過(guò)點(diǎn)尸作y軸的

平行線交拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ長(zhǎng)度的最大值.

（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段B。上由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,

使得以點(diǎn)P，M,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.（2021?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+fer+c與x軸分別交于點(diǎn)A

（-1,0）和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）.

（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸;

（2）如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，若N8PQ=90°,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo);

（3）點(diǎn)M是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△8MN為等

邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

11.（2020?朝陽(yáng)）如圖，拋物線y=-Lj+hx+c與x軸交于點(diǎn)4，點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,

2

拋物線的對(duì)稱軸為直線苫=-I,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,4）.

備用圖

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NABP=/BCO,如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線BP上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

求點(diǎn)M到直線BP的最大距離；

(4)點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是線段8C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都不與點(diǎn)A,B,C重合，連接GH,GQ,HQ,得到△GHQ,直接寫出△G//Q

周長(zhǎng)的最小值.

七.四邊形綜合題(共2小題)

12.(2022?朝陽(yáng))【思維探究】

(1)如圖1,在四邊形ABCD中，ZBAD=60°,N8C￡>=120°,AB=AO,連接AC.求

證：BC+CD=AC.

小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E,?DE=BC,連接AE.根據(jù)NBAO+NBC￡>=180°,

推得N8+NAOC=180°,從而得到然后證明△A￡>￡；絲△ABC,從而可證

BC+CD=AC,請(qǐng)你幫助小明寫出完整的證明過(guò)程.

【思維延伸】

(2)如圖2,四邊形A8CD中，/BA￡)=NBCD=90°,AB=AD,連接AC,猜想BC,

CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【思維拓展】

(3)在四邊形ABCD中，NBAD=NBCD=9Q°,AB=AD=G4c與8。相交于點(diǎn)

O.若四邊形ABCO中有一個(gè)內(nèi)角是75°,請(qǐng)直接寫出線段0。的長(zhǎng).

13.(2020?朝陽(yáng))如圖，在RtZ!\ABC中，ZBAC=90Q，AB=AC,〃是AC邊上的一點(diǎn),

連接作AP_LBM于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AM=CE；

(2)如圖2,以AM,8M為鄰邊作平行四邊形AM8G,連接GE交BC于點(diǎn)N,連接AN,

求建的值；

AN

(3)如圖3,若M是AC的中點(diǎn)，以AB,為鄰邊作平行四邊形AGM2,連接GE交

BC于點(diǎn)、N,連接AN,經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)蛇」，請(qǐng)直接寫出S旦的值.

BC8AN

圖1圖2圖3

八.切線的判定與性質(zhì)(共1小題)

14.(2021?朝陽(yáng))如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上，且NAOQ=90°,點(diǎn)C是。。

外一點(diǎn)，分別連接CA,CB、CD,CA交。。于點(diǎn)M,交。。于點(diǎn)N,的延長(zhǎng)線交。。

于點(diǎn)E，連接A。，ME,且/ACD=/E.

(1)求證：CZ)是。。的切線；

(2)連接。M,若。。的半徑為6,tanE=A,求CM的長(zhǎng).

3

E

九.幾何變換綜合題(共1小題)

15.(2021?朝陽(yáng))如圖，在RtZiABC中，AC=BC,NACB=90°,點(diǎn)。在線段AB上(點(diǎn)

。不與點(diǎn)A,2重合)，且點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM,將射線

OM繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,交射線CB于點(diǎn)N.

(1)如圖1,當(dāng)上=1時(shí)，判斷線段與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,當(dāng)％>1時(shí)，判斷線段。朋與ON的數(shù)量關(guān)系(用含左的式子表示)，并證

明；

(3)點(diǎn)P在射線BC上，若NBON=15°,PN=kAM(.kWl),且里<1二1,請(qǐng)直接

AC2

寫出坡的值(用含

PC

一十.相似三角形的判定與性質(zhì)(共2小題)

16.(2022?朝陽(yáng))如圖，AC是。。的直徑，弦8。交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為8。延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

NDAF=4B.

(1)求證：AF是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,AO是△AEF的中線，且AZ)=6,求AE的長(zhǎng).

B

F

17.(2020?朝陽(yáng))如圖，以AB為直徑的。。經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作0￡>〃BC交

于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)F,連接8。交AC于點(diǎn)G,連接CQ,在。。的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)

E,連接CE,使NDEC=NBOC.

(1)求證：EC是。。的切線；

(2)若00的半徑是3,DG?DB=9,求CE的長(zhǎng).

一十一.作圖-位似變換(共1小題)

18.(2020?朝陽(yáng))如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為人(-3,2),

8(-1,3),C(-L1),請(qǐng)按如下要求畫圖:

(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將AABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AiBiCi,請(qǐng)畫出△

A\B\C\-.

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形282c2,使它

與△ABC的位似比為2：1.

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共2小題）

19.（2022?朝陽(yáng)）某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺(tái)

階）.該小組在C處安置測(cè)角儀CD,測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°,前進(jìn)8根到達(dá)E處,

安置測(cè)角儀E凡測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°（點(diǎn)、B,E,C在同一直線上），測(cè)角儀支

架高CD=EF=L2m,求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到1,〃.參考

數(shù)據(jù)：V3^1.7）

20.（2021?朝陽(yáng)）一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一

個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在尸點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端4的像，

此時(shí)測(cè)得FG=3m,這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)。，在。處安置一高度為

1m的測(cè)角儀CD,此時(shí)測(cè)得樹頂A的仰角為30°,已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離

EF=1.5機(jī)，點(diǎn)8,D,G,尸在同一水平直線上，且A2,CD,EF均垂直于求這棵

古樹48的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共1小題）

21.（2020?朝陽(yáng)）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到紅色文化基地A和

人工智能科技館C參觀學(xué)習(xí)如圖，學(xué)校在點(diǎn)B處，A位于學(xué)校的東北方向，C位于學(xué)校

南偏東30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+3073）km處.學(xué)生分成兩組，第一

組前往A地,第二組前往C地，兩組同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā),第一組乘客車,速度是40km/h,

第二組乘公交車，速度是30初附，兩組同學(xué)到達(dá)目的地分別用了多長(zhǎng)時(shí)間？哪組同學(xué)先

到達(dá)目的地？請(qǐng)說(shuō)明理由（結(jié)果保留根號(hào)）.

北

一十四.用樣本估計(jì)總體（共1小題）

22.（2022?朝陽(yáng)）為了解學(xué)生的睡眠情況，某校隨機(jī)抽取部分學(xué)生對(duì)他們最近兩周的睡眠情

況進(jìn)行調(diào)查，得到他們每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)x（單位：〃）的一組數(shù)據(jù)，將所得數(shù)據(jù)分為四

組（A：Jt<8；B：8WxV9；C：9<x<10；D：x210）,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)

計(jì)圖.

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次一共抽樣調(diào)查了名學(xué)生.

（2）求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中。組所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù).

（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.

（4）若該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)最近兩周有多少名學(xué)生的每日平均睡眠時(shí)長(zhǎng)大于

或等于9h.

一十五.條形統(tǒng)計(jì)圖（共2小題）

23.（2021?朝陽(yáng)）“賞中華詩(shī)詞，尋文化基因，品文學(xué)之美”，某校對(duì)全體學(xué)生進(jìn)行了古詩(shī)詞

知識(shí)測(cè)試，將成績(jī)分為一般、良好、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí)，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的測(cè)試成績(jī),

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求本次抽樣調(diào)查的人數(shù)；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，陰影部分對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是；

（3）將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（4）該校共有1500名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生

人數(shù).

測(cè)試成績(jī)各等級(jí)人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖測(cè)試成績(jī)各等級(jí)人數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

4人數(shù)一

6g

5o____50

4o良好

3450°

o_30

2o

1o優(yōu)秀

O

一般良好優(yōu)秀等級(jí)

24.（2020?朝陽(yáng)）由于疫情的影響，學(xué)生不能返校上課，某校在直播授課的同時(shí)還為學(xué)生提

供了四種輔助學(xué)習(xí)方式：A網(wǎng)上自測(cè)，3網(wǎng)上閱讀，C網(wǎng)上答疑，。網(wǎng)上討論.為了解學(xué)

生對(duì)四種學(xué)習(xí)方式的喜歡情況，該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，規(guī)定被調(diào)查學(xué)生

從四種方式中選擇自己最喜歡的一種，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：

人數(shù)

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，〃?的值是,。對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是；

（3）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（4）若該校共有2000名學(xué)生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜歡方式。的學(xué)

生人數(shù).

一十六.列表法與樹狀圖法（共3小題）

25.（2022?朝陽(yáng)）某社區(qū)組織A,B,C,D四個(gè)小區(qū)的居民進(jìn)行核酸檢測(cè)，有很多志愿者

參與此項(xiàng)檢測(cè)工作，志愿者王明和李麗分別被隨機(jī)安排到這四個(gè)小區(qū)中的一個(gè)小區(qū)組織

居民排隊(duì)等候.

（1）王明被安排到A小區(qū)進(jìn)行服務(wù)的概率是.

（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個(gè)小區(qū)工作的概率.

26.（2021?朝陽(yáng)）為了迎接建黨100周年，學(xué)校舉辦了“感黨恩?跟黨走”主題社團(tuán)活動(dòng)，

小穎喜歡的社團(tuán)有寫作社團(tuán)、書畫社團(tuán)、演講社團(tuán)、舞蹈社團(tuán)（分別用字母4,B,C,

。依次表示這四個(gè)社團(tuán)），并把這四個(gè)字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片正面，

然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.

（1）小穎從中隨機(jī)抽取一張卡片是舞蹈社團(tuán)。的概率是;

（2）小穎先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母不放回，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S

機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求出小穎抽取的兩張

卡片中有一張是演講社團(tuán)C的概率.

27.（2020?朝陽(yáng)）某校準(zhǔn)備組建“校園安全宣傳隊(duì)”，每班有兩個(gè)隊(duì)員名額，七年2班有甲、

乙、丙、丁四位同學(xué)報(bào)名，這四位同學(xué)綜合素質(zhì)都很好，王老師決定采取抽簽的方式確

定人選.具體做法是：將甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別編號(hào)為1、2、3、4號(hào)，將號(hào)碼分

別寫在4個(gè)大小、質(zhì)地、形狀、顏色均無(wú)差別的小球上，然后把小球放入不透明的袋子

中，充分?jǐn)嚢杈鶆蚝?，王老師從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，根據(jù)小球上的編號(hào)確定本班“校

園安全宣傳員”人選.

（1）用畫樹狀圖或列表法，寫出“王老師從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球”可能出現(xiàn)的所有結(jié)

果.

（2）求甲同學(xué)被選中的概率.

遼寧省朝陽(yáng)市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答

題

參考答案與試題解析

一.分式的化簡(jiǎn)求值（共3小題）

1.（2022?朝陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，簡(jiǎn)求值：*Y+」^,其中（A）-2.

X2-4X+4X2-2XX+32

【分析】把除化為乘，再算同分母的分式相加，化簡(jiǎn)后求出x的值，代入即可.

［解答］解：原式=（x+2）（x-2）,x（x-2）+/_

（x-2）2x+3x+3

2

X+2XJ.x

x+3x+3

■^X2+3X

x+3

_x（x+3）

x+3

Vx=(A)-2=4,

2

二原式=4.

2

2.(2021?朝陽(yáng))先化簡(jiǎn)，再求值：(?^+1)+2X2J,其中x=tan60°.

2

x-2X-4

【分析】先把括號(hào)內(nèi)的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，代

入求值即可.

【解答】解:原式=x+x-2,2x(x-1)

x-2?(x+2)(x-2)

=2(x-1)x(x+2)(x-2)

x-22x(x-1)

—x+2

x

x=tan60°代入得：原式=點(diǎn)」2_=5.

V33

32

3.（2020?朝陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：4■三一勺盆其中xS+L

x+1x2-l

【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式

子即可解答本題.

32

【解答】解：耳+1）.?_二空土」

x+1X2-1

=x-l+（x+1）.x（x-l）2

x+1'（x+1）（x-1）

=2x.（x+1）（x-1）

x+1x（x-1）2

=2

X-1'

當(dāng)x八行+1時(shí)，原式二d一必應(yīng).

V3+1-13

二.一元二次方程的應(yīng)用（共1小題）

4.（2021?朝陽(yáng)）某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，規(guī)定這種商品每件售價(jià)不低于進(jìn)

價(jià)，又不高于38元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）

之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商場(chǎng)銷售這種商品要想每天獲得600元的利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）設(shè)商場(chǎng)銷售這種商品每天獲利w（元），當(dāng)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷

售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)“每件利潤(rùn)X銷售量=總利潤(rùn)”列出一元二次方程，解之可得：

（3）根據(jù)以上相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.

【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（ZW0）,

由所給函數(shù)圖象可知：［25k+b=70,

I35k+b=50

解得『=-2,

|b=120

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為了=-2x+120；

(2)根據(jù)題意，得：(x-20)(-2x+120)=600,

整理，得：x2-80x+1500=0,

解得：x=30或x=50(不合題意，舍去)，

答：每件商品的銷售價(jià)應(yīng)定為30元：

(3)?.>=-2x+120,

."=(%-20)y=(x-20)(-2x+120)

=-2ZH60X-2400

=-2(x-40)2+800,

：xW38

.?.當(dāng)x=38時(shí)，w或大=792,

二售價(jià)定為38元/件時(shí)，每天最大利潤(rùn)卬=792元.

三.分式方程的應(yīng)用(共1小題)

5.(2021?朝陽(yáng))為了進(jìn)一步豐富校園文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球，已知每個(gè)

籃球的進(jìn)價(jià)比每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)多25元，用2000元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量是用750元購(gòu)進(jìn)足球

數(shù)量的2倍，求：每個(gè)籃球和足球的進(jìn)價(jià)各多少元？

【分析】設(shè)每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)是(x+25)元，利用數(shù)量=總價(jià)

?單價(jià)，結(jié)合用2000元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量是用750元購(gòu)進(jìn)足球數(shù)量的2倍，即可得出關(guān)于

x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出足球的單價(jià)，再將其代入(x+25)中即可求出籃球

的單價(jià).

【解答】解：設(shè)每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)是x元，則每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)是(x+25)元，

依題意得：200^=2X750；

x+25x

解得：x=75,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=75是原方程的解，且符合題意，

；.x+25=75+25=100.

答：每個(gè)足球的進(jìn)價(jià)是75元，每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)是100元.

四.一元一次不等式的應(yīng)用(共1小題)

6.(2022?朝陽(yáng))某中學(xué)要為體育社團(tuán)購(gòu)買一些籃球和排球，若購(gòu)買3個(gè)籃球和2個(gè)排球，

共需560元；若購(gòu)買2個(gè)籃球和4個(gè)排球，共需640元.

（1）求每個(gè)籃球和每個(gè)排球的價(jià)格分別是多少元；

（2）該中學(xué)決定購(gòu)買籃球和排球共10個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)1100元，那么最多可以購(gòu)買多

少個(gè)籃球？

【分析】（1）設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格是x元，每個(gè)排球的價(jià)格是y元，可得：J3x+2y=56°,

2x+4y=640

即可解得每個(gè)籃球的價(jià)格是120元，每個(gè)排球的價(jià)格是100元；

（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)籃球，可得：120〃?+100（lO-zn）W1100,即可解得最多可以購(gòu)買5

個(gè)籃球.

【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)籃球的價(jià)格是x元，每個(gè)排球的價(jià)格是y元，

根據(jù)題意得：儼+2/=560,

\2x+4y=640

解得（x=120,

]y=100

每個(gè)籃球的價(jià)格是120元，每個(gè)排球的價(jià)格是100元；

（2）設(shè)購(gòu)買，〃個(gè)籃球，

根據(jù)題意得：120加+100（10-/M）W1100,

解得

答：最多可以購(gòu)買5個(gè)籃球.

五.二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）

7.（2022?朝陽(yáng)）某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天

的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8WxW15,且x為整

數(shù)）.當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí)，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11

元時(shí)，每天的銷售量為95件.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為多少

元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利卬（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí),

每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)每件的銷售利潤(rùn)X每天的銷售量=425,解一元二次方程即可；

（3）利用銷售該消毒用品每天的銷售利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)X每天的銷售量，即可得出

w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題.

【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

由題意可知：儼+b=105,

IUk+b=95

解得：，kT,

lb=150

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：＞?=-5x+150；

（2）（-5x+15O）（x-8）=425,

解得：xi=13,X2=25（舍去），

...若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為13元；

（3）w=y（x-8）,

=（-5x+150）（x-8）,

卬=-5/+190X-1200,

=-5（%-19）2+605,

?8WxW15,且x為整數(shù)，

當(dāng)x〈19時(shí)，w隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=15時(shí)，w有最大值，最大值為525.

答：每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是525元.

8.（2020?朝陽(yáng)）某公司銷售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日

銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價(jià)、日銷售量的三組對(duì)應(yīng)

數(shù)值如下表：

銷售單價(jià)X（元）406080

日銷售量y（件）806040

（1）直接寫出y與x的關(guān)系式y(tǒng)=-x+120；

（2）求公司銷售該商品獲得的最大日利潤(rùn)；

（3）銷售一段時(shí)間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價(jià)部門規(guī)

定該商品銷售單價(jià)不能超過(guò)〃元，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）保持（1）中

函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該商品的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，求a的值.

【分析】（1）根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可得其關(guān)系式，也可以根

據(jù)關(guān)系直接寫出關(guān)系式；

（2）根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以件數(shù)，再利用配方法求得其最值；

（3）根據(jù)題意，列出關(guān)系式，再分類討論求最值，比較得到結(jié)果.

【解答】解：(1)設(shè)解析式為)，="+"

將(40,80)和(60,60)代入，可得［婭+6=80,解得：任=-1,

I60k+b=60lb=120

所以y與x的關(guān)系式為y=-x+120,

故答案為:y--JC+120；

(2)設(shè)公司銷售該商品獲得的日利潤(rùn)為w元，

w=(x-30)y=(x-30)(-x+120)=-?+150x-3600=-(x-75)2+2025,

Vx-30^0,-x+120^0,

.?.30WxW120,

V-l<0,

拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，

,當(dāng)x=75時(shí)，w最大=2025,

答：當(dāng)銷售單價(jià)是75元時(shí)，最大日利潤(rùn)是2025元.

(3)w=(x-30-10)(-JC+120)=-f+160x-4800=-(x-80)2+1600,

當(dāng)w最大=1500時(shí)，-(x-80)2+1600=1500，

解得xi=70,X2—90,

；40WxWa,

有兩種情況，

①〃<80時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，

當(dāng)x=a=10時(shí)，wa大=1500,

②“280時(shí)，在40WxWa范圍內(nèi)卬最大=1600W1500,

這種情況不成立，

：.a=10.

六.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

9.(2022?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=o?+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A(1,

0)和點(diǎn)8,與)，軸交于點(diǎn)C(0,-3),連接8C.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的

平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值.

(3)動(dòng)點(diǎn)P以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段8。上由點(diǎn)B向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,

使得以點(diǎn)P,M,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）將A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a,c的值，進(jìn)而得出解析式，

當(dāng)y=0時(shí)，求出方程的解，進(jìn)而求得3點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由B,C兩點(diǎn)求出BC的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出PQ的長(zhǎng)，進(jìn)

一步得出結(jié)果；

（3）要使以點(diǎn)P,M,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需△PM2是等腰三角形，所以

分為PM=BM,PM=P8和8P=BM,結(jié)合圖象，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【解答】解：（1）由題意得，

（c=-3,

[a+2Xl+c=O

.fc=-3

'1a=l'

.\y=^+2x-3,

當(dāng)y=0時(shí)，?+2x-3=0,

??X1=1,X2=~3，

：.B(-3,0)；

（2）設(shè)直線8c的解析式為：y^kx+b,

.Jb=-3

I_3k+b=0

.fk=-l

1b=-3'

?'?y—~x-3,

設(shè)點(diǎn)尸（相，-加+3）,Q{tn,m2+2m-3）,

:.PQ=（-加-3）-（川+2機(jī)-3）=-川-3機(jī)=-（m+—）2+—,

24

,當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，尸。最大=9；

24

(3)如圖1,

:.08=。。=3,

：.ZOCB=ZOBC=45°,

作PDLy軸于。，

:.CD=PD=PC.sin/OCB=Mtx^^=t,

當(dāng)8W=PM時(shí)，

：.ZMPB^ZOBC=45°,

VZPMO=ZPDO=ZMOD=90°,

...四邊形。MPO時(shí)矩形，

：.OM=PD^t,

由BM+OM=OB得，

；.2f=3,

?,-3

2

：.p（-X-3）,

22

：.N（-3,-S）,

2

如圖2,

當(dāng)尸歷=P8時(shí)，作尸。_1)，軸于。，作軸于E,

：?BM=2BE,

可得四邊形尸QOE是矩形，

OE=PD=t,

：.BE=3-/,

：.t=2(37),

?\/=2,

：.P(-2,-1),

：.N(-2,1),

3五-&t=f，

:.t=6-3近,

：.P(372-6，3-3揚(yáng)，

：.N(0,3-3V2).

綜上所述：N(-3,-3)或(-2,1)或(0,3-3加).

2

10.(2021?朝陽(yáng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+〃x+c與x軸分別交于點(diǎn)A

(-1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對(duì)稱軸；

(2)如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，若/8PC=90°,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)為等

邊三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)如圖1中，連接B。，設(shè)BD的中點(diǎn)T,連接PT,設(shè)尸(1,〃?).求出P7的長(zhǎng)，構(gòu)

建方程求出“即可.

(3)分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，△BMN是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)8作8TLBN交

MW的延長(zhǎng)線于7,設(shè)N(l,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于E.如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)例

在第四象限時(shí)，設(shè)N(l,n),過(guò)點(diǎn)B作BTLBN交的延長(zhǎng)線于7.分別利用相似三

角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解.

【解答】解：(1)把4(-1,0),點(diǎn)C(0,3)的坐標(biāo)代入y=-7+6x+c,得到卜,

I-l~b+c=0

解得仆=2,

Ic=3

拋物線的解析式為y=-/+2r+3,對(duì)稱軸x=-

(2)如圖1中，連接BD,設(shè)80的中點(diǎn)T,連接PT,設(shè)P(l,tn}.

圖1

?二點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，C(0,3),

:.D(2,3),

\'B(3,0),

BD=J⑶2產(chǎn)+32=715,

:NBPD=90°,DT=TB,

：.PT=^BD=^^；

22_

A(1-1)，(5-3)2=(叵)2,

222

解得m=l或2,

：.P(1,1)或(1,2).

(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí),△BMN是等邊三角形,過(guò)點(diǎn)8作8T_LBN交M0的延長(zhǎng)線

于7,設(shè)N(l,f),設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于E.

圖3-1

是等邊三角形，

：.NNMB=NNBM=60°,

?：NNBT=9Q°,

AZMBT=30°,BT=MBN,

:NNMB=NMBT+NBTM=60°,

AZMBT=ZBTM=30°,

:.MB=MT=MN,

■:/NBE+/TBJ=90°,NTBJ+NBTJ=90°,

NNBE=NBTJ,

；NBEN=NTJB=90°,

：.ABENs叢TJB,

.?.11=刃=些=代，

EBENBN

:TJ=2yf3,

：.T(3+43t,2禽)，

,:NM=MT,

：.M(野電,2M+t),

22

?.?點(diǎn)M在y=-?+2x+3上，

A2V3+t_4W3t)4+V3t

=(2+2X+3)

222

整理得，3?+(473+2)f-12+4百=0,

解得/=-2Vs(舍棄)或2-2.,

_v3

：.M(如③4愿-1).

33

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)例在第四象限時(shí)，設(shè)N(1,〃)，過(guò)點(diǎn)8作8T_L8N交NM的延長(zhǎng)線

圖3-2__

同法可得7(3-代〃，-273).M(4-近n,n-2M),

_22

則有n-M=_(4-V3n)2+2X4~V3n+3,

222

整理得，3"，(2-4^/3)n~12-4A/3-0,

解得”=必③z2或2禽（舍棄），

3_

...M（史返,-4V3-1）,

33

解法二：連接MA,證明/M4B=30°,求出直線AM的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)M

的坐標(biāo)即可.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為殳返或史返.

33

11.（2020?朝陽(yáng)）如圖，拋物線y=-工欠2+法+C與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,

2

備用圖

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使NABP=NBC。，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線BP上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

求點(diǎn)M到直線8尸的最大距離；

（4）點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)〃是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都不與點(diǎn)A,B,C重合，連接G”，GQ,HQ,得到△G”Q,直接寫出△GHQ

周長(zhǎng)的最小值.

【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱軸為x=-1,求出6的值，再把b的值和C的坐標(biāo)代入

y=-工/+法+「計(jì)算即可；

2

（2）作PELx軸于點(diǎn)E,利用相似三角形的判定方法可證得△PEBS/\BOC,設(shè)

p（m,-ym2-m+4）,則PE=|卷ir^-m+UBE—2-m,再分別討論P(yáng)的位置列式求

解即可;

（3）作MFLx軸于點(diǎn)F,交BP于點(diǎn)R,作MNIBP于點(diǎn)N,用待定系數(shù)法求出直線

BP的解析式，利用解析式表示出MR的長(zhǎng)度，再通過(guò)求證△MNRSABFR聯(lián)合Rt/\MNR

建立比值關(guān)系列式計(jì)算即可：

（4）作。點(diǎn)關(guān)于4c的對(duì)稱點(diǎn)。1,作。關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)。2,連接。1。2與4c于Gi,

與CB交于點(diǎn)4|,連接QQi交AC于J,連接QQ交CB于K,此時(shí)△QGIHI的周長(zhǎng)最

小，這個(gè)最小值=。1。2,再證明Q\Q1=2JK,JK最小時(shí)，△QG"周長(zhǎng)最小，利用圖2

證明當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)0重合時(shí)JK最小，在圖3中利用相似三角形的性質(zhì)求出JK的最小值即

可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）?.?拋物線對(duì)稱軸為尤=-1,

?b_

-1,

2X（苫）

：.b=-1,

將（0,4）代入y=--v_x+c中，

2

Ac=4,

2

Ay=--Y-x+4.

2x

?：NABP=/BCO,NPEB=NBOC=90°,

?,.△PEBs/XBOC,

...F&M?二(此處也可以由等角的正切值相等得到)，

BE0C2

設(shè)P(m,-^-m2-m+4)，則PE=\~一相+4|，BE=2-m,

12”

-77in-m+4-

①當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)：」--------=1

2-m2

解得〃21=-3,m2=2（不符題意，舍），

12-4

■77m+m-4-

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)：A_------=±,

2-nt2

解得加1=-5,歷2=2（不符題意，舍），

,,,P（~3,y）^P（-5,-y）-

（3）作MF1.X軸于點(diǎn)F,交BP于點(diǎn)R,作MNLBP于點(diǎn)、N.

?「y=-上(工+4)(x-2),

AA(-4,0),B(2,0),

設(shè)yBP=kx+b\,

將P(-3,力(2,0)代入得解得仁斌,

:.yBP=--kx+1,

2

設(shè)M(a,~^a2-a+4)J則R(a,

MR=(蔣a2-a+4)-(蔣a+1)=-^-a2-^+3,

■:/MNR=/RFB=9C,/NRM=/FRB,

:?△MNRsWFR,

???—NR=—RF,

MNFB

5加「技嗡嚙，

在RtAMNR中NR：MN：MR=\：2：娓,

?MN2樂(lè)

??-二―=-----,

MRV55

:恤=-告2平&釁=書（a蔣）2等,

當(dāng)q=-工時(shí)，MN最大為回應(yīng).

24

（4）作。點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Qi,作。關(guān)于C8的對(duì)稱點(diǎn)。2,連接。1。2與4c于Gi,

與CB交于點(diǎn)41,連接QQi交AC于1/,連接。Q交CB于K,此時(shí)△QGWi的周長(zhǎng)最

"：QJ=JQ\,QK=KQi,

：.Q\Q1=2JK,

圖3-2

；NCJQ=NCKQ=90°,

...C、J、Q、K四點(diǎn)共圓，線段CQ就是圓的直徑，JK是弦,

是定值，

直徑CQ最小時(shí)，弦JK最小，

,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，CQ最小，此時(shí)JK最小，如圖3中:

?.,在RtZiCOA中，NCOA=90。，C0=4,A0=4,

■?AC=VAO2X：O2=^42+42=W2'

VRtACOB,NCOB=90。，=^42+22=275'

VOJVAC,OK1CB,

??*B?OK=