江蘇省13市2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)真題按題型難易度分層分類匯編：10解答題提升題與解答題壓軸題

10解答題提升題&解答題壓軸題

(真題來(lái)源于蘇州卷，南京卷，南通卷，鎮(zhèn)江卷，無(wú)錫卷，常州卷，鹽城卷，淮安卷，徐

州卷，宿遷卷，揚(yáng)州卷，泰州卷，連云港卷)

四、解答題提升題

36.(2021-鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)4和點(diǎn)￡(2,1)是反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的兩點(diǎn),

X

點(diǎn)8在反比例函數(shù)"=旦(x<0)的圖象上，分別過(guò)點(diǎn)48作y軸的垂線，垂足分別為

x

點(diǎn)C,D,AC=BD,連接A9交y軸于點(diǎn)F.

(1)k=：

(2)設(shè)點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為m,求證：am=-2：

(3)連接DE,當(dāng)N畫=90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)力的坐標(biāo)：.

37.(2021?淮安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)"=工/+6>(+，的圖象與x軸交于

4

點(diǎn)為(-3,0)和點(diǎn)8(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)。，動(dòng)點(diǎn)以。在x軸上(點(diǎn)的在點(diǎn)0的左側(cè))，

在x軸下方作矩形制％,其中例7=3,MN=2.矩形椒。。沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)”的坐標(biāo)為(-6,0),當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8重合時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。秒(方>0).

(1)b=,c=.

(2)連接劭，求直線做的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在矩形椒。。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，帆所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G,。。所在直

線與直線勿交于點(diǎn)”，是否存在某一時(shí)刻，使得以G、欣H、。為頂點(diǎn)的四邊形是面積小

于10的平行四邊形？若存在，求出大的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)連接陽(yáng)，過(guò)點(diǎn)戶作必的垂線交y軸于點(diǎn)/?,直接寫出在矩形椒也整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

點(diǎn)??運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

38.（2021*南通）如圖，正方形4成》中，點(diǎn)￡在邊/。上（不與端點(diǎn)4。重合），點(diǎn)4關(guān)

于直線跖的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接CF,設(shè)NABE=a.

（1）求N仇產(chǎn)的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CGJ?直線〃；垂足為G,連接。G.判斷〃G與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理

由：

（3）將踮繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△C8”,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)//,連接8尸，HF.當(dāng)

△8/方為等腰三角形時(shí)，求sina的值.

39.（2021-徐州）如圖1,正方形力成?〃的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)戶在邊4。上（夕不與人、。重合），

連接形、PC,將線段外繞點(diǎn)戶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到夕￡將線段QC繞點(diǎn)夕逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到PF,連接EF、EA、FD.

（1）求證：

①△郎?的面積S=LPB;

2

②EA=FD;

（2）如圖2,EA、刃的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)附，取中的中點(diǎn)乂連接的V,求解/的取值范圍.

圖1圖2

40.（2021?無(wú)錫）在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-/3與x軸交于點(diǎn)8,

與V軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=a/+2A+c的圖象過(guò)8、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)4,

點(diǎn)附為線段如上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)"作直線/平行于y軸交BC于點(diǎn)F,交二次函數(shù)y=

ax+2j&c的圖象于點(diǎn)￡

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)以C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△48C相似時(shí)，求線段&?的長(zhǎng)度；

(3)已知點(diǎn)〃是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)M門關(guān)于直線EC對(duì)稱，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

41.(2021-鹽城)學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)戶繞著某定點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定的角度a,能得到一個(gè)新的點(diǎn)夕’，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)夕在某函數(shù)

圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)9也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)4的坐標(biāo)、角度a的大小來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.

【初步感知】

如圖1,設(shè)力(1,1),a=90°,點(diǎn)夕是一次函數(shù)片=公+6圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次

函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)月(-1,1).

(1)點(diǎn)月旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)/V的坐標(biāo)為;

(2)若點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1),求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

【深入感悟】

如圖2,設(shè)4(0,0),a=45°，點(diǎn)夕是反比例函數(shù)y=-』(x<0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

x

過(guò)點(diǎn)〃作二、四象限角平分線的垂線，垂足為"，求△晰"的面積.

【靈活運(yùn)用】

如圖3,設(shè)4(1,-V3),。=60°,點(diǎn)夕是二次函數(shù)7=工/+2?/7圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

2

已知點(diǎn)8(2,0)、C(3,0),試探究△8C。'的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；

(2)當(dāng)c>-1時(shí)，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是

(3)設(shè)(/，0)是該函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)-1<w<3時(shí)，結(jié)合函數(shù)的圖

象，直接寫出a的取值范圍.

43.(2021-宿遷)已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形45%繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一周.

(1)如圖①，連接8G、CF,求CL的值；

BG

(2)當(dāng)正方形〃旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接序、BE,分別取CABE的中點(diǎn)、M、N,連

接械試探究：MN與BE的關(guān)系,并說(shuō)明理由；

(3)連接BE、BF,分別取BE、BF的中點(diǎn)、N、0,連接QN,AE=6,請(qǐng)直接寫出線段ON

掃過(guò)的面積.

44.(2021*蘇州)如圖，二次函數(shù)-(?1)(勿是實(shí)數(shù)，且的圖象

與x軸交于A8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)〃位于第

一象限，且在對(duì)稱軸上，勿，劭，點(diǎn)￡?在“軸的正半軸上，00=EC,連接劭并延長(zhǎng)交y

軸于點(diǎn)尸，連接”：

(1)求/、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含。的式子表示)；

(2)已知點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△/月2的周長(zhǎng)的最小值等于絲時(shí)，求仍的值.

5

45.(2021-蘇州)如圖，在矩形483中，線段次G"分別平行于4?、AB,它們相交于點(diǎn)

。，點(diǎn)H、H分別在線段內(nèi)尸、PH上,PP、=PG,PP尸PE,連接夕以PF,月，與H門相交于

點(diǎn)。.已知力G：GgAE:EB=\:2,設(shè)4"a,AE=b.

(1)四邊形EBHP的面積四邊形GPFD的面枳(填”或“v”)

(2)求證：△月卬

Si

(3)設(shè)四邊形陰仍的面積為S,四邊形&'O//的面積為S,求，的值.

S2

46.(2021?揚(yáng)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)ynx'+Ax+c的圖象與x軸交于點(diǎn)

>4(-1,0)、B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)b=,c=;

(2)若點(diǎn)。在該二次函數(shù)的圖象上，漢SA癡=2S&KBC,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)"是該二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一點(diǎn)，且S&M產(chǎn)S&.，直接寫出點(diǎn)戶的

47.(2021*揚(yáng)州)在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單J

已知線段8C=2,使用作圖工具作N^k?=30°,嘗試操作后思考：

(1)這樣的點(diǎn)4唯一嗎？

(2)點(diǎn)4的位置有什么特征？你有什么感悟？

藍(lán)追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào):點(diǎn)4的位置不唯一，它在以宛為弦的

圓弧上(點(diǎn)員C除外)，….小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1).

(1)小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為；

②△/成7面積的最大值為；

(2)經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示

的弓形內(nèi)部，我們記為〃，請(qǐng)你利用圖1證明N分'030°.

(3)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)臉，解決問(wèn)題：如圖2,已知矩形的邊長(zhǎng)

AB=2,%=3,點(diǎn)。在直線切的左側(cè)，且tanN

①線段陽(yáng)長(zhǎng)的最小值為:

②若S&PC產(chǎn)紋P孫則線段外長(zhǎng)為

B------------

圖

1備用圖

48.(2021.連云港)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，￡■是邊4?上的一點(diǎn)，且〃'=1,小亮以宏為邊作

等邊三角形田；如圖1.求盧的長(zhǎng)；

(2)宓是邊長(zhǎng)為3的等邊三能形，￡■是邊4?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以比?為邊作等邊

三角形陽(yáng)；如圖2.在點(diǎn)￡從點(diǎn)C到點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(3)宓是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，附是高緲上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以8M為邊作等邊

三角形BMN,如圖3.在點(diǎn)版從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)/V所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

DB

(4)正方形/瓦沙的邊長(zhǎng)為3,￡是邊州上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)￡從點(diǎn)C到點(diǎn)5的運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中，小亮以8為頂點(diǎn)作正方形8尸其中點(diǎn)F、G都在直線/￡上，如圖4.當(dāng)點(diǎn)￡到

達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)尸、G、，與點(diǎn)8重合.則點(diǎn)，所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路

徑長(zhǎng)為.

五、解答題壓軸題

49.(2021?鎮(zhèn)江)將一張三角形紙片46c放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(-6,

0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)C(-4,8),二次函數(shù)y=a，+bA+c(a*=0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,

該拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)"在邊4C上（異于點(diǎn)4,C）,將三角形紙片4宓折疊，使得點(diǎn)力落在直線48上，

且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N,折痕所在直線/交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P,

然后將紙片展開(kāi).

①請(qǐng)作出圖中點(diǎn)版的對(duì)應(yīng)點(diǎn)〃和折痕所在直線/;（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作

圖痕跡）

②連接掰°,NP,在下列選項(xiàng)中：A.折痕與43垂直，B.折痕與椒的交點(diǎn)可以落在拋物

線的對(duì)稱軸上，C.M=2,小N_&,所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是

MP2MP

③點(diǎn)。在二次函數(shù)y=a『+"+c（a片0）的圖象上，告XPDaXPMN賄,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

50.（2021.鎮(zhèn)江）如圖1,NA=NB=NC=ND=NE=NF=90°,AB,FE,。。為鉛直方

向的邊，AF,ED,8c為水平方向的邊，點(diǎn)￡■在/18,切之間，且在8c之間，我們稱

這樣的圖形為“Z■圖形”，記作“Z.圖形48。龍產(chǎn).若直線將Z圖形分成面積相等的兩個(gè)圖

形，則稱這樣的直線為該/?圖形的面積平分線.

【活動(dòng)】

小華同學(xué)給出了圖1的面積平分線的一個(gè)作圖方案:如圖2,將這個(gè)Z.圖形分成矩形4G￡T、

矩形GBCD,這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心口，2所在直線是該Z.圖形的面積平分線.

請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線.（作出一種即可，不寫作法，保留作

圖痕跡）

【思考】

如圖3,直線aa是小華作的面積平分線，它與邊力,4月分別交于點(diǎn)KN,過(guò)椒的中

點(diǎn)。的直線分別交邊BC,4尸于點(diǎn)P,0,直線PQ.（填“是”或“不是"）L圖彩

/48CZ?爐的面積平分線.

圖3圖4

【應(yīng)用】

在/■圖形ABCDEF形中，已知48=4,BC=6.

（1）如圖4,CD=AF=\.

①該/■圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點(diǎn)只0,求戶。長(zhǎng)的最大值；

②該Z圖形的面積平分線與邊48,緲?lè)謩e相交于點(diǎn)G,H,當(dāng)G”的長(zhǎng)取最小值時(shí)，BG的

長(zhǎng)為.

（2）設(shè)型=七（￡>0）,在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有

AF

與邊AB,3相交的面積平分線，直接寫出力的取值范圍.

51.（2021.淮安）【知識(shí)再現(xiàn)】

學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形

全等（簡(jiǎn)稱‘儀’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

如圖（1）,在△力8c中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)久￡分別在邊47、48上.若CE=BD,

則線段/￡和線段4〃的數(shù)量關(guān)系是.

【拓展延伸】

在△48C中，ZBAC^a（90°<a<180°）,48=4C=m,點(diǎn)、。在邊4c上.

（1）若點(diǎn)￡在邊形上，且CE=BD,如圖（2）所示，則線段〃■與線段4?相等嗎？如果

相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）若點(diǎn)￡在班的延長(zhǎng)線上，員CE=BD.試探究線段然與線段4。的數(shù)量關(guān)系（用含

有a、刀的式子表示），并說(shuō)明理由.

52.（2021*泰州）如圖，在。。中，48為直徑，P為AB上一點(diǎn)、,月4=1,陽(yáng)=〃（〃為常數(shù)，

且加>0）.過(guò)點(diǎn)P的弦CDLAB,。為前上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8不重合），AHLOD,垂足為H.連

接力久BQ.

（1）若777=3.

①求證：NO4g60°；

②求至的值；

DH

(2)用含用的代數(shù)式表示跑，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；

DH

(3)存在一個(gè)大小確定的。0,對(duì)于點(diǎn)。的任意位置，都有-2〃”+書的值是一個(gè)定

值，求此時(shí)N。的度數(shù).

備用圖

53.(2021?常州)【閱讀】

通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對(duì)線段長(zhǎng)度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不

等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.

【理解】

(1)如圖1,ACLBC,CDS.AB,垂足分別為C、D,f是的中點(diǎn)，連接CE.已知4?=a,

BD=b(0<a<Z>).

①分別求線段宏、CD的長(zhǎng)(用含a、。的代數(shù)式表示)；

②比較大?。篊ECD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a、。的代數(shù)式表示該大

小關(guān)系.

【應(yīng)用】

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系x勿中，點(diǎn)〃、/V在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上，

x

橫坐標(biāo)分別為〃、n.設(shè)°=工+工，記/=』pg.

mn4

①當(dāng)"=1,〃=2時(shí)，/=；當(dāng)m=3,"=3時(shí)，/=;

②通過(guò)歸納猜想，可得/的最小值是.請(qǐng)可用qz構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說(shuō)明你

的猜想成立.

54.(2021*常州)在平面直角坐標(biāo)系x%中，對(duì)于4、A'兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T,使

得NX。'=90°,且TA=TA',則稱4A'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)

點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn).已知點(diǎn)〃(-2,0)、/V(-1,0),點(diǎn)。(0，n)在一次函數(shù)y=-2/1的

圖象上.

(1)①如圖，在點(diǎn)8(2,0)、C(0,-1)、。(-2,-2)中，點(diǎn)"的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是(填

“8”、“C”或“〃”)；

②若在線段椒上存在點(diǎn)夕(1,1)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)U,則點(diǎn)〃的坐標(biāo)是;

(2)若在線段脈上存在點(diǎn)。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。’，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)分別以點(diǎn)￡(4,2)、。為圓心，1為半徑作Q0.若對(duì)G)￡上的任意一點(diǎn)G,在

。。上總存在點(diǎn)G',使得G、G'兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

55.(2021.常州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0中，正比例函數(shù)(〃看0)和二次函

數(shù)y=-Xx+bx+3的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,3)和點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作"的垂線交x軸于點(diǎn)C.D

4

是線段/I3上一點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)4、0、8不重合)，f是射線/C上一點(diǎn)，且AE=OD,連接DE,

過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F,以DE、。尸為鄰邊作口DEGF.

(1)填空：k=,b=：

(2)設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是［(。0),連接厭若ZFGE=ZDFE,求土的值；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作48的垂線交線段現(xiàn)于點(diǎn)"若S△際OEUF,求勿的長(zhǎng).

56.(2021*無(wú)錫)已知四邊形力比1〃是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)￡是射線8c上的動(dòng)點(diǎn)，以/￡

為直角邊在直線861的上方作等腰直角三角形/1優(yōu)/AEF=9C,謖BE=m.

備用圖

(1)如圖，若點(diǎn)￡在線段3c上運(yùn)動(dòng)，爐交CZ?于點(diǎn)?〃■交3于點(diǎn)0,連接防

①當(dāng)桁工時(shí)，求線段貨■的長(zhǎng)；

3

②在△%￡中，設(shè)邊往上的高為萬(wàn)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示〃，并求〃的最大值；

(2)設(shè)過(guò)仇?的中點(diǎn)且垂直于外的直線被等腰直角三角形4斤截得的線段長(zhǎng)為匕請(qǐng)直

接寫出y與m的關(guān)系式.

57.(2021*南京)在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

(1)如圖①，圓錐的母線長(zhǎng)為12初，8為母線0C的中點(diǎn)，點(diǎn)4在底面圓周上，血的長(zhǎng)

為4rtcm.在圖②所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中畫出螞蟻從點(diǎn)4爬行到點(diǎn)8的最短路徑，并

標(biāo)出它的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).

①②

(2)圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.0是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)4在圓柱

的底面圓周上，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,圓柱的高為/?.

①螞蟻從點(diǎn)4爬行到點(diǎn)。的最短路徑的長(zhǎng)為(用含/,6的代數(shù)式表示).

②設(shè)標(biāo)的長(zhǎng)為a,點(diǎn)8在母線0c上，OB=b.圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖④所示，在圖中畫

出螞蟻從點(diǎn)力爬行到點(diǎn)B的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長(zhǎng)的思路.

58.(2021?宿遷)如圖，拋物線y=-—x+bx+c與x軸交于4(-1,0),B(4,0),與y

2

軸交于點(diǎn)C.連接4C,8C,點(diǎn)夕在拋物線上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)。在第四象限，點(diǎn)。在外的延長(zhǎng)線上，當(dāng)NC44NC8#45°B寸，求

點(diǎn)夕的坐標(biāo)；

(3)如圖②，若點(diǎn)。在第一象限，直線即交宓于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)戶作x軸的垂線交3c于點(diǎn)

H,當(dāng)△所/為等腰三角形時(shí)，求線段/W的長(zhǎng).

59.(2021.蘇州)如圖①，甲、乙都是高為6米的長(zhǎng)方體容器，容器甲的底面4以7D是正方

形，容器乙的底面是矩形.如圖②，已知正方形/1成步與矩形日方〃滿足如下條件：

正方形483外切于一個(gè)半徑為5米的圓0,矩形6仍內(nèi)接于這個(gè)圓0,EF=2EH.

(1)求容器甲、乙的容積分別為多少立方米？

(2)現(xiàn)在我們分別向容器甲、乙同時(shí)持續(xù)注水(注水前兩個(gè)容器是空的)，一開(kāi)始注水

流量均為25立方米/小時(shí)，4小時(shí)后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小時(shí)，同時(shí)保

持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時(shí)后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方

米/小時(shí)，同時(shí)容器乙的注水流量仍舊保持不變，直到兩個(gè)容器的水位高度相同，停止注

水.在整個(gè)注水過(guò)程中，當(dāng)注水時(shí)間為大時(shí)，我們把容器甲的水位高度記為,甲，容器乙

的水位高度記為方乙，設(shè)力乙-/?▼=/?,已知萬(wàn)(米)關(guān)于注水時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)圖象

如圖③所示，其中樞平行于橫軸，根據(jù)圖中所給信息，解決下列問(wèn)題：

①求a的值；

②求圖③中線段成所在直線的解析式.

圖①

圖③

【參考答案】

四、解答題提升題

36.(2021-鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)4和點(diǎn)￡(2,1)是反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的兩點(diǎn),

X

點(diǎn)8在反比例函數(shù)y=2(xVO)的圖象上，分別過(guò)點(diǎn)48作y軸的垂線，垂足分別為

X

點(diǎn)C,D,AC=BD,連接力8交y軸于點(diǎn)￡

(1)k=2；

(2)設(shè)點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為百，點(diǎn)下的縱坐標(biāo)為力，求證：am=-2；

(3)連接出DE,當(dāng)N皈=90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)力的坐標(biāo)：(2-5).

—53―

【解析】解：(1)?.?點(diǎn)￡(2,1)是反比例函數(shù)y=K(x>0)圖象上的點(diǎn),

x

-K=i

"2

解得k=2,

故答案為：2：

(2)在△〃?尸和△孫中，

"ZACF=ZBDF

.ZCFA=ZBFD,

AC=BD

：.AACFQABDFkAAS),

SABDF=St^ACF,

?.?點(diǎn)4坐標(biāo)為(a,2),則可得C(0,2),

aa

/.AC^a,00^—,

a

即laX(2-加)=laX(2+m),

2a2a

整理得am=-2；

(3)設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(a,—

a

則C(0,2),D(0,-A),

aa

?：E(2,1),ZC￡Z7=90°,

：.C^+D^=cd,

即T+(1-2)2+22+(1+A)1(2+反)2,

aaaa

解得a=-2(舍去)或a=旦，

5

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為也,5).

53

37.(2021?淮安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)肝c的圖象與x軸交于

4

點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)8(5,0),頂點(diǎn)為點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)以。在*軸上(點(diǎn)M在點(diǎn)。的左側(cè))，

在x軸下方作矩形椒也,其中的=3,MN=2.矩形腑％沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)"的坐標(biāo)為(-6,0),當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)8重合時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/■秒(￡>0).

(1)b=」,c=.

—2——4—

(2)連接劭，求直線劭的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在矩形制。。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，肥所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)G,夕。所在直

線與直線勿交于點(diǎn)”，是否存在某一時(shí)刻，使得以G、M、H、。為頂點(diǎn)的四邊形是面積小

于10的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)連接外，過(guò)點(diǎn)戶作切的垂線交y軸于點(diǎn)/?,直接寫出在矩形脈也整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

點(diǎn)/?運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

4

91

-r-3b+c=0b=F

42

得25訃/解得15,

-^-+5b+c=0c=-

44

故答案為：」，監(jiān).

24

2

(2)y=—x(X-1)-4,

4244

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(1,-4);

設(shè)直線8。的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n,

則(5mtn=0,解得(m=l,

lm+n=-4ln=-5

y=x-5.

(3)存在，如圖1、圖2.

由題意得，M(t-6,0),0(t-3,0),

：.G(t-6,U_Lt+罵，H(t-3,t-8);

424

'：QM*且QH豐0,點(diǎn)"、8重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),

'3(t-8)<10

3(8-t)<10

,解得星且十才8；

11-8|卉。3

t-6<5

"：MG//HQ,

:.當(dāng)MG=HQ曬,以G、M、H、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

A|At2JLt+^l|=|t-8|;

424

由上>型=t-8得，18什65=0,

424

解得，t、=5,t2=13（不符合題意，舍去）；

由一Lz+W2=-Z+8得，t2-10Z+1=0,

424

解得，a=5+2遍，方2=5-2遙（不符合題意，舍去），

綜上所述，t=5或t=5+2^6.

（4）由（2）得，拋物線"=」乂2一Lx」國(guó)的對(duì)稱軸為直線x=1,

424

過(guò)點(diǎn)"作直線x=1的垂線，垂足為點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)G,

如圖3,點(diǎn)。在y軸左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)/?在點(diǎn)G的上方，

當(dāng)點(diǎn)"的坐標(biāo)為（-6,0）時(shí)，點(diǎn)/?的位置最高，

此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，

■:ZPGR=NDFP=qy,NRPgq0°-ZFPD=ZPDF,

：.^PRG^/\DPF,

?RGPG

"PF=DF，

.?加里坦至心，

DF2

：.R（0,4）；

如圖4,為原圖象的局部人大圖，

當(dāng)點(diǎn)。在y軸右側(cè)且在直線x=1左側(cè)，此時(shí)點(diǎn)/?的最低位置在點(diǎn)G下方,

由△2？Gs△晰，

得，空

PFDF

.3妙之；

DF

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為O,0）（0</-<1）,則夕（廣，-2）,

/.GR—T''''-"R'=^r+—r=（r-A）2+A,

222228

，當(dāng)廠=工時(shí)，GR的最大值為工，

28

：.R（0,上）；

8

如圖5,為原圖象的縮小圖，

當(dāng)點(diǎn)。在直線x=1右側(cè)，則點(diǎn)/?在點(diǎn)G的上方,

當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)??的位置最高，

過(guò)APRGs叢DPF,

得,電皿，

PFDF

3妙竺=山=28,

DF2

：.R(0,26),

.?.4+2+26+衛(wèi)=&,

884

...點(diǎn)/?運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為-131.

4

圖3

38.（2021-南通）如圖，正方形力成》中，點(diǎn)￡在邊力。上（不與端點(diǎn)4。重合），點(diǎn)4關(guān)

于直線維的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接。尸，設(shè)N48￡=a.

(1)求N)尸的大小(用含a的式子表示)；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CGJ?直線〃；垂足為G,連接。G.判斷。G與。尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

(3)將△/1的繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CH/,點(diǎn)￡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)“，連接/HF.當(dāng)

△8/7/為等腰三角形時(shí)，求sina的值.

【解析】解：(1)如圖1,連接8尸，

圖1

點(diǎn)/)關(guān)于直線維的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)尸，

：.AB=BF,BE1.AF,

ZABE=NEBF=a,

???N漸=90°-2a,

???四邊形4BCO是正方形,

：.AB=BC,

:.BF=BC,

...N9=180°T90-2Q)=45。+a；

2

(2)DG//CF,

理由如下：如圖2,連接4C,

圖2

?.?四邊形ABCD是正方形,

.?.N4必=45°,/ADC=q0°,

■:CG1AF,

:.NCGA=NADC=9Q°,

.?.點(diǎn)4點(diǎn)。，點(diǎn)G,點(diǎn)C四點(diǎn)共圓,

:./AGD=NACD=45°,

'：AB=BF,Z.ABF=2a,

：.N〃F=180°-2'CI=90。_a,

2

N〃Z?=135°,

：.ZCFG=45°=NDGA,

：.DG//CF\

(3)YBE>AB,

:?BH>BF,

:.BH*BF;

如圖3,當(dāng)BH=FHK,過(guò)點(diǎn)、H作HNLBF于N,

??,將△力斯繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△///,

:.RABEQRCBH,ZEBH=90°=々ABC,

:.AE=CH,BE=BH,NABE=/CBH=a=/FBE,AB=BC,

：?NHBF=9G-a,

*：BH=FH,HN1BF,

:?BN=NF=LBF=LAB,ZBNH=9G°=/BAE,

22

???/BHN=a,

JNABE=NBHN,

:.△ABEQXNHB（彳弘），

:.BN=AE=LAB,

2

^￡=7AE2+AB2=強(qiáng)低

sina5,

BE5

當(dāng)BF=FH晌,

：?4FBH=/FHS-a,

:./BFH=2Q=4ABF,

：.AB//FH,

即點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，

；點(diǎn)￡在邊4?上（不與端點(diǎn)4。重合），

二8尸=/7/不成立，

綜上所述：sina的值為

5

39.（2021*徐州）如圖1,正方形48切的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)夕在邊4〃上（夕不與人。重合），

連接PB、PC.將線段外繞點(diǎn)戶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,將線段PC繞點(diǎn)戶逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到PF,連接EF、EA、FD.

(1)求證：

①△外尸的面積S=LPB?,

2

②EA=FD;

(2)如圖2,EA、仞的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”，取的中點(diǎn)乂連接楸求掰V的取值范圍.

圖1圖2

【解析】(1)證明：如圖1,作曲40,交47的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作EHLAD,交"的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

①由旋轉(zhuǎn)得，PF=CP,^CPF=9Q°,

?.?四邊形是正方形，

:./PDC=9Q",

V^FPG^^DPC=9Q°,ZPCMZDPC=90°,

二』FPG=/PCD,

,：NG=NPDC=90°,

：./\FPG^/\PCD(-4-45),

：.FG=PD,

：.4PDF晌面枳S=、P>FG=LPB.

22

②由①得，XFPG^XPCD,

：.PD=FG,PG=CD=4,

同理，△EPgXPBA,

:.EH=AP,P4BA=4,

?：AH=4-AP=PD,

:.A4FG；

,:AP=4-PD=DG,

:.EH=DG?,

'：Z//=Z(9=90°,

:.△EAgADFG(%S),

：.EA=FD.

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，作FLLEH于點(diǎn)、L,魁NFLE=NFLH=90°,

四邊形HLFG是矩明

:.LH=FG=AH,FL=G44+4=8；

"：EH=PA,AH^PD,

:.E*A4P砧PXAD=4；

謖PD=m,EL=n,(m>0,"20),0']LH=AH=m,

/.0=4-2m；

?：EFl^El}+Fl}=n+^=n+M,

?■?^=Vn2+64-

...6■隨〃的增大而增大；

由〃=4-2m可知，=隨m的增大而減小，

當(dāng)加=2時(shí)，〃最小=0,此時(shí)，曰7最小=J^=8;

22=4

若w=0,則〃氤*=4,此時(shí)，EFRk=^4+8Vs,

:點(diǎn)P不與點(diǎn)A。重合，

/.rri>0,

.'.n<4,EF<4娓,_

...您的取值范圍是8W￡7Y4j^,

.\4<A￡F<2V5:

2

ZADM=ZGDF=/HEA,NDAM=ZHAE,

：.NAD除NDAM=NHE9NHAE=q0°,

Azar=90°;

,:N是EF的中點(diǎn)、,

:.MN=LEF,

2_

.,.椒的取值范圍是2V5.

圖1

40.（2021.無(wú)錫）在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-/3與x軸交于點(diǎn)8,

與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=aF+2A+c的圖象過(guò)8、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)4,

點(diǎn)”為線段如上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線/平行于V軸交BC于點(diǎn)、F,交二次函數(shù)y=

a/+2A+C的圖象于點(diǎn)￡

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)以C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△力成?相似時(shí)，求線段爐的長(zhǎng)度；

(3)已知點(diǎn)/V是y軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)M尸關(guān)于直線對(duì)稱，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【解析】解：(1)在/=-/3中，令x=0得y=3,令y=0得x=3,

：.B(3,0),C(0,3),

把8(3,0),C(0,3)代入y=aF+2/c得：

[0=9a+6+c,解得卜=-1,

I3=cIc=3

二?二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+2x+3；

(2)如圖：

在y=-x+2/3中，令y=0得x=3或x=-1,

：.A(-1,0),

,:B(3,0),C(0,3),_

：.OB=OC,AB=i,,BC=3y[2,

：.ZABC^ZMFB^ZC/T=450,

...以C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與△49C相似，8和尸為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

設(shè)E(ot,-m+2/77^3),則F(,m,-/3),

EF—(-滔+2?3)—(-仆3)=-m+3m,C尸=、.2+.2

①△旌時(shí)，AB=BC,

CFEF

?4=3近，

V2m-m2+3m

解得“7=0■或OT=O（舍去），

2

:.EF=>,

4

②赳ABCsXEFC畸,姻_=坦,

EFCF

?4,

-m2+3mV2m

解得m=0（舍去）或加=9,

3

：.EF=^_,

9

綜上所述，牙?=?或型.

49

:點(diǎn)從尸關(guān)于直線EC對(duì)稱，

：.4NCE=/FCE,CF=CN,

?:EF"y期,

：./NCE=4CEF,

：./FCE=4CEF,

：.CF=EF=CN,

由(2)知:

設(shè)E(m,-m+2?3),則F(m,-/3),EF—(-M+2府3)-(-*3)=-m+3m,CF

=Vm2+m2=^2OT'

-M+3m=解得m=0(舍去)或0=3-J5,

二CN=CF=Mm=3近-2,

：.N(0,3V2+1).

41.(2021-鹽城)學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)戶繞著某定點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一

定的角度a,能得到一個(gè)新的點(diǎn)夕’，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)夕在某函數(shù)

圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)"也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形.

試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)4的坐標(biāo)、角度a的大小來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.

【初步感知】

如圖1,設(shè)/(1,1),a=90°,點(diǎn)夕是一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次

函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)月(-1,1).

(1)點(diǎn)月旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)月’的坐標(biāo)為(1,3)；

(2)若點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)8'(2,1),求原一次函數(shù)的表達(dá)式.

【深入感悟】

如圖2,設(shè)4(0,0),a=45°,點(diǎn)。是反比例函數(shù)y=-2(x<0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

x

過(guò)點(diǎn)，作二、四象限角平分線的垂線，垂足為"，求△麗的面積.

【靈活運(yùn)用】

如圖3,設(shè)4(1,-?),a=60°,點(diǎn)戶是二次函數(shù)尸工『+2?行7圖象上的動(dòng)點(diǎn)，

2

已知點(diǎn)8(2,0)、C(3,0),試探究△&W'的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；

若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】解：【初步感知】

(1)如圖1,?:P、(-1,1),A(1,1),

...84〃x軸，84=2,

由旋轉(zhuǎn)可得：P、'4〃y軸，P、'A=2,

:H(1,3);

故答案為：(1,3):

(2)-：P2'(2,1),

由題意得Pi(1,2),

,:P、(-1,1),P2(1,2)在原一次函數(shù)圖象上,

.,.設(shè)原一次函數(shù)解析式為y—kx^-b,

則-k+b=l,

lk+b=2

b4

原一次函數(shù)解析式為

22

【深入感悟】

設(shè)雙曲線與二、四象限角平分線交于人點(diǎn)，則:

y=-x

y=~(x<0)'

x

解得:卜=-l,

1y=l

:.N(-1,1).

①當(dāng)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作P0_Lx軸于0,連接AP,過(guò)點(diǎn)〃作/也L4V于點(diǎn)M,如圖2,

,:NQAM=NPOF=45°,

:.乙PAg4PAN,

'：P'Ml.AM,

:.乙PMA=ZPQA=9Q°,

...在△戶QI和雨中，

<ZPQA=ZP/MA

,NPAQ=NP'AM,

AP=AP'

：./\POA^^P'MA(A4S),

?M=S△物=怯I

22

即s△麗=—.

2

②當(dāng)-1<xVO時(shí)，

過(guò)點(diǎn)夕作PHI.y軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)P'作P優(yōu)L/W于點(diǎn)M,如圖3,

V^POP=N0H=45",

:./PON="OH,

二N破0=90°-NMW-"OH=45°OH,

VAPOH=APOP,OH=45°OH,

:.NPOH=/MP0,

在△00〃和"中，

，ZPHO=ZOMP/

<ZPOH=ZMPy0,

P0=Py0

J.^POH^^OP'"(加S),

S*mo-S4md=-l-K-L—,

22

綜上所述，△W的面積為-1.

2

【靈活運(yùn)用】

XBCP的面積有最小值，

如圖4,連接48,AC,將8,C繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得B：C,作軸于點(diǎn)”,

'：A(1,-V3),B(2,0),C(3,0),

：.O