空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點(diǎn)32空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【命題趨勢(shì)】

空間線面位置關(guān)系的判斷是高考的必考點(diǎn)，是為空間線面位置關(guān)系的證明打基礎(chǔ)，必須熟練

掌握.必須做到：理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公

理和定理.

?公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).

?公理2：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

?公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

?公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

?定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

【重要考向】

一、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

二、空間線面位置關(guān)系的判斷

三、異面直線所成的角

四、空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

1.平面的基本性質(zhì)

名稱圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線上的兩點(diǎn)在一

公理Ael,Be/,且AGa,

Z37個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所

1BGanlua

有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)

A,B,C三點(diǎn)不共線n有

公理r過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，

/77且只有一個(gè)平面a,使A

216k?有且只有一個(gè)平面

c/Ga,BEa,Cea

I

推

?經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一若點(diǎn)Ae直線小則A和

論/4

公a點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面a確定一個(gè)平面a

1/a/

埋

推a^\b=P=有且只有一

2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有

論個(gè)平面a,使aua,

的包一個(gè)平面

2bua

推

推

論

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有?！有且只有一個(gè)平

論

一個(gè)平面面a,使aua,bua

3h

如果兩個(gè)不重合的平面有一

公理Pea,且Pe0naC\/3=l,

個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有

3Pel,且/是唯一的

一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

——/1

公理平行于同一條直線的兩條直

h/i〃/,l2//l^[}//l2

4線互相平行

——1

2.等角定理

（1）自然語(yǔ)言：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相

等或互補(bǔ).

（2）符號(hào)語(yǔ)言：如圖（1）、（2）所示，在NAOB與N4。，夕中，

OA//O'A',OB//O'B',則ZAOB=ZA（7B'或ZAOB+ANOB=180°.

圖（1）圖(2)

【巧學(xué)妙記】

2

;（1）證明點(diǎn)共線問(wèn)題，就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是公理；

3.常用方法有：/

/7/

/①首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知這些點(diǎn)都‘

/?

,在這兩個(gè)平面的交線上；/

/?

/②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上.;

//

；（2）證明三線共點(diǎn)問(wèn)題，一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第/

//

，三條直線也過(guò)該點(diǎn).常結(jié)合公理3,證明該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的，

/?

:交線（第三條直線）上，從而證明三線共點(diǎn).；

//

//

證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題，主要有兩種方法：/

/（3）/

/①首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè),

//

，平面內(nèi)；

//

:②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.5

【典例】

1.（2021?齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

B.經(jīng)過(guò)兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面

C.經(jīng)過(guò)兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面

D.經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

【答案】ABC

【分析】

由平面的基本性質(zhì)和推論，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論，可得：

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以A正確；

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，可以確定一個(gè)平面，所以B正確；

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，可以確定一個(gè)平面，所以C正確；

3

根據(jù)“過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面"所以D錯(cuò)誤.

故答案為：ABC.

2.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）不重合的三條直線，若相交于一點(diǎn)，最多能確定個(gè)平

面.

【答案】3

【分析】

可將三條宜線視為三棱錐A-的三條側(cè)棱，即可得出結(jié)論.

【詳解】

可將三條直線視為二棱錐A-BCZ）的三條側(cè)棱AB、AC，AD，則這三條直線最多能確

定3個(gè)平面.

故答案為：3.

3.（2021?江蘇高一月考）有以下命題:

①過(guò)平面外一點(diǎn),有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直;

②過(guò)平面外一點(diǎn),有且只有一條直線與這個(gè)平面平行;

③過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與這條直線垂直:

④過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面與這條直線平行;

⑤使直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行;

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合面面平行的性質(zhì)、線面平行的判定以及線面的垂直的推論，即可得到正確選

項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)題意，易得①⑤正確.

對(duì)于②，因過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條平面與這個(gè)平面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，

過(guò)平面外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，故②錯(cuò)；

4

對(duì)于③，因過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直，所以過(guò)宜線外一點(diǎn)，有且

只有一個(gè)平面與這條直線垂直，故③正確；

對(duì)于④，因過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有條直線與這條直線平行，根據(jù)線面平行的判定可知，

過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，故④錯(cuò).

故選：C.

1.空間兩直線位置關(guān)系的分類(lèi)

空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類(lèi)方式:

(1)從有無(wú)公共點(diǎn)的角度分類(lèi):

兩條直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)：相交直線

直線平行直線

兩條直線無(wú)公共點(diǎn):

異面直線

(2)從是否共面的角度分類(lèi):

相交直線

共面直線＜

直線平行直線

不共面直線：異面直線

【注意】異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

【巧學(xué)妙記】

(1)異面直線的判定方法：

①判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面

直線.

②反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā),

經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定

中經(jīng)常用到.

(2)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并認(rèn)

5

X\

,識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、Z

//

:面面平行、面面垂直.二

//

/（3）對(duì)于異面直線的條數(shù)問(wèn)題，可以根據(jù)異面直線的定義逐一排查.’

//

【典例】

4.（2021?黑龍江佳木斯市?佳木斯一中高三三模（理））已知m,n是兩條不同的直線，a,6

是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若m0a,a06,則直線m與n可能相交或異面

B.若a?6,mBia,n06,則直線m與〃一定平行

C.若ml3a,。團(tuán)6,述6,則直線m與n一定垂直

D.若mEla,n06,a(36,則直線m與n一定平行

【答案】A

【分析】

根據(jù)線線，線面關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.

【詳解】

解：m,n是兩條不同的直線，a,6是兩個(gè)不同的平面,

對(duì)于A,若nEI6,a06,則直線m與。相交垂直或異面垂直，故A正確;

對(duì)于B,若a06,m團(tuán)a,n06,則直線m與n相交、平行或異面，故8錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若mEla,006,a(36,則直線m與"相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若mEla,nB6,逋6,則直線m與n平行或異面，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

5.（2021?河南焦作市?高一月考）已知直線加，〃和平面體尸，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若a///?,mua,則/〃//2B.若〃z_La,mHn,nu/3,則a_L/?

6

C.若〃_La，nLp,mYa>則m1■力D.若m_La,mA.n,則〃//a.

【答案】D

【分析】

根據(jù)空間中線面平行或垂直的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可求解.

【詳解】

解：對(duì)4若all/3,mua,則由面面平行的性質(zhì)有小//尸，所以A正確；

對(duì)8：若〃Ua，mlln,則由線面平行的性質(zhì)有〃_La，又〃<=/?,

從而由面面垂直的判定定理有。，/?，所以8正確；

對(duì)C：若〃_La，〃上尸，則二//4，又〃z_La,所以相，所以C正確；

對(duì)。：若〃?_Lc,mVn,則〃//a或"ua,所以。錯(cuò)誤.

故選：D.

6.（2021?江蘇高一期末）若。，人是兩條不同的直線，￡是兩個(gè)不同的平面，則下列

命題正確的是（）

A.若；1力,bA.a,ak/3,則a_L￡

B.若a_L〃，a_La,blip,則;_|_力

C.若3/a,all/3,aC]j3=b,則a〃）

D.若a//b,a_La,blip,則a//月

【答案】C

【分析】

由空間中直線與直線、宜線與平面的位置關(guān)系宜觀分析A、B、D錯(cuò)誤；直接證明C正確.

【詳解】

對(duì)于A,若。_LJ,,bLa,avp,則。與￡可能平行，或相交或。在夕內(nèi)，故A錯(cuò).

對(duì)于B,若aL夕,a±a,blip,則出力也可能成立，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,若a〃a，all/3,aC\/3=b,如圖:

7

過(guò)a作平面7,使得yla=〃，過(guò)a作平面。，使得9c6=加，

因?yàn)閍〃a,auy,所以出/",同理a〃相，故”〃加，

而〃<Z/7,mu/3,故"〃尸，"ua,a^\fl=b,故〃〃人，故a〃），故C正確.

對(duì)于。，若。〃A,a±?,blip,則a_L4，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

異面直線所成的角

異面直線所成的角

（1）異面直線所成角的定義

如圖，已知兩異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。，分別作直線d〃a萬(wàn)〃b,相交直線a',"所成

的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）異面直線所成角的范圍

7T

異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是（0,2],

2

（3）兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的

異面直線。力，記作a.Lb.

8

【巧學(xué)妙記】

（1）求異面直線所成的角常用平移法.

平移法有三種類(lèi)型，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(diǎn)（線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)）

作平行線平移，利用補(bǔ)形平移.

（2）求異面直線所成角的步驟

①一作：即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；

②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；

③三求：解三角形，求出作出的角.

如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)

角才是要求的角.

【典例】

7.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）空間中有兩個(gè)角a、/，且角a、￡的兩邊分別平行.若&=60、

則/?=.

【答案】60°或120°

【分析】

根據(jù)等角定理可得出結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)榻莂與。兩邊對(duì)應(yīng)平行，但方向不確定，所以a與。相等或互補(bǔ)，故Q=60°或120°.

故答案為：60'或120°.

8.（2021?浙江高一期末）已知正方體—，棱長(zhǎng)為2,E為線段上的動(dòng)

點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，P為棱CG上的動(dòng)點(diǎn)，則以下選項(xiàng)中正確的有（）

A.直線用。，平面A/G

B.AELB.C

9

TT

C.異面直線A。與BO所成角為§

D.若直線m為平面3￡>P與平面4Ap的交線，則m_LAC

【答案】ACD

【分析】

選項(xiàng)A：通過(guò)證明直線片。，平面AtBCt可作出判斷；

選項(xiàng)B：由團(tuán)A4c是等邊三角形可以很容易作出判斷：

選項(xiàng)C：BDHBQ、,所以NA〃旦（或其補(bǔ)角）為異面直線A"與80所成的角，從而可

求解判斷；

選項(xiàng)D：結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可作出判斷.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫鍭QCiA，44匚平面4耳。|。「所以。

又4G，,且DDqD3i=A,所以4G1平面D[B]BD，又6Qu平面D、B、BD,

所以AG_LBQ.同理可證48，，又ACA48=4，所以直線BQ_L平面A^G.

故A正確（如圖1）；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)锳4=AC=4C,所以團(tuán)做C是等邊三角形，因此，只有當(dāng)點(diǎn)E是qC

的中點(diǎn)時(shí)，才有AE_LBC.故B錯(cuò)誤（如圖1）；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)锽D//BR,所以NAD國(guó)（或其補(bǔ)角）為異面直線A4與5。所成的角，

TT

乂回A￡）4顯然是等邊三角形，所以NA〃4=§.故C正確（如圖1）；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)锽D〃,BDU平面BQF，4。（=平面用。產(chǎn)，所以B。//平面

gQP,又平面6OPD平面4=3Ou平面3OP，所以6。//機(jī).又BOJ.AC,

所以相_LAC.故D正確（如圖2）.

故選：ACD.

10

9.（2021?浙江高一期末）在正方體A3CD-AgGA中，則異面直線AC與的所成角

為（）

R冗兀冗

A.-B.—C.—D.—

6432

【答案】C

【分析】

利用正方體的特點(diǎn)，將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角，角形ABG為等邊三角形,

7T

故AG與BG的夾角為60°，從而得出異面直線的夾角為1.

【詳解】

正方體ABCD-agG。中，AC//AG，異面直線AC與5G的所成角即為4G與5G

所成的角，而三角形ABG為等邊三角形，故4G與5G的夾角為60°，所以異面直線

TT

AC與BG的所成角為巴.

故選：c

【點(diǎn)睛】

II

熟悉正方體的特點(diǎn)，以及求異面直線夾角通常轉(zhuǎn)化為共面直線夾角來(lái)解決，注意幾何圖形的

特點(diǎn).

空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

1.直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類(lèi)

（1）直線和平面位置關(guān)系的分類(lèi)

①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)：

,直線和平面相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

＜直線和平面平行一沒(méi)有公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②按是否平行分類(lèi):

（直線與平面平行

'直線與平面相交

直線與平面不平行

直線在平面內(nèi)

③按直線是否在平面內(nèi)分類(lèi):

直線在平面內(nèi)

直線和平面相交

直線不在平面內(nèi)（直線在平面外）

直線和平面平行

（2）平面和平面位置關(guān)系的分類(lèi)

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種:

（1）兩個(gè)平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)；

（2）兩個(gè)平面相交一一有一條公共直線.

2.直線與平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示和圖形表示

圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)

12

直線。與平面a相交a^\a=A1個(gè)

___a

直線a與平面a平行//a//a0個(gè)

直線a在平面a內(nèi)aua無(wú)數(shù)個(gè)

平面a與平面月平行//a//p0個(gè)

//

平面a與平面口相交aPl￡=/無(wú)數(shù)個(gè)

【巧學(xué)妙記】

13

;（1）唯一性定理

/

Z①過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

Z②過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

/③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

;④過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與己知平面垂直.

/

（2）異面直線的判定方法

經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線

【典例】

10.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-481GD1的棱中，與棱AB垂直的棱

A.2條B.4條

C.6條D.8條

【答案】D

【分析】

根據(jù)線線之間的垂直關(guān)系判斷即可.

【詳解】

在長(zhǎng)方體A8CD—481JD1的棱中,與棱A8垂直的棱有8C,SiCi,AiDi,AD,AAi,BBi,CCi,

DDi,共8條.

故選：D.

IL（2021?鄂爾多斯市第一中學(xué)高一期末（理））如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.則在這個(gè)正方

體中：

①與ED平行；②CN與8E是異面直線；③CN與成60°角；④DM與BN是

異面直線.

14

以上四個(gè)命題中，正確的命題序號(hào)是（)

A.①③B.②④C.①④D.③④

【答案】D

【分析】

將展開(kāi)圖復(fù)原為幾何體，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】

解：展開(kāi)圖復(fù)原的正方體如圖所示，由正方體的性質(zhì)可知

5M與￡0是異面直線，所以①錯(cuò)誤；

CN與BE是平行直線，所以②錯(cuò)誤：

連接AN,AC,則AN與所以NANC或其補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，因

為AANC為等邊三角形，所以N/WC=6（）°,所以CN與成60°角，所以③正確；

DW與8N是異面直線，所以④正確，

故選：D

12.（2021?山西運(yùn)城市?高二期末（理））已知a,h,。是空間中的三條相互不重合的直線,

15

下列命題中：

①若。與〃相交，。與。相交，則。與c相交；

②若a//b,bile,則a〃c；

③若au平面a,bu平面夕，則a,。一定是異面直線；

④若“，匕與。成等角，則a〃b.

真命題是.（填序號(hào)）

【答案】②

【分析】

在空間考慮兩直線都與第三條直線直線相交的所有可能情況可判斷①，根據(jù)平行公理可判

斷②，考慮在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的所有位置關(guān)系可判斷③，兩條直線與第三條直線成

等角，這兩條直線可相交可平行可異面判斷④.

【詳解】

當(dāng)a與b相交，。與。相交時(shí)，。與?？赡芟嘟弧⑵叫?，也可能異面，故①不正確；

由公理4知②正確；

當(dāng)au平面a,bu平面少時(shí)，a與匕可能平行、相交或異面，故③不正確；

當(dāng)a,b與c成等角時(shí)，。與人可能相交、平行，也可能異面，故④不正確.

故答案為：②

跟蹤訓(xùn)練.

一、單選題

1.設(shè)。，b為兩條直線，以下選項(xiàng)中能推出勿小的個(gè)數(shù)是（）

①a,〃與同一個(gè)平面所成角相等

②“，人垂直于同一條直線

③“，分平行于同一個(gè)平面

④a,b垂直于同一個(gè)平面

A.1B.2C.3D.4

2.已知直線〃2和平面名，，則下列結(jié)論一定成立的是（)

16

A.若加//a,a//〃，則根//力B.若〃?_La,akp,則根//月

C.若〃?_La,al1（3,則機(jī)_L/?D.若m//a,aL/3,則根J■力

3.己知。，尸是兩個(gè)不同的平面，m,c是平面a和夕之外的兩條不同的直線，且

則"加〃""是"租//。"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)a、￡是互不重合的平面，/、〃、〃是互不重合的直線，下列命題正確的是（）

A.若znua,〃ua,IX.m,ILn,則/_LaB.若/_L〃，mX.n,則/〃/〃

C.若/x//a,〃//￡,aL（3,則加_|_〃D.若/J_a,〃/夕，則a_L￡

5.設(shè)直線a,b分別是長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則。與6（）

A.共面B.相交C.異面D.異面或相交

6.已知加，"，是不同的直線，a,夕是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若加〃則加平行于平面a內(nèi)的任意一條直線

B.若/W〃a,nila,則加//〃

C.若?！ㄊ瑱C(jī)ua,nu0,則加〃〃

D.若alip,祖ua,則mlip

7.如圖ABC。-44GA是長(zhǎng)方體，。是BQ的中點(diǎn)，直線AC交平面A4。于點(diǎn)M，

則下列結(jié)論箱堡的是（）

A.A,M，。三點(diǎn)共線

B.M，0,4，A四點(diǎn)共面

17

C.B,B},o,M四點(diǎn)共面

D.A,0,C,M四點(diǎn)共面

8.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—AAC。中，AO=A41=2,A6=4.E,M,N分別是棱

GA，AB,8c的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足PE//平面4MN,則線

段PE長(zhǎng)度的最小值為（）

2回

Ur?------------D.272

5

二、多選題

9.在正方體ABCD-AfiG。中，異面直線”和人分別在上底面A4GA和下底面

A8CO上運(yùn)動(dòng)，。和匕的夾角為6,且sin6>=詈，當(dāng)A。與。所成的夾角為60。時(shí)，則

a與側(cè)面AO24所成角的正切值可能為（）

、cr11

A.3B.J3C.—D.—

23

10.已知正四棱錐的側(cè)面積為46，當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，以下結(jié)論正確的是（）

A.棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為在

2

B.側(cè)棱與底面所成的角為60°

C.棱錐的每一個(gè)側(cè)面都是等邊三角形

D.棱錐的內(nèi)切球的表面積為（8-46）乃

三、填空題

11.直四棱柱A8CO-4與GA,已知NABC=120。，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形,

18

且44=4,E為線段上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BE=時(shí)，KE與底面ABC。所成角為

60°.

12.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，己知B4=PB=PC=AC,A3_L8C,則直線PB與平面ABC

所成角的余弦值為.

13.在正方體A5CO-A4G。中，42與平面ABGR所成角的正切值是.

四、解答題

14.開(kāi)普勒說(shuō)："我珍視類(lèi)比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界

的秘密，"波利亞也曾說(shuō)過(guò)："類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問(wèn)題往往有賴于平面

幾何中的類(lèi)比問(wèn)題."在選修1—2第二章《推理與證明》的學(xué)習(xí)中，我們知道，平面圖形很

多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形

可以推廣到平行六面體等.如圖，如果四面體。-即P中棱OE，DF，DP兩兩垂直，

那么稱四面體D—EEP為直角四面體.請(qǐng)類(lèi)比直角三角形A8C（。表示斜邊上的高）中的

性質(zhì)給出直角四面體D-EFP中的兩個(gè)性質(zhì)，并給出證明.

直角三角形A8C直角四面體。-EFP

條件CA±CBDEIDF'DELDP，DFA.DP

結(jié)論1a2+b2-c2

111

結(jié)論2亍丁F

真題再現(xiàn)

19

也模擬檢測(cè),

參考答案

跟蹤訓(xùn)練

1.A

【分析】

本題利用空間中線線、線面的平行和垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：①若。，。與同一平面所成角相等，則。，b可能相交或異面，故①錯(cuò)誤，

②若。，人都垂直同一直線，則。，?？赡芟嘟?，平行，異面，故②錯(cuò)誤，

③若“，匕平行于同一平面，則。，?？赡芟嘟?，平行，異面，故③錯(cuò)誤，

④若a，b垂直于同一個(gè)平面，則a//〃二④正確，

故選：A.

2.C

【分析】

利用特例排除法，容易否定ABD,利用線面、面面垂直、平行的的關(guān)系可以斷定C正確.

【詳解】

選項(xiàng)A中，也可能選項(xiàng)B中，“2也有可能在月內(nèi)；選項(xiàng)D中，m與6的關(guān)系不

確定，故可排除A,B,D.由線面平行和垂直的判定與性質(zhì)可以看出C正確.

故選C.

3.A

【分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的概念，結(jié)合點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可判斷.

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【詳解】

充分性：因?yàn)椤╛L，，機(jī)〃〃，所以，〃，尸，又因?yàn)樗韵唷╱或wuc,又因

為m是平面。和￡之外的直線，所以加//a；

必要性：因?yàn)閍J■尸，mlla，所以〃//尸或加與￡相交或mu/7,又因?yàn)椤╛￡4，所

以“與〃平行，相交，異面，所以必要性不成立：

所以"〃〃/〃"是"mlla"的充分不必要條件.

故選：A.

4.D

【分析】

根據(jù)題意，利用平面內(nèi)直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系依次對(duì)下列各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：A選項(xiàng)，若/_L/“，/_!_〃，mua,"ua,不能推出/_L。，缺少條件相與〃相交，

故A不正確.

8選項(xiàng)，/_L〃，mln,不能得出/1|加，可能/與加異面或者相交，故8不正確.

C選項(xiàng)，若m||a,〃||夕，aW則〃?與〃可能平行，相交或異面，故C不正確.

。選項(xiàng)，若/〃△，則在￡內(nèi)一定存在一條直線用使得川根，又/_La，則加，a,則。，尸，

故。正確.

故選：D.

5.D

【分析】

作出對(duì)應(yīng)圖形，可判斷出a、b直線的位置關(guān)系.

【詳解】

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AB'C'D'中，

21

D'C

當(dāng)AB所在直線為。，8C所在直線為b時(shí)，a與b相交；

當(dāng)AB所在直線為。，B'C所在直線為b時(shí)，。與b異面.

故選：D.

6.D

【分析】

利用長(zhǎng)方體模型依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

如圖，設(shè)平面ABC。為平面a,平面4耳。。|為平面一，

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)機(jī)為宜線A4,滿足m〃a，但直線A4與立線8C是異面直線，故A選

項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)機(jī)為直線A￡.直線片a為"，滿足加〃a，山/a,但不滿足加〃〃，故

B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)加為直線8C,直線為“，顯然加〃〃不滿足，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，由面面平行的性質(zhì)即可得該命題正確.

故選：D

22

7.C

【分析】

連接AG，AC,利用兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在一條直線上可判斷點(diǎn)共線.

【詳解】

解：連接AG，AC,則4G//AC,

.??A，C1,C,A四點(diǎn)共面，

ACu平面,

MeA.C,MG平面ACGA,

'：Me平面AB.,

23

點(diǎn)M在平面ACC,A,與平面ABA的交線上，

同理點(diǎn)。在平面ACGA與平面ABQ的交線上,

.?.AM,。三點(diǎn)共線，故A正確；

???A,M,0三點(diǎn)共線，且直線與直線外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面，

，A,M,O，A四點(diǎn)共面，A,M,C,O四點(diǎn)共面，故B,D正確：

BB,E平面AB,D,,OMu平面A與R,B】G平面4片。且B,I0M,

..8片和OW是異面直線，

.?.B,瓦,。M四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤.

故選：C

8.C

【分析】

如圖，建立空間坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)和各線段的坐標(biāo)，求出平面用MN的法向量，利用向量

法表示線面平行得出A后=(-羽2,2-2為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】

如圖設(shè)立。-孫z空間坐標(biāo)系，山題意可知：

0(0,0,0),8(240),M(2,2,0),N(l,4,0),

瓦(2,4,2),E(0,2,2),設(shè)P(x,0,z),xe[0,2],

則可而=(0,-2,-2),瓦同=(-1,0,-2),

設(shè)平面B】MN的一個(gè)法向量為n=(“,6,c),

無(wú)麗=0-2b-2c=0

由令6=1,得〃=(2,1,-1),

無(wú)瓦N=o-a-2c=Q

乂聲后=(一x,2,2-z),PE//平面B]MN,

所以而_L5,解得Z=2X，所以方=(一X,2,2—2X)，

24

故同=J/+4+(2-2x)2=^5(x-1)2+y

所以阿「欄二￥.

故選：c.

9.AD

【分析】

作出圖形，求得tan6=2,以直線3D為直線％，假設(shè)直線。過(guò)點(diǎn)A，確定直線a的位置,

可得出a與側(cè)面AORA所成角與。的關(guān)系，再利用兩角差的正切公式可求得結(jié)果.

【詳解】

如下圖所示，在正方體ABCD-A與GA中，4。=50=48,則AABD為等邊三角形,

所以，ZAiDB=60°,不妨設(shè)直線3。為直線b,

因?yàn)锽BJ/DA目.BB[=DDi，所以，四邊形為平行四邊形，所以，BDHBR,

由于異面直線4和6分別在上底面A4Goi和下底面ABC。上運(yùn)動(dòng)，。和。的夾角為氏

25

且sin”型,

5

接下來(lái)就是找出直線。的位置，如下圖為上底面，

如上圖所示，直線。可以是也可以是4七2,均有sin6=W，cos6=半，

tan63=2,

COS。

為方便，設(shè)直線。過(guò)點(diǎn)A，直線〃與側(cè)面4。。出所成的角為/04片或/24￡2,

TT3乃

由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得NRA4=?！埽?。4七=亍—e，

由兩角差的正切公式可得tan”M=tan"訃*=言=：

(r\tan----tan8tn

,CAL3九八4-1-2

tanZD.A,E)=tan(-4---0J=-.---L-Ja---n---。=——Ji---

4

因此，。與側(cè)面所成角的正切值可能為3或;.

故選：AD.

10.ACD

【分析】

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2?,側(cè)棱長(zhǎng)為6,求出棱錐體積，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知當(dāng)a=l,及b=2

時(shí)棱錐體積最大，然后再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

26

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2。，側(cè)棱長(zhǎng)為分，則品憫=4xgx2axJ^H=4aJ^==4G，即

aylb1—a2=百，

而V=gX(2a)2X一.2-.2=4。力彳一2〃，又。"2一《=6,

設(shè)/(a)=3/一/(0＜。＜