六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)課程第1講至第20講

六年級數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)課程第1講至第20講

定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運

算。

解答定義新運算，關(guān)鍵是要正確地懂得新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計

算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運算算式進(jìn)行計算。

定義新運算是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：

*、△、。等，這是與四則運算中的“+、一、x、i不一致的。

新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各類

運算定律的。

二、精講精練

【思路導(dǎo)航】這題的新運算被定義為：a*b等于a與b兩數(shù)之與加上兩數(shù)之差。這里

的“*”就代表一種新運算。在定義

13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26

新運算中同樣規(guī)定了要先算小括號

5*4=(5+4)+(5-4)=10

里的。因此，在13*(5*4)中，就

13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26

要先算小括號里的(5*4)。

練習(xí)1:

【思路導(dǎo)航】根據(jù)定義先算4a6。在這里是新的運算符號。

練習(xí)2：

【思路導(dǎo)航】通過觀察，能夠發(fā)現(xiàn)本題的新運算“*”被定義為。因此

a*b=a+aa+aaa+....+aa....a7*4=7+77+777+7777=8638

劣.-.

____210*2=210+210210=210420

2.規(guī)定，a*b=a+aa+aaa+...+lu-----a----------------------那么

8*5=o(b-iyha

3.假如2*1=1/2,3*2=1/33,4*3=1/444,那么(6*3);(2*6)=。

【思路導(dǎo)航】這題的新運算被定義為：@=(a—l)XaX(a+1),據(jù)此，能夠求出

1/⑥一1/⑦=1/(5X6X7)-1/(6X7X8),這里的分母都比較大，不易直接求出結(jié)果。

根據(jù)1/⑥-1/⑦=1/⑦XA,可得出A=(1/⑥-1/⑦)+1/⑦=(1/⑥-1/⑦)乂⑦=⑦

/⑥-U即

練習(xí)4：

【思路導(dǎo)航】先求出小括號中的401=4X4-2X1+1/2X4X1=16,再根據(jù)xG)16=4x

-2X16+l/2XxX16=12x-32,然后解方程12x—32=34,求出x的值。列算式為

練習(xí)5：

第2講簡便運算(一)

一、知識要點

根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)與數(shù)的特征，靈活運用運算法則、定律、性質(zhì)與某些公式，能夠把一

些較復(fù)雜的四則混合運算化繁為簡，化難為易。

二、精講精練

【思路導(dǎo)航】先去掉小括號，使4.75與8.25相加湊整，再運用減法的性質(zhì)：a-b-

c=a-(b+c),使運算過程簡便。因此

原式=4.75+8.25-9.63-1.37

=13-(9.63+1.37)

=13-11

=2

練習(xí)1:計算下面各題。

【思路導(dǎo)航】可把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后，利用積的變化規(guī)律與乘法分配律使計算簡便。因

此：原式=333387.5X79+790X66661.25

=33338.75X790+790X66661.25

=(33338.75+66661.25)X790

=100000X790

=79000000

練習(xí)2：計算下面各題：

【思路導(dǎo)航】此題表面看沒有什么簡便算法，認(rèn)真觀察數(shù)的特征后可知：36=1.2X

30o這樣一轉(zhuǎn)化，就能夠運用乘法分配律了。因此

原式=1.2X30X1.09+1.2X67.3

=1.2X(30X1.09+1.2X67.3)

=1.2X(32.7+67.3)

=1.2X100

=120

1.45X2.08+1.5X37.6

2.52X11.1+2.6X778

3.48X1.08+1.2X56.8

4.72X2.09-1.8X73.6

【思路導(dǎo)航】盡管3又3/5與6又2/5的與為10,但是與它們相乘的另一個因數(shù)不一

致，因此，我們不難想到把37.9分成25.4與12.5兩部分。當(dāng)出現(xiàn)12.5X6.4時，我們

又能夠?qū)?.4看成8X0.8,這樣計算就簡便多了。因此

原式=3又3/5X25又2/5+(25.4+12.5)X6.4

=3又3/5X25又2/5+25.4X6.4+12.5X6.4

=(3.6+6.4)X25.4+12.5X8X0.8

=254+80

=334

練習(xí)4：

1.6.8X16.8+19.3X3.2

2.139X137/138+137X1/138

3.4.4X57.8+45.3X5.6

【思路導(dǎo)航】先分組提取公因數(shù)，再第二次提取公因數(shù)，使計算簡便。因此

原式=81.5義(15.8+51.8)+67.6X18.5

=81.5X67.6+67.6X18.5

=(81.5+18.5)X67.6

=100X67.6

=6760

1.53.5X35.3+53.5X43.2+78.5X46.5

2.235X12.1++235X42.2-135X54.3

3.3.75X735-3/8X5730+16.2X62.5

第3講簡便運算(二)

一、知識要點

計算過程中，我們先整體地分析算式的特點，然后進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，制造條件運用乘

法分配律來簡算，這種思考方法在四則運算中用處很大。

二、精講精練

【思路導(dǎo)航】整體觀察全式，能夠發(fā)現(xiàn)題中的4個四位數(shù)均由數(shù)1,2,3,4構(gòu)成，

且4個數(shù)字在每個數(shù)位上各出現(xiàn)一次，因此有

原式=1X1111+2X1111+3X1111+4X1111

=(1+2+3+4)X1H1

=10x1111

=11110

1.23456+34562+45623+56234+62345

2.45678+56784+67845+78456+84567

3.124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

【思路導(dǎo)航】我們能夠先整體地分析算式的特點，然后進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，制造條件運

用乘法分配律來簡算。因此

原式=2.8X23.4+2.8X65.4+11.1X8X7.2

=2.8X(23.4+65.4)+88.8X7.2

=2.8X88.8+88.8X7.2

=88.8X(2.8+7.2)

=88.8X10

=888

1.99999X77778+33333X66666

2.34.5X76.5-345X6.42-123X1.45

3.77X13+255X999+510

【思路導(dǎo)航】認(rèn)真觀察分子、分母中各數(shù)的特點，就會發(fā)現(xiàn)分子中1993X1994可變

形為1992+1)X1994=1992X1994+1994,同時發(fā)現(xiàn)1994—1=1993,這樣就能夠把原

式轉(zhuǎn)化成分子與分母相同，從而簡化運算。因此

原式=[(1992+1)X1994-1]/(1993+1992X1994)

=(1992X1994+1994-1)/(1993+1992X1994)

=1

1.(362+548X361)/(362X548-186)

2.(1988+1989X1987)/(1988X1989-1)

3.(204+584X1991)/(1992X584-380)-1/143

【思路導(dǎo)航】這串?dāng)?shù)中第2000個數(shù)是20002,而第2001個數(shù)是20012,它們相差：

20012-20002,即

20012-20002

=2001X2000-20002+2001

=2000X(2001-2000)+2001

=2000+2001

=4001

1.19912-199022.99992+199993.999X274+6274

【思路導(dǎo)航】在本題中，被除數(shù)提取公因數(shù)65,除數(shù)提取公因數(shù)5,再把1/7與1/9

的與作為一個數(shù)來參與運算，會使計算簡便得多。

原式=(65/7+65/9)4-(5/7+5/9)

=[65X(1/7+1/9)]4-[5X(1/7+1/9)]

=654-5

=13

練習(xí)5：

1.(8/9+1X3/7+6/11)4-(3/11+5/7+4/9)

2.(3又7/11+1又12/13):(1又5/11+10/13)

3.(96又63/73+36又24/25)4-(32又21/73+12又8/25)

第4講簡便運算（三）

一、知識要點

在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運算時，除了牢記運算定律、性質(zhì)外，還要認(rèn)真審題，認(rèn)真觀察運算符號

與數(shù)字特點，合理地把參加運算的數(shù)拆開或者者合并進(jìn)行重新組合，使其變成符合運算定

律的模式，以便于口算，從而簡化運算。

二、精講精練

【例題1】

15

計算：（1）—X37(2)27*赤

/、15

(1)原式=(1-yz)X37(2)原式=(26+1)X-

11515

=1X37-—X37+—

45=26X班26

15

=15+26

815

=36不=1526

練習(xí)1

用簡便方法計算下面各題：

14211

1.—X82.X1263.

2535*加

74皿X1999

4.73X—5.

1998

【例題2】

計算:73e

田上,16、1

原式=(72+—)X-

158

1

116X

=72X§+一8-

15

2

=9+—

15

練習(xí)2

計算下面各題:

1111

L64I7x92.2220X21

111314

3.X57-4.413Xi+51TX5

74

【例題3】

13

計算:FX27+MX41

33

原式X9+gX41

3

=三X(9+41)

□

3

=-X50

□

=30

練習(xí)3

計算下面各題:

315

XX7151

一

一-

4272.663.-X5+-X5+-X10

OOO

【例題4】

5526

算

計-X1-X-X

?69-

13

153

11352-

式

原--X5

-X+-X

69-13

136

-153

±12

I++)-

-c-9-18x1-

。13

5

X-

13

練習(xí)4

計算下面各題:

1451133161

X+X92.X4+7X6+7X?2

LT79177

5

316115531711

-9午4

X7+50X-+-X--T7+叵x而+行X3-

【例題5】

計算：(1)166^7?41/、1998

(2)1998998y礪

乙u

解：⑴原式=(164+2^7)4-411998X1999+1998

(2)原式=1998-

1999

41.1998X2000

=1644-41+—4-41=1998

乙U’1999

1998X----------------

1998X2000

1999

2000

練習(xí)5

計算下面各題:

1.54|4-1723811

2.2384-238—3.163—4-41—

第5講簡便運算（四）

一、知識要點

前面我們介紹了運用定律與性質(zhì)與數(shù)的特點進(jìn)行巧算與簡算的一些方法，下面再向同

學(xué)們介紹如何用拆分法（也叫裂項法、拆項法）進(jìn)行分?jǐn)?shù)的簡便運算。

運用拆分法解題要緊是使拆開后的一些分?jǐn)?shù)互相抵消，達(dá)到簡化運算的目的。通常地,

形如的分?jǐn)?shù)能夠拆成1-4r；形如乂」上、的分?jǐn)?shù)能夠拆成,x-

aX（a+1）aa+1aX（a+n）na

i封+hii

前），形如西的分?jǐn)?shù)能夠拆成酒等等。同學(xué)們能夠結(jié)合例題思考其中的規(guī)律。

二、精講精練

【例題1】

計算.----+-----+----++-------

1X22X33X4……99X100

原式=(1—I)+(<—!)+(:—;)+..+

100

1111111

1————+———++—

22334…99100

1

1-----

100

99

100

練習(xí)1

計算下面各題：

1111

L4X5+5X6+6X7+……+39X40

,]]]]_1_

2110X11+11X12+12X13+13X14+14X15

111111

Q-+―+----+----+----+----

2612203042

1111

41——+—+—+—

6425672

【例題2】

、“1111

2X44X66X848X50

22221

泉式=2X4+4X6+6X8+……+48X50X2

111111

±±

zzU

-+(--+(X-

6\68\-2

4850

11

1

-

2-

50

6

--

25

練習(xí)2

計算下面各題:

11111111

1++++2+++

3X55X77X9…97X991X44X77X1097X100

]1]]11111

3,1X5+5X9+9X13+…-+33X374—+—+—+---+---

42870130208

【例題3】

1791113_15

計算:5—十—30+42-56

1220

-上1/1、」1、」1、」1、,1、

原式=5-（3+4）+（4+5）-（5+6）+（6+7）-（7+8）

11111111111

1—————+—+—————+―+—————

33445566778

7

8

練習(xí)3

計算下面各題:

157911

i1-H-----+-----

26122030

19111315

21———+———+—

420304256

19981998199819981998

3+----+3X4++

1X22X34X55X6

7911

46X————X6+而X6

1220

【例題4】

111111

"丹248163264

H上llll111、1

原式=（z-+―+]+—+—+—+—）——

冰隊2481632646464

1

=一6

63

64

練習(xí)4

計算下面各題:

1111

1.++一++

248256

22222

2.+-+—+—+--

392781243

3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

【例題5】

1111111111±1111

算

計+-+-+-X-LL+_+-+-+-+_X-+-

234234on234on234-4-)

1

-11111

設(shè)+--a-L+--b

+2-+3-4234

1

XXb

5-ZJ

11

=ab+：a—ab—7b

55

=7(a—b)

_1

=5

練習(xí)5

11111)—2+工111

1.+—X(3+-+—+-+X(-+-

4562345b34

11、J11111、(1±+工)

2.+—+—)X(-+—+一+-+-+訪）x+

1011910111289101191011

111111

3.(1+-++2001)X(+'+'十)—(1+++

199920001999200020012002199920002001

1、z111、

4-------)X(H----+)

2002199920002001

第6講轉(zhuǎn)化單位“1”（一）

一、知識要點

把不一致的數(shù)量當(dāng)作單位“1”，得到的分率能夠在一定的條件下轉(zhuǎn)化。

假如甲是乙的a/b,乙是丙的c/d,則甲是丙的ac/bd；假如甲是乙的a/b,則乙是甲

的b/a；假如甲的a/b等于乙的c/d,則甲是乙的c/d+a/b=bc/ad,乙是甲的a/b+a/b

=ad/bCo

二、精講精練

【例題1】乙數(shù)是甲數(shù)的2/3,丙數(shù)是乙數(shù)的4/5,丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？

2/3X4/5=8/15

練習(xí)1：

【例題2】修一條8000米的水渠，第一周修了全長的1/4,第二周修的相當(dāng)于第一周

的4/5,第二周修了多少米？

解一：8000X1/4X4/5=1600（米）

解二：8000X（1/4X4/5）=1600（米）

答：第二周修了1600米。

練習(xí)2：用兩種方法解答下面各題：

【例題3】晶晶三天看完一本書，第一天看了全書的1/4,第二天看了余下的2/5,第

二天比第一天多看了15頁，這本書共有多少頁？

解：154-[（1-1/4）X2/5-1/4]=300（頁）

答：這本書有300頁。

練習(xí)3：

【例題4】男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5,女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？

解：把女生人數(shù)看作單位“1"。14-4/5=5/4

把男生人數(shù)看作單位“1"。54-4=5/4

練習(xí)4：

【例題5】甲數(shù)的1/3等于乙數(shù)的1/4,甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾，乙數(shù)是甲數(shù)的幾倍？

解：1/44-1/3=3/41/3+1/4=1又1/3

答：甲數(shù)是乙數(shù)的3/4,乙數(shù)是甲數(shù)的1又1/3。

練習(xí)5：

笫7講轉(zhuǎn)化單位“1”(二)

一、知識要點

我們務(wù)必重視轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。通過轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，既可懂得數(shù)量關(guān)系的實質(zhì)，又可拓展我們的

解題思路，提高我們的思維能力。

二、精講精練

【例題1】甲數(shù)是乙數(shù)的2/3,乙數(shù)是丙數(shù)的3/4,甲、乙、丙的與是216,甲、乙、

丙各是多少？

解法一：把丙數(shù)看所單位“1”那么甲數(shù)就是丙數(shù)的3/4X2/3=l/2,

丙：216+(1+3/4+3/4X2/3)=96乙：96X3/4=72甲：72X2/3=48

解法二：可將“乙數(shù)是丙數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化成“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3”，把乙數(shù)看作單位“1”。

乙：216+(2/3+1+4/3)=72甲：72X2/3=48丙：724-3/4=96

解法三：將條件“甲數(shù)是乙數(shù)的2/3”轉(zhuǎn)化為“乙數(shù)是甲數(shù)的3/2”，再將條件“乙數(shù)

是丙數(shù)的3/4”轉(zhuǎn)化為“丙數(shù)是乙數(shù)的4/3”，以甲數(shù)為單位T。

甲：216+(1+3/2+3/2X4/3)=48乙：48X3/2=72丙：72X4/3=96

答：甲數(shù)是48,乙數(shù)是72,丙數(shù)是96。

練習(xí)1：下面各題如何計算簡便就如何計算：

【例題2】紅、黃、藍(lán)氣球共有62只，其中紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3,藍(lán)氣球

有24只，紅氣球與黃氣球各有多少只？

解法一：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3”轉(zhuǎn)化為“黃氣球的只數(shù)是紅氣球

的(3/54-2/3)=9/10”。先求紅氣球的只數(shù)，再求出黃氣球的只數(shù)。

紅氣球：(62—24)4-(1+3/54-2/3)=20(只)黃氣球：62-24-20=18(只)

解法二：將條件“紅氣球的3/5等于黃氣球的2/3”轉(zhuǎn)化為“紅氣球的只數(shù)是黃氣球

的(2/34-3/5)=10/9”。先求黃氣球的只數(shù)，再求出紅氣球的只數(shù)。

黃氣球：(62—24)4-(1+2/34-3/5)=18(只)紅氣球：62-24-18=20(只)

答：紅氣球有20只，黃氣球有18只。

練習(xí)2：

【例題3】已知甲校學(xué)生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的2/5,甲校的女生數(shù)是甲校學(xué)生數(shù)的3/10,

乙校的男生數(shù)是乙校學(xué)生數(shù)的21/50,那么兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的幾分之幾？

解法一：把乙校學(xué)生數(shù)看作單位“1”。[2/5X3/10+(1-21/50)]:(1+2/5)=1/2

解法二：把甲校學(xué)生數(shù)看作單位“1”。(5/2-5/2X2150+3/10)4-(1+5/2)=1/2

答：甲、乙兩校女生總數(shù)占兩校學(xué)生總數(shù)的1/2。

練習(xí)3：

【例題4】倉庫里的大米與面粉共有2000袋。大米運走2/5,面粉運作1/10后，倉

庫里剩下大米與面粉正好相等。原先大米與面粉各有多少袋？

解法一：將大米的袋數(shù)看作單位“1”

(1-2/5)4-(1-1/10)=2/320004-(1+2/3)=1200(袋)2000-1200=800(袋)

解法二：將面粉的袋數(shù)看作單位“1”

(1-1/10)4-(1-2/5)=3/220004-(1+3/2)=800(袋)2000-800=1200(袋)

答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。

練習(xí)4：

【例題5】400名學(xué)生參加植樹活動，計劃每個男生植樹20棵，每個女生植樹15棵。

除抽出25%的男生搞衛(wèi)生外，其他的同學(xué)都按計劃完成了植樹任務(wù)。問共植樹多少棵？

解：20X(1-25%)X400

=20X0.75X400

=6000(棵)

答：共植樹6000棵。

練習(xí)5：

第8講轉(zhuǎn)化單位“1"(三)

一、知識要點

解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，我們往往從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位

“1”，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，再列式解答。

二、精講精練

【例題1】有兩筐梨。乙筐是甲筐的3/5,從甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的

梨是甲筐的7/9。甲、乙兩筐梨共重多少千克？

解：5-T(5/(5+3)-9/(7+9))=80(千克)

答：甲、乙兩筐梨共重80千克。

練習(xí)1:

【例題2】某學(xué)校原有長跳繩的根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的3/8。后來又買進(jìn)20根長跳

繩，這時長跳繩的根數(shù)占長、短跳繩總數(shù)的7/12。這個學(xué)?，F(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是多少

根？

解法一：根據(jù)短跳繩的根數(shù)沒有變，我們把短跳繩看作單位“1”。能夠得出原先的長

跳繩根數(shù)占短跳繩根數(shù)的3/(8-3),后來長跳繩是短跳繩的7/(12-7)。這樣就找到了20

根長跳繩相當(dāng)于短跳繩的(7/(12-7)-3/(8-3)),從而求出短跳繩的根數(shù)。再用短跳

繩的根數(shù)除以(1-7/12)就能夠求出這個學(xué)?，F(xiàn)有跳繩的總數(shù)。即

204-[7/(12-7)-3/(8-3)]4-(1-7/12)=60(根)

解法二：把短跳繩看作單位“1”，原先的總數(shù)是短跳繩的8/(8-3),后來的總數(shù)是短

跳繩的12/(12-7)。因此204-(12/(12-7)-8/(8-3))4-(1-7/12)=60(根)

答：這個學(xué)?，F(xiàn)有長、短跳繩的總數(shù)是60根。

練習(xí)2：

【例題3】有兩段布，一段布長40米，另一段長30米，把兩段布都用去同樣長的一

部分后，發(fā)現(xiàn)短的一段布剩下的長度是長的一段布所剩長度的3/5,每段布用去多少米？

解：40-(40-30)4-(1-3/5)=15(米)

答：每段布用去15米。

練習(xí)3：

【例題4】某商店原有黑白、彩色電視機共630臺，其中黑白電視機占1/5,后來又

運進(jìn)一些黑白電視機。這時黑白電視機占兩種電視機總臺數(shù)的30%,問：又運進(jìn)黑白電視

機多少臺？

解：630X(1-1/5)4-(1-30%)-630=90(臺)

答：又運進(jìn)黑白電視機90臺。

練習(xí)4：

【例題5】一堆煤，運走的比總數(shù)的2/5多120噸，剩下的比運走的5/6多60噸，這

堆煤原有多少噸？

解：(120+120X5/6+60)4-(1-2/5—2/5X5/6)=1050(噸)

答：這堆煤原有1050噸。

練習(xí)5：

第9講設(shè)數(shù)法解題

一、知識要點

在小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，常常會遇到一些看起來缺少條件的題目，按常規(guī)解法大概無解，

但認(rèn)真分析就會發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件關(guān)于答案并無影響，這時就能夠使用“設(shè)數(shù)代入

法”，即對題目中“缺少”的條件，隨便假設(shè)一個數(shù)代入（當(dāng)然假設(shè)的這個數(shù)要盡量的方

便計算），然后求出解答。

二、精講精練

【例題1】假如△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆口=（）個

解：由第一個等式能夠設(shè)4=3,口=2,代入第二式得^=5,再代入第三式左邊是

12,因此右邊括號內(nèi)應(yīng)填4。

說明：本題假如不用設(shè)數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費周折。

練習(xí)1:

【例題2】足球門票15元一張，降價后觀眾增加一倍，收入增加1/5,問一張門票降

價多少元？

【思路導(dǎo)航】初看大概缺少觀眾人數(shù)這個條件，實際上觀眾人數(shù)于答案無關(guān)，我們能

夠隨便假設(shè)一個觀眾數(shù)。為了方便，假設(shè)原先只有一個觀眾，收入為15元，那么降價后

有兩個觀眾，收入為15X（1+1/5）=18元，則降價后每張票價為18+2=9元，每張票

降價15—9=6元。即：

15-15X（1+1/5）4-2=6（元）

答：每張票降價6元。

說明：假如設(shè)原先有a名觀眾，則每張票降價：

15-15aX（1+1/5）+2a=6（元）

練習(xí)2：

【例題3】小王在一個小山坡來回運動。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再從原

路下山，每分鐘跑240米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再從原路下山，每分鐘跑200

米，求小王的平均速度。

【思路導(dǎo)航】題中四個速度的最小公倍數(shù)是1200,設(shè)一個單程是1200米。則

（1）四個單程的與：1200X4=4800（米）

（2）四個單程的時間分別是；

12004-200=6（分）

12004-240=5（分）

12004-150=8（分）

12004-200=6（分）

（3）小王的平均速度為：

48004-(6+5+8+6)=192(米)

答：小王的平均速度是每分鐘192米。

練習(xí)3：

【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5,女孩

平均身高比男孩高10%,這個班男孩平均身高是多少？

【思路導(dǎo)航】題中沒有男、女孩的人數(shù)，我們能夠假設(shè)女孩有5人，則男孩有6人。

(1)總身高：115X[5+5X(1+1/5)]=1265(厘米)

(2)由于女孩平均身高是男孩的(1+10%),因此5個女孩的身高相當(dāng)于5X

(1+10%)=5.5個男孩的身高，因此男孩的平均身高為：

12654-[(1+10%)X5+6]=110(厘米)

答：這個班男孩平均身高是110厘米。

練習(xí)4：

【例題5】狗跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米,

馬開始追它。問狗再跑多遠(yuǎn)，馬能夠追到它？

【思路導(dǎo)航】馬跑一步的距離不明白，跑3步的時間也不明白，可取具體數(shù)值，并不

影響解題結(jié)果。

設(shè)馬跑一步為7,則狗跑一步為4,再設(shè)馬跑3步的時間為1,則狗跑5步的時間為1,

推知狗的速度為20,馬的速度為21。那么，

20X[304-(21-20)]=600(米)

練習(xí)5：

第10講假設(shè)法解題(一)

一、知識要點

假設(shè)法解體的思考方法是先通過假設(shè)來改變題目的條件，然后再與已知條件配合推

算。有些題目用假設(shè)法思考，能找到巧妙的解答思路。

運用假設(shè)法時，能夠假設(shè)數(shù)量增加或者減少，從而與已知條件產(chǎn)生聯(lián)系；也能夠假設(shè)

某個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據(jù)乘法分配律求出這個分率對應(yīng)的與，最后根

據(jù)它與實際條件的矛盾求解。

二、精講精練

【例題1】

甲、乙兩數(shù)之與是185,已知甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的與是42,求兩數(shù)各是多少？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)將題中“甲數(shù)的1/4”、“乙數(shù)的1/5”與“與為42”同時擴大4倍,

則變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的與為168”，再用185減去168就是乙數(shù)的1/5。

解：乙：(185-42X4)4-(1-1/5X4)=85

答：甲數(shù)是100,乙數(shù)是85。

練習(xí)1：

【例題2】

彩色電視機與黑白電視機共250臺。假如彩色電視機賣出1/9,則比黑白電視機多5

臺。問：兩種電視機原先各有多少臺？

【思路導(dǎo)航】從圖中能夠看出：假設(shè)黑白電視機增加5臺，就與彩色電視機賣出1/9

后剩下的一樣多。

黑白電視機增加5臺后，相當(dāng)于彩色電視機的(1-1/9)=8/9o

(250+5)4-(1+1-1/9)=135(臺)

250-125=115(臺)

答：彩色電視機原有135臺，黑白電視機原有115臺。

練習(xí)2：

【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個，已知師傅加工零件個數(shù)的3/8與徒弟

加工零件個數(shù)的4/7的與為49個，師、徒各加工零件多少個？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)師、徒兩人都完成了4/7,一個能完成(105X4/7)=60個，與實

際相差(60—49)=11個，這11個就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相

差的個數(shù)。這樣就能夠求出師傅加工了(4/7-3/8)1=56個。即：

師傅:(105X4/7-49)4-(4/7-3/8)=56(個)

徒弟：105-56=49(個)

答：師傅加工了56個，徒弟加工了49個。

練習(xí)3：

【例題4】甲、乙兩數(shù)的與是300,甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55,甲、乙兩數(shù)各是

多少？

【思路導(dǎo)航】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的2/5的與就是甲、乙兩數(shù)的2/5,是300X2/5=120,

由于甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55,因此從120中減去55所得的差就能夠看成是乙數(shù)的

1/4與乙數(shù)的2/5的與。

乙：(300X2/5-55)4-(2/5+1/4)=100

甲：300-100=200

答：甲數(shù)是200,乙數(shù)是100。

練習(xí)4：

【例題5】育紅小學(xué)上學(xué)期共有學(xué)生750人，本學(xué)期男學(xué)生增加1/6,女學(xué)生減少1/5,

共有710人，本學(xué)期男、女學(xué)生各有多少人？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)本學(xué)期女學(xué)生不是減少1/5,而是增加1/6,半學(xué)期應(yīng)該有750X

(1+1/6)=875人，比實際多875—710=165人，這165人是假設(shè)女學(xué)生也增加1/6多出

的人數(shù)，而實際女學(xué)生減少1/5,因此，這165人對應(yīng)著女學(xué)生的(1/5+1/6)=ll/30o

上學(xué)期女生：【750X(1+1/6)-710]4-(1/5+1/6)=450(人)

本學(xué)期女生：450X(1-1/5)=360(人)

本學(xué)期男生：710—360=350(人)

答：本學(xué)期男學(xué)生有350人，女學(xué)生有360人。

練習(xí)5：

1.金放在水里稱，重量減輕1/19,銀放在水里稱，重量減少1/10,一塊重770克的

金銀合金，放在水里稱是720克，這塊合金含金、銀各多少克？

第11講假設(shè)法解題(二)

一、知識要點

已知甲是乙的幾分之幾，又知甲與乙各改變一定的數(shù)量后兩者之間新的倍數(shù)關(guān)系，要

求甲、乙兩個數(shù)是多少，這樣的應(yīng)用題稱之變倍問題。

應(yīng)用題中的變倍問題，有兩數(shù)同增、兩數(shù)同減、一增一減等各類情況。盡管其中的數(shù)

量關(guān)系比較復(fù)雜，但解答時的關(guān)鍵仍是確定哪個量為單位“1”，然后通過假設(shè)，找出變化

前后的相差數(shù)相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，從而求出單位“1”的量，其他要求的量就迎

刃而解了。

二、精講精練

【例題1】兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第一根剩下的

長度是第二根剩下的長度的5倍，第二根原先有多少米？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)第一根用去6X3=18米，那么第一根剩下的長度仍是第二根剩下

長度的3倍，而事實上第一根比假設(shè)的少用去(6X3-6)=12米，也就多剩下第二根剩

下的長度的(5—3)=2倍。

(6X3-3)4-(5-3)+6=12(米)

答：第二根原先有12米。

練習(xí)1：

【例題2】王明平常積蓄下來的零花錢比陳剛的3倍多6.40元，若兩個人各買了一本

4.40元的故事書后，王明的錢就是陳剛的8倍，陳剛原先有零花錢多少元？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)仍然保持王明的錢比陳剛的3倍多6.40元，則王明要相應(yīng)地花去

4.40X3=13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20—4.40=8.80元，那

么王明買書后的錢比陳剛買書后的錢的3倍多6.40+8.80=15.20元，而題中已告訴：買

書后王明的錢是陳剛的8倍，因此，15.20元就對應(yīng)著陳剛花錢后剩下錢的8—3=5倍。

[6.40+(4.40X3-4.40]4-(8-3)+4.40=7.44(元)

答：陳剛原先有零花錢7.44元。

練習(xí)2：

【例題3】小紅的彩筆枝數(shù)是小剛的1/2,兩人各買5枝后，小紅的彩筆枝數(shù)是小剛

的2/3,兩人原先各有彩筆多少枝？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)小剛買了5枝后，小紅的彩筆仍為小剛的1/2,則小紅只需買(5

X1/2)=2又1/2枝，但實際上小紅買了5枝，多買了5—2又1/2=2又1/2枝。將小

剛買了5枝后的枝數(shù)看作“1”，小紅多買了2又1/2,相當(dāng)于(2/3-1/2)=1/6。

小剛原先:(5-5X1/2)4-(2/3-1/2)-5=10(枝)

小紅原先：10X1/2=5(枝)

答：小剛原先有彩筆10枝，小紅原先有彩筆5枝。

練習(xí)3：

【例題4】王芳原有的圖書本數(shù)是李衛(wèi)的4/5,兩人各捐給“希望工程”10本后，則

王芳的圖書的本數(shù)是李衛(wèi)的7/10,兩人原先各有圖書多少本？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)李衛(wèi)捐了10本后，王芳的圖書仍是李衛(wèi)的4/5,則王芳只需捐10

X4/5=8本，實際王芳捐了10本，多捐了10—8=2本，將李衛(wèi)捐書后剩下的圖書看作“1”,

著2本書相當(dāng)于4/5—7/10=1/10。

(10-10X4/5)+(4/5—710)=30(本)

30X4/5=24(本)

答：李衛(wèi)原有圖書30本，王芳原有圖書24本。

練習(xí)4：

【例題5】某校六年級男生人數(shù)是女生的23,后來轉(zhuǎn)進(jìn)2名男生，轉(zhuǎn)走3名女生，這

時男生人數(shù)是女生的3/4,現(xiàn)在男、女生各有多少人？

【思路導(dǎo)航】假設(shè)轉(zhuǎn)走3名女生后，男生人數(shù)仍是女生的2/3,則男生應(yīng)轉(zhuǎn)走3X2/3

=2人，實際上男生卻轉(zhuǎn)進(jìn)2人，與應(yīng)轉(zhuǎn)走2人相差2+2=4人。將轉(zhuǎn)走3名女生后的女生

人數(shù)看作“1”，則相差的4人相當(dāng)于現(xiàn)在女生的3/4—2/3。

(2+3X2/3)4-(3/4-2/3)=48(人)

48X3/4=36(人)

答：現(xiàn)在男生有36人，女生有48人。

練習(xí)5：

第12講倒推法解題

一、知識要點

有些應(yīng)用題假如按照通常方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程比較

繁瑣。因此，解題時，我們能夠從最后的結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，

從后到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。

二、精講精練

【例題1】一本文藝書，小明第一天看了全書的1/3,第二天看了余下的3/5,還剩下

48頁，這本書共有多少頁？

【思路導(dǎo)航】從“剩下48頁”入手倒著往前推，它占余下的1—3/5=2/5。第一天看

后還剩下48?2/5=120頁，這120頁占全書的1—"3=2/3,這本書共有120?2/3=180

頁。即

484-(1-3/5)4-(1-1/3)=180(頁)

答：這本書共有180頁。

練習(xí)1:

【例題2】筑路隊修一段路，第一天修了全長的1/5又100米，第二天修了余下的2/7,

還剩500米，這段公路全長多少米？

【思路導(dǎo)航】從“還剩500米”入手倒著往前推，它占余下的1—2/7=5/7,第一天

修后還剩500+5/7=700米，假如第一天正好修全長的1/5,還余下700+100=800米，這

800米占全長的1—"5=4/5,這段路全長800+4/5=1000米。列式為：

[5004-(1-2/7)+100]4-(1-1/5)=1000米

答：這段公路全長1000米。

練習(xí)2：

【例題3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出1/3給乙桶后，又從乙桶中倒出1/5給甲

桶，這時兩桶油各有24千克，原先甲、乙兩個桶中各有多少千克油？

【思路導(dǎo)航】從最后的結(jié)果出發(fā)倒推，甲、乙兩桶共有(24X2)=48千克，當(dāng)乙桶

沒有倒出1/5給甲桶時，乙桶內(nèi)有油24+(1-1/5)=30千克，這時甲桶內(nèi)只有48—30

=18千克，而甲桶已倒出1/3給了乙桶，可見甲桶原有的油為18+(1—1/3)=27千克，

乙桶原有的油為48-27=21千克。

甲：【24X2—24+(1-1/5)]