九年級(jí)(下)數(shù)學(xué)自助學(xué)稿

九年級(jí)(下)數(shù)學(xué)自助學(xué)稿

主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

【典例分析】

1.等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F,連接AF,BE相交于點(diǎn)

P.

(1)若AE=CF；

①求證：AF=BE,并求NAPB的度數(shù)；

②若AE=2,試求AP?AF的值；

(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線y=lx,上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限

2

內(nèi).AE_Ly軸于點(diǎn)E,點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),直線AB交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y

軸對(duì)稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F,連結(jié)BD.設(shè)線段AE的長(zhǎng)為rn,ABED的面積為

S.

(1)當(dāng)時(shí)，求S的值.

(2)求S關(guān)于m(m#2)的函數(shù)解析式.

(3)①若S=?時(shí)，求空的值；

BF

②當(dāng)m>2時(shí)，設(shè)過(guò)=k,猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明.

BF

【課堂鞏固】

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A開始沿邊

AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B開始沿折線BC-CD向點(diǎn)D運(yùn)

動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E比動(dòng)點(diǎn)F先出發(fā)1秒，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)點(diǎn)F在邊BC上.

①如圖1,連接DE,AF,若DEJ_AF,求t的值；

②如圖2,連結(jié)EF,DF,當(dāng)t為何值時(shí)，AEBF與ADCF相似？

(2)如圖3,若點(diǎn)G是邊AD的中點(diǎn)，BG,EF相交于點(diǎn)0,試探究：是否存在在某一時(shí)刻

t,使得理=工？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

0G6

圖1圖2圖3備用圖

九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)自助學(xué)稿

主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖形變換（1）

【典例分析】

如圖，以點(diǎn)P（-1,0）為圓心的圓，交X軸于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），交y軸于

A、D兩點(diǎn)（A在D的下方），AD=2遂，將△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180。，得到△MCB.

（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段MB、MC,并判斷四邊形ACMB的形狀（不必證明），求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；

（3）動(dòng)直線1從與BM重合的位置開始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到與BC重合時(shí)停止，設(shè)直線

1與CM交點(diǎn)為E,點(diǎn)Q為BE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EGJ_BC于G,連接MQ、QG.請(qǐng)問(wèn)在

旋轉(zhuǎn)過(guò)程中NMQG的大小是否變化？若不變，求出/MQG的度數(shù)：若變化，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

x

【課堂鞏固】

AD是aABC的中線，將BC邊所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，交邊AB于點(diǎn)M,交射線

AC于點(diǎn)N,設(shè)AM=xAB,AN=yAC(x,ywO).

(1)如圖1,當(dāng)aABC為等邊三角形且a=30°時(shí)證明：△AMNS/XDMA；

(2)如圖2,證明：1+1=2；

xy

(3)如圖3,當(dāng)G是AD上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)G不與A重合)，過(guò)點(diǎn)G的直線交邊AB于科,

交射線AC于點(diǎn)W,設(shè)AG=nAD,AW=x，AB,AN^y'AC(x\ym0),猜想：」_+0_=2是否

xyn

成立？并說(shuō)明理由.

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖形變換（2）

【典例分析】

如圖1,在RtaABC中，ZACB=90°,ZA=30°,P為BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC邊動(dòng)

點(diǎn)，分別以CP、PQ為邊做等邊4PCF和等邊△PQE,連接EF.

（1）試探索EF與AB位置關(guān)系，并證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=m°,P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC

邊動(dòng)點(diǎn)，分別以CP、PQ為腰做等腰4PCF和等腰△PQE,使得PC=PF,PQ=PE,連接

EF.要使（1）的結(jié)論依然成立，則需要添加怎樣的條件？為什么？

【課堂鞏固】

在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,將△(：(?繞點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到

△G0D”旋轉(zhuǎn)角為6(0°<0<90°),連接AG、BDi,AG與BDi交于點(diǎn)P.

(1)如圖1,若四邊形ABCD是正方形.

①求證：AAOG四△BOD、

②請(qǐng)直接寫出A3與BD,的位置關(guān)系.

(2)如圖2,若四邊形ABCD是菱形，AC=5,BD=7,設(shè)AG=kBM.判斷AG與BDi的位置關(guān)

系，說(shuō)明理由，并求出k的值.

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5,BD=10,連接DD”設(shè)AC=kB?.請(qǐng)直

99

接寫出k的值和AC,+幽外的值.

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主備：李剛班級(jí).組別姓名

課題：§圖形變換(3)

【典例分析】

1.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,設(shè)銳角/A0B=a,將△DOC

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△□'0C/(0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°)連接AC'、BD',AC'與BD'

相交于點(diǎn)M.

(1)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖1.求證：△A0C'絲△B0D'.

(2)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，設(shè)AC=kBD”如圖2.

①猜想此時(shí)△AOC'與△B0D'有何關(guān)系，證明你的猜想;

②探究AC'與BD'的數(shù)量關(guān)系以及/AMB與a的大小關(guān)系，并給予證明.

2.在△ABC中，ZACB=2ZB,如圖①，當(dāng)NC=90°,AD為NABC的角平分線時(shí)，

在AB上截取AE=AC,連接DE,易證AB=AC+CD.

(1)如圖②，當(dāng)/CW90°,AD為AABC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系?不需要證明，請(qǐng)直接寫出你的猜想：

(2)如圖③，當(dāng)AD為AABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

圖③

【課堂鞏固】

在平行四邊形ABCD中，NADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接

AC.

(1)如圖1,若NADC=90。，G是EF的中點(diǎn),連接AG、CG.

①求證：BE=BE.

②請(qǐng)判斷aAGC的形狀，并說(shuō)明理由：

(2)如圖2,若NADC=60。,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至FG,連接AG、CG.那么

△AGC又是怎樣的形狀.(直接寫出結(jié)論不必證明)

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖形變換(4)

【典例分析】

1.在AABC中，ZACB=90°,NA<45。，點(diǎn)0為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂

點(diǎn)與點(diǎn)0重合，一邊0E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,另一邊0D與AC交于點(diǎn)M.

(1)如圖1,當(dāng)NA=30。時(shí)，求證：M^AM'+BC2；

(2)如圖2,當(dāng)NAx30。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不

成立，請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；

(3)將三角形ODE繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，若直線0D與直線AC相交于點(diǎn)M,直線0E與直線BC

相交于點(diǎn)N,連接MN,則MM=AM2+BM成立嗎？

答：(填"成立"或"不成立")

圖1

2.如圖(1),在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=J^，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，

且CD=CE,連接DE.

(1)線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是.

(2)如圖(2),當(dāng)4CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度a后，(1)中的結(jié)論是否仍然成

立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)繞點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)aCDE,當(dāng)9(TVa<180。時(shí)，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)F,請(qǐng)?jiān)?/p>

圖（3）中補(bǔ)全圖形，并求出當(dāng)AF=l+y⑤時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【課堂鞏固】

在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線MN過(guò)點(diǎn)A且MN〃BC,過(guò)點(diǎn)B為一銳

角頂點(diǎn)作Rt^BDE,ZBDE=90°,且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1,DE與AC

交于點(diǎn)P，易證：BD=DP.（無(wú)需寫證明過(guò)程）

（1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如

果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無(wú)

需證明.

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖形變換（5）

【典例分析】

1.如圖，在等邊AABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD,作NADN=60。，直線DN交射線AB

于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF〃AB交直線DN于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，NNDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF+BE=CD：

（提示：過(guò)點(diǎn)F作FM〃BC交射線AB于點(diǎn)M.）

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，NNDB為銳角時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延

長(zhǎng)線上，NNDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫出線段CF,BE,CD之間的數(shù)量關(guān)

系，不需要證明；

（3）在（2）的條件下，若NADC=30。，SAM=4?,則BE=,CD=.

2.將一副三角尺（在RtaABC中，ZACB=90°,ZB=60°；在Rt4DEF中，NEDF=90°,

/E=45。）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P,DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（1）求NADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將4DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角a（（T<a<60。），此時(shí)的等腰直角三

角尺記為DE，交AC于點(diǎn)M,DP交BC于點(diǎn)N,試判斷目的值是否隨著a的

CN

變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出型的值：反之，請(qǐng)說(shuō)明理由.

CN

圖①圖②

【課堂鞏固】

數(shù)學(xué)活動(dòng)-求重疊部分的面積

(1)問(wèn)題情境：如圖①，將頂角為120。的等腰三角形紙片(紙片足夠大)的頂點(diǎn)P與

等邊AABC的內(nèi)心0重合，已知0A=2,則圖中重疊部分4PAB的面積為.

(2)探究1：在(1)的條件下，將紙片繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，紙片兩邊分別

與AC,AB交于點(diǎn)E,F,圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相

等？如果相等，請(qǐng)給予證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)探究2：如圖③，若NCAB=a(0o<a<90°),AD為NCAB的角平分線，點(diǎn)P在射線

AD上，且AP=2,以P為頂點(diǎn)的等腰三角形紙片(紙片足夠大)與NCAB的兩邊

AC,AB分別交于點(diǎn)E、F,ZEPF=180°-a,求重疊部分的面積.(用a或?yàn)醯娜?/p>

2

函數(shù)值表示)

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖像信息（1）

【典例分析】

1.如圖12,某容器由A、B、C三個(gè)長(zhǎng)方體組成，其中A、B、C的底面積分別為25cm2、

10-'向C的容積是容器容積畤（容器各面的厚度忽略不計(jì)）.現(xiàn)以速度v（單

位：cm7s）均勻地向容器注水，直至注滿為止.圖11是注水全過(guò)程中容器的水面高

度h（單位：cm）與注水時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)圖象.

⑴在注水過(guò)程中，注滿A所用時(shí)間為s,再注滿B又用了s；

⑵求A的高度％及注水的速度v；

⑶求注滿容器所需時(shí)間及容器的高度.

2.甲、乙兩人從少年宮出發(fā)，沿相同的路線分別以不同的速度勻速跑向體育館，甲先跑

一段路程后，乙開始出發(fā)，當(dāng)乙超出甲150米時(shí)，乙停在此地等候甲，兩人相遇后乙

又繼續(xù)以原來(lái)的速度跑向體育館。圖14是甲、乙兩人在跑步的全過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程y

（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象。

（1）在跑步的全過(guò)程中，甲共跑了一米，甲的速度為一米/秒；

（2）乙跑步的速度是多少？乙在途中等候甲用了多長(zhǎng)時(shí)間？

(3)甲出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間第一次與乙相遇？此時(shí)乙跑了多少米？

【課堂鞏固】

一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā).設(shè)慢車行駛的時(shí)

間為x(h),兩車之間的距離為y(km),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.根

據(jù)題中所給信息解答以下問(wèn)題：

(1)甲、乙兩地之間的距離為km；

圖中點(diǎn)C的實(shí)際意義為：：慢車的速度為

,快車的速度為;

(2)求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍；

(3)若在第一列快車與慢車相遇時(shí)，第二列車從乙地出發(fā)駛往甲地，速度與第一列快車

相同，請(qǐng)直接寫出第二列快車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，與慢車相距200km.

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖像信息(2)

【典例分析】

1.甲、乙兩車從A地將一批物品勻速運(yùn)往B地，甲出發(fā)0.5h后乙開始出發(fā)，結(jié)果比甲

早lh到達(dá)B地.甲車離A地的路程8(km)與行駛的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系，

如圖中線段0P所示；乙車離A地的路程sz(km)與行駛的時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)

系，如圖中線段MN所示，a表示A、B兩地之間的距離.請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解決如下

問(wèn)題：

(1)分別求出線段MN、0P的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出a的值;

(3)設(shè)甲、乙兩車之間的距離為s(km),求s與甲車行駛時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系

式，并求出s的最大值.

2.甲、乙兩車分別從A,B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行.并以各自的速度勻速行駛，甲車途

徑C地時(shí)休息一小時(shí)，然后按原速度繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)B地；乙車從B地直接到達(dá)A

地，如圖是甲、乙兩車和B地的距離y(千米)與甲車出發(fā)時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)圖

象.

(1)直接寫出a,m,n的值；

(2)求出甲車與B地的距離y(千米)與甲車出發(fā)時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式(寫

出自變量x的取值范圍)；

(3)當(dāng)兩車相距120千米時(shí)，乙車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？

【課堂鞏固】

為倡導(dǎo)低碳生活，綠色出行，某自行車俱樂(lè)部利用周末組織“遠(yuǎn)游騎行”活動(dòng).自行車隊(duì)

從甲地出發(fā)，途徑乙地短暫休息完成補(bǔ)給后，繼續(xù)前行至目的地丙地.自行車隊(duì)出發(fā)1小

時(shí)后，恰有一輛郵政車從甲地出發(fā)，沿自行車隊(duì)行進(jìn)路線前往丙地，在丙地完成2小時(shí)裝

卸工作后按原路返回甲地.自行車隊(duì)與郵政車行駛速度均保持不變，并且郵政車行駛速度

是自行車隊(duì)行駛速度的2.5倍.右圖表示自行車隊(duì)、郵政車離甲地的路程y(km)與自行車

隊(duì)離開甲地時(shí)間x(力)的函數(shù)關(guān)系圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息解答下列各題.

(1)自行車隊(duì)行駛的速度是km/h.

(2)郵政車出發(fā)多少小時(shí)與自行車隊(duì)首次相遇？

(3)郵政車在返程途中與自行車隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地多遠(yuǎn)？

135

一白行車隊(duì)

一郵政車

72

033.5x/h

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§圖像信息（3）

【典例分析】

1.已知，A、B兩市相距260千米，甲車從A市前往B市運(yùn)送物資，行駛2小時(shí)在M

地汽車出現(xiàn)故障，立即通知技術(shù)人員乘乙車從A市趕來(lái)維修（通知時(shí)間忽略不計(jì)），

乙車到達(dá)M地后又經(jīng)過(guò)20分鐘修好甲車后以原速原路返回，同時(shí)甲車以原速1.5倍

的速度前往B市，如圖是兩車距A市的路程y（千米）與甲車行駛時(shí)間x（小時(shí)）之

間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問(wèn)題：

（1）甲車提速后的速度是千米/時(shí)，乙車的速度是千米/時(shí)，點(diǎn)C

的坐標(biāo)為；

（2）求乙車返回時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；

（3）求甲車到達(dá)B市時(shí)乙車已返回A市多長(zhǎng)時(shí)間？

2.快、慢兩車分別從相距480千米路程的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，先相向而

行，途中慢車因故停留1小時(shí)，然后以原速繼續(xù)向甲地行駛，到達(dá)甲地后停止行駛:

快車到達(dá)乙地后，立即按原路原速返回甲地（快車掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)），快、慢兩

車距乙地的路程y（千米）與所用時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖，請(qǐng)結(jié)合圖象

信息解答下列問(wèn)題：

（1）直接寫出慢車的行駛速度和a的值；

（2）快車與慢車第一次相遇時(shí)，距離甲地的路程是多少千米？

（3）兩車出發(fā)后幾小時(shí)相距的路程為200千米？請(qǐng)直接寫出答案.

【課堂鞏固】

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時(shí)內(nèi)其血液中酒精含量y（毫克/百

毫升）與時(shí)間x（時(shí)?）的關(guān)系可近似地用二次函數(shù)y=-200x2+400x刻畫：1.5小時(shí)后（包

括1.5小時(shí)）y與x可近似地用反比例函數(shù)y=*（k>0）刻畫（如圖所示）.

x

（1）根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型計(jì)算：

①喝酒后幾時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值為多少？

②當(dāng)x=5時(shí)，y=45,求k的值.

（2）按國(guó)家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時(shí)屬于

"酒后駕駛"，不能駕車上路.參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝

完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請(qǐng)說(shuō)明理由.

九年級(jí)(下)數(shù)學(xué)自助學(xué)稿

主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§閱讀理解(1)

【典例分析】

倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)

新能力的有效途徑.下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成"類比猜想"及后面的

問(wèn)題.

習(xí)題解答：

習(xí)題如圖(1),點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45°,連接EF,則

EF=BE+DF,說(shuō)明理由.

解答：

；正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZADC=ZB=90",

把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADE，，點(diǎn)F、1)、E，在一條直線上.

NE'AF=90°-45°=45°=NEAF,

XVAE^AE,AF=AF

.,.△AET^AAEF(SAS)

.,.EF=E'F=DE'+DF=BE+DF.

習(xí)題研究

觀察分析：觀察圖(1),由解答可知，該題有用的條件是①ABCD是四邊形，點(diǎn)E、F分

別在邊BC、CD上；②AB=AD；(3)ZB=ZD=90°；(4)ZEAF=lzBAD.

類比猜想：

(1)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD±,當(dāng)AB=AD,NB=ND時(shí)，還有

EF=BE+DF嗎？

研究一個(gè)問(wèn)題，常從特例入手，請(qǐng)同學(xué)們研究：如圖(2),在菱形ABCD中，點(diǎn)E、

F分別在BC、CD上，當(dāng)NBAD=120。，NEAF=60。時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？

(2)在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD,NB+ND=180,ZEAF

=』/BAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？

2

歸納概括：反思前面的解答，思考每個(gè)條件的作用，可以得到一個(gè)結(jié)論"EF=BE+DF"的一般

命題：________________________________________________________________________

【課堂鞏固】

如圖1,拋物線y=ax?+bx+c(a>0)的頂點(diǎn)為M,直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于

點(diǎn)A,B,若AAMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A,B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB

圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線

段AB的距離稱為碟高.

(1)拋物線y=°x2對(duì)應(yīng)的碟寬.為______；拋物線y=4x?對(duì)應(yīng)的碟寬為_______；拋物線

2

y=ax2(a>0)對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=a(x-2)2+3(a>0)對(duì)應(yīng)的碟寬

為;

(2)拋物線y=ax，-4ax-至(a>0)對(duì)應(yīng)的碟寬為6,且在x軸上，求a的值；

3

(3)將拋物線丫=鰭4而+g(a>0)的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為F.(n=l,2,3...),定義F”

F2，…，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比.若F.與R-的相似比為工，

且F”的碟頂是Fi的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將(2)中求得的拋物線記為力，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)

蝶形記為F,.

①求拋物線火的表達(dá)式；

②若用的碟高為X,F2的碟高為hz,...F0的碟高為h?,則hn=,F”的碟

寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為;F,,F”的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線

上？若是，直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

準(zhǔn)碟形.口仍

備用圖

圖1

九年級(jí)(下)數(shù)學(xué)自助學(xué)稿

主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§閱讀理解(2)

【典例分析】

如圖，拋物線y=ax、2ax(a<0)位于x軸上方的圖象記為Fl,它與x軸交于Pl、0兩

點(diǎn)，圖象F2與F1關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，F(xiàn)2與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為P2,將F1與F2同時(shí)沿x

軸向右平移P1P2的長(zhǎng)度即可得到E3與E4；再將E3與F4同時(shí)沿x軸向右平移P12P的長(zhǎng)

度即可得到F5與F6；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象F1,

F2,…，F(xiàn)n.我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”.

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，

①求圖象F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)H(2014,-3)(填唯”或“不在”)該“波浪拋物線”上；若圖象Fn

的頂點(diǎn)Tn的橫坐標(biāo)為201,則圖象Fn對(duì)應(yīng)的解析式為,其

自變量x的取值范圍為.

(2)設(shè)圖象Fn、Fn+1的頂點(diǎn)分別為Tn、Tn+1(m為正整數(shù))，x軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

(12,0).試探究：當(dāng)a為何值時(shí)，以0、Tn,Tn+1,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩

形？并直接寫出此時(shí)m的值.

備用圖

【課堂鞏固】

在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)"，例如點(diǎn)(-

1,-1),(0,0),(V2-&)，…都是"夢(mèng)之點(diǎn)"，顯然，這樣的"夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè).

(1)若點(diǎn)P(2,m)是反比例函數(shù)y=E(n為常數(shù)，n#0)的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)"，求這個(gè)

x

反比例函數(shù)的解析式；

(2)函數(shù)y=3kx+s-l(k,s是常數(shù))的圖象上存在"夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出"夢(mèng)之

點(diǎn)"的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若二次函數(shù)y=ax?+bx+l(a,b是常數(shù)，a>0)的圖象上存在兩個(gè)不同的"夢(mèng)之點(diǎn)"A

(xi,Xi),B(X2,X2),且滿足-2<xi<2,|xi-x?\=2,令t=b"-25+基工試求出

48

t的取值范圍.

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主備：李剛班級(jí)組別姓名

課題：§閱讀理解(3)

【典例分析】

閱讀材料：

如圖1,過(guò)AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距

離叫aABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在aABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫AABC的“鉛垂

高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：SMBC=^ah,即三角形面積等于

水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問(wèn)題：

如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.

(1)求拋物線和直線AB的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C

時(shí)，求ACAB的鉛垂高CD及5“^；

9

(3)是否存在一點(diǎn)P,使SAPAB=—SACAB,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

8

由.

【課堂鞏固】

(1)閱讀理解

已知：如圖1,中，是中線，點(diǎn)戶在/〃上，BP、)的延長(zhǎng)線分別交必AB于E、

E求證：EF〃BC.

圖1

證明：如圖2,)交/〃于G過(guò)戶作分別交力反/C于以N,

PMPN_AP

在劭中，由PM〃即,得到———,同理

BDAD~DC-AD

因?yàn)榕吻兴訮M=PN.

PMPF「由PEPN

在△FBC中，由PM〃BC,所以——=——，同理一=

BCCFEBBC

.PFPEPEPF

"FC~IBE"TB~TC'

,:NEPF=ZBPC,所以△EPFsaCPB,所以/FEP=/PBC,所以EF〃BC.

(2)逆向思考

在△?!比中，，在況1上，點(diǎn)尸在4〃上，BP、h的延長(zhǎng)線分別交/GAB于E、F,如果哥1

〃BC.那么〃是和中點(diǎn).請(qǐng)你給出證明.

(3)知識(shí)應(yīng)用

①如圖3直線a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一組平行線，46在直線g上，請(qǐng)你用無(wú)

刻度的直尺利用現(xiàn)有平行線作出線段AB的中點(diǎn).并作簡(jiǎn)要的畫圖說(shuō)明.

②如圖4直線a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一組平行線，點(diǎn)P不在這些直線上，點(diǎn)4

在直線g上，點(diǎn)B在直線c上，請(qǐng)你用無(wú)刻度的直尺利用現(xiàn)有平行線作出過(guò)點(diǎn)尸的直線

如平行于AB.并作簡(jiǎn)要的畫圖說(shuō)明.

a--------------------------------a

--------------------------------b--------------------------------b

B

---------------------------------------------------C

-T---1-----------------------------------------汗c