卷04（北京卷）-2021屆高考數(shù)學沖刺模擬測試卷（解析版）

卷04（北京卷數(shù)學）-2021屆高考數(shù)學沖刺模擬測試卷

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中,

選出符合題目要求的一項。

若集合2則

1.A={xeZ|-l<x<2},B={X|X-2X=0},AB=（）

A.{0}B.{0,1}C,{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

【答案】C

【分析】

化筒集合，再求并集即可.

【詳解】

A={0,l},8={0,2}AB={0,l,2}

故選：C

【點睛】

本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.若復數(shù)z滿足二=i,則z對應的點位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】

利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)z,確定對應復平面的點，即可得出答案.

【詳解】

Z=i（l+i）=-1+i,其對應復平面的點為（一1,1）,在第二象限

故選：B

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)的四則運算以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.圓（x-iy+y2=2的圓心到直線x+y+l=O的距離為（）

A.2B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】

由圓的方程得出圓心坐標，利用點到直線的距離公式得出答案.

【詳解】

圓（x-1了+V=2的圓心坐標為（1,0）

I1+0+1IFT

則圓心（1,0）到直線x+y+1=0的距離d=,-二_=V2

VI2+12

故選：B

【點睛】

本題主要考查了點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題.

4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

,1

A.y=-jc+2B.y=2~xC.y=lnxD.y=-

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性對4個選項一一判斷，即可得出答案.

【詳解】

2

由基本函數(shù)的性質(zhì)得：y=—V+2為偶函數(shù)，丁=2-'為非奇非偶函數(shù)，y=lnx為非奇非

偶函數(shù)，y=：為奇函數(shù)，且在區(qū)間（O,"）上單調(diào)遞減.

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題目.

5.已知圓C與圓（萬-1）2+丁=1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程為（）

A.x2+y2=lB.?+（y+l）2=l

C.Jt2+（y-l）2-lD.（x+l）2+y2=i

【答案】D

【分析】

利用對稱性，可得點。坐標以及圓c的半徑，然后可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：圓C的圓心。（一1,0）,半價為1,所以圓C的方程為：（x+iy+y2=l

故選：D

【點睛】

本題考查圓的方程，直觀形象，簡單判斷，對圓的方程關(guān)鍵在于半徑和圓心，屬基礎(chǔ)題.

6.“割圓術(shù)”是我國古代計算圓周率乃的一種方法.在公元263年左右，由魏晉時期的數(shù)學家

劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求4.當時劉微就

是利用這種方法，把R的近似值計算到3.1415和3.1416之間，這是當時世界上對圓周率左

的計算最精確的數(shù)據(jù).這種方法的可貴之處就是利用已知的、可求的來逼近未知的、要求的,

用有限的來逼近無窮的.為此，劉微把它概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不

可割，則與圓合體，而無所失矣這種方法極其重要，對后世產(chǎn)生了巨大影響，在歐洲，這

種方法后來就演變?yōu)楝F(xiàn)在的微積分.根據(jù)“割圓術(shù)”，若用正二十四邊形來估算圓周率乃，則乃

的近似值是（）（精確到（）.01）（參考數(shù)據(jù)sin15°?0.2588）

S26￥

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34

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O

A.3.05B.3.

c1D4

3.13.

【分析】

假設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形，頂

角為隨，計算正二十四邊形的面積，然后計算圓的面積，可得結(jié)果.

24

【詳解】

設(shè)圓的半徑為r,

以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形且頂角為也=15

24

1,

所以正二十四邊形的面積為24?一"?r?sinl5=12戶sinl5

2

所以12/sin15=%r2=%=5sinl5?3.11

故選：c

【點睛】

本題考查分割法的使用，考驗計算能力與想象能力，屬基礎(chǔ)題.

7.已知點A（2,a）為拋物線y2=4x圖象上一點，點尸為拋物線的焦點，則目等于（）

4

A.3B.2V2C.2D.V2

【答案】A

【分析】

由拋物線焦半徑公式可直接求得結(jié)果.

【詳解】

由拋物線方程知：F(1,O),.'.|AF|=2+1=3.

故選：A.

【點睛】

本題考查拋物線焦半徑的求解，關(guān)鍵是熟練應用拋物線的定義得到焦半徑公式.

8.若函數(shù)〃x)=sin2x的圖象向右平移2個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)

在區(qū)間［0,可上單調(diào)遞增，則a的最大值為()

5不n7兀2乃

A.----B.—C.----D.—

122123

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)平移變換可求得g(x),利用代入檢驗的方式得到整體的范圍，根據(jù)正

弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】

/(X)向右平移?個單位得：^(x)=/X--=sin2x~~,

1兀萬冗

當x￡r［0,a］時，2天一耳￡——,2a——,

33

g(x)在［0,a］上單調(diào)遞增，.，.一耳v2a—］K］,解得：0<〃<法",

???”的最大值為一.

12

故選：A.

【點睛】

本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，涉及到三角函數(shù)的平移變換問題;

關(guān)鍵是能夠熟練應用整體對應的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

9.如圖，陰影表示的平面區(qū)域W是由曲線x-y=O,/+：/=2所圍成的.若點P（x,y）

在W內(nèi)（含邊界），則z=4x+3y的最大值和最小值分別為（）

A.5VLTB.572--572C.7,-572D.7,-7

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)目標函數(shù)表示直線，結(jié)合圖象確定可行域，確定最優(yōu)解，即得結(jié)果.

【詳解】

41_4

目標函數(shù)z=4x+3y化為：y=--x+-z,回出y=的圖象，并平移，如圖，

當平移到與圓相切時，目標函數(shù)在y釉上的截距最大，由圓心0到直線z=4x+3y距離d

=H=|=V2.得z的最大值為5JL

6

冗一y=0

當平移到直線與圓的交點B時，目標函數(shù)在y軸上的截距最小，由+得B點坐

標為(-1,—1),所以，z的最小值為一7,

故選：A

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基本題.

「9~

10.函數(shù)/(x)=x,g(x)=%2-x+2.若存在百,工2,…,X”C0,-，使得

〃與)+/(%2)+…+/(/T)+g(x.)=g(%)+g(W)++g(x.T)+/(X")，則〃的最

大值是()

A.8B.1]C.14D.18

【答案】C

【分析】

「9

令7?(%)=/-2*+2,原方程可化為存在芯,々，…,X”e0,-,使得

為(％)+/?(W)+…+〃(4_1)=7?(玉)，算出左側(cè)的取值范圍和右側(cè)的取值范圍后可得〃的

最大值.

【詳解】

-9一

因為存在玉,刀2,…,X”€0,-,

使得/(x)+/(w)+…+/(x,i)+g(x,J=ga)+g(w)++g(ZT)+/(x”)，

故片-2x,+2++x：i-2x〃[+2=x；—2x+2.

「9l53

令〃(%)=幺-2x+2,xe0,—,則14〃(％)4彳，

5353

故〃一1<x；—2玉+2++—2xn_t+2<—(/?-1),因為

53

—,故〃皿=14?

故選：C.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的最值，注意根據(jù)解析式的特征把原方程合理整合，再根據(jù)方程有解得到

〃滿足的條件，本題屬于較難題.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.在等差數(shù)列｛叫中，=3,?2+?5=16,則數(shù)列｛%｝的前4項的和為.

【答案】24

【分析】

利用等差數(shù)列基本量關(guān)系求通項.利用等差數(shù)列前〃項和公式求出s?.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為

%+%=16,4+d+4+4d=16,4=3,

:.d=2,\=4+(〃-l)d=3+(〃-1)?22〃+1,

8

=4（…）=g=24.

422

故答案為：24

【點睛】

本題考查解決等差數(shù)列通項公式及前〃項和S“.

（1）等差數(shù)列基本量計算問題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題，主要圍繞著通項

公式4=4+（〃—l）d和前〃項和公式S”=幽詈1=〃4+四產(chǎn)■,在兩個公式中共

涉及五個量：%,d,n,an,S?,已知其中三個量，選用恰當?shù)墓剑梅匠蹋ńM）可求出

剩余的兩個量.

12.能夠說明“設(shè)。，匕是任意非零實數(shù)"，若"a＞b,則工＜?”是假命題的一組整數(shù)a,匕的

ab

值依次為.

【答案】2,一1；（答案不唯一）

【分析】

取。=2/=-1,再使用反證法即可得出答案.

【詳解】

取。=2,6=-1,則。＞匕，但是，＞—,即一＞—.

2-1ab

故答案為：2,-1.

【點睛】

本題考查了真假命題的定義及反例的應用，屬于基礎(chǔ)題目.

13.長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，

記者采訪隊長時詢問這個團隊的構(gòu)成情況，隊長回答：“（1）有中學高級教師；（2）中學教

師不多于小學教師；（3）小學高級教師少于中學中級教師；（4）小學中級教師少于小學高級

教師；（5）支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級；（6）無論是否

把我計算在內(nèi)，以上條件都成立.”由隊長的敘述可以推測出他的學段及職稱分別是—.

【答案】小學中級

【分析】

設(shè)小學中級、小學高級、中學中級、中學高級人數(shù)分別為a,b,Gd，根據(jù)條件列不等式組,

推出a,bed取法，根據(jù)取法推測隊長的學段及職稱.

【詳解】

設(shè)小學中級、小學高級、中學中級、中學高級人數(shù)分別為

則a+6+c+d=13,dNl,c+d?a+b,b<c,a<6

所以13—（。+方）Wa+）,：.。+方27,c+dW6,

若。+0=7,則。+”=6,a<b:.a=3,b=4,c=5,d=1,

若。+匕28,則c+dW5,</>1c<4,匕（c.?.匕《3,a25）。矛盾

隊長為小學中級時，去掉隊長則a=2/=4,c=5,d=l,

滿足d=\>\,c+d=6<a+b=4,b=4<c=5,a—2<b=4-

隊長為小學高級時，去掉隊長則a=3,〃=3,c=5,d=l,不滿足。<匕；

隊長為中學中級時，去掉隊長則a=3,b=4,c=4,"=l,不滿足8<c；

隊長為中學高級時，去掉隊長則。=3,匕=3,c=5,Q=0,不滿足dNl；

綜上可得隊長為小學中級.

【點睛】

本題考查不等式性質(zhì)，考查論證推理能力，屬難題.

14.二項式（2x—的展開式共有7項，則〃=；常數(shù)項為

10

【答案】6-160

【分析】

由展開式的項數(shù)可確定〃=6,令展開式通項中的x的幕指數(shù)等于零可求得乙代入展開式

的通項公式可求得常數(shù)項.

【詳解】

(1Y

2x--展開式共有7項，.?.〃=6；

2x——展開式的通項公式為=最(2x)6-'(_1)，.26-「瑪聲2「

令6—2廠=0,解得：r=3,

2x--展開式的常數(shù)項為n=-23(^=-160.

Ix)

故答案為:6；-160.

【點睛】

本題考查利用二項式定理求解指定項的問題，涉及到根據(jù)展開式的項數(shù)求解某指數(shù)的問題;

關(guān)鍵是熟練掌握二項展開式通項公式的形式.

ln(x+2),x>—1,

15.設(shè)函數(shù)={,當/(&)=-1時，。=—；如果對于任意的xeR

-2.x-4,x<—1.

都有f(x)N)，那么實數(shù)b的取值范圍是一.

3

【答案】一7(一°0,-2]

2

【分析】

由分段函數(shù)解方程可得〃的值；由對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得/(x)的值域，由不

等式恒成立思想可得匕的范圍.

【詳解】

若論一1,則有l(wèi)n（〃+2）=—l,解得：a=—2<—1,不符；

3

若aV—1,則有一2a—4=-1,解得：a=<—I,符合題意，

2

3

所以，a=——；

2

畫出函數(shù)的圖象，由圖可知/（X）的值域為（-2,+00）,對于任意的x￡R都有/CO>bf

則有匕<〃）而，所以，b<-2

3

故答案為一5，（-8,-2].

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的運用：求自變量和值域，考查不等式恒成立問題的解法，考查運算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.（本小題13分）

已知銳角ABC,同時滿足下列四個條件中的三個：

jr1

①4=—②a=13③c=15④sinC=-

33

（1）請指出這三個條件，并說明理由；

（2）求ABC的面積.

12

【答案】（1）ABC同時滿足①，②，③，理由見解析.（2）3M

【分析】

（1）判斷三角形的滿足條件，推出結(jié)果即可.

（2）利用余弦定理求出b,利用面積公式求解ABC的面積.

【詳解】

（1）ABC同時滿足①，②，③.

理由如下：

若A3C同時滿足①，④，則在銳角ABC中，

sinC=-<-,所以（）<C（工

326

,JIJrI'ft

又因為A=K，所以=<A+C<K所以5>—,這與ABC是銳角三角形矛盾，

3322

所以A3C不能同時滿足①，④，所以A3C同時滿足②，③.

因為c>a所以C〉A(chǔ)若滿足④.

TTTT

則A<C<7?，則8>—,這與A3C是銳角三角形矛盾.故A3C不滿足④.

62

故A3C滿足①，②，③.

（2）因為儲=/+。2一2bccosA，所以132=尸+152-2xbxl5x；.

解得〃=8或8=7.

724-132-152

當b=7時，cosC=———<0.所以C為鈍角，與題意不符合，所以6=8.

2x7x13

所以ABC的面積S=L/?csinA=30j^.

2

【點睛】

本題主要考查解三角形中余弦定理的應用及面積公式的應用，屬于中檔題目.

17.(本小題13分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA_L平面ABCD,E、F分別是BC,

PC的中點，AB=2,AP=2,.

(1)求證：3。_L平面PAC；

(2)求二面角E—AE—C的大小.

【答案】(I)見解析(2)；

6

【詳解】

PA±平面ABC。=>PA±BD

(1)正方形46C￡>nAC_LB￡>

=>80,平面P4C

(2)以A為原點，如圖所示建立直角坐標系

A(0,0,0)￡(2,l,0)F(l,l,l)

AE=(2,l,0)AF=(l,l,l)"

14

2x+y=0

設(shè)平面FAE法向量為n=(x,y,z)，則｛

x+y+z=0

n=(l,-2,l),BD=(-2,2,0)，

n-BD2+4V3

COSen=---------=-L尸=——

\n\\BD\2yj2y2

.?.。=生，即二面角E—AF-C的大小為￡

66

18.(本小題14分)

為了提高學生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個年級共336名學生同時參與了“我運動，我

健康，我快樂”的跳繩、踢鍵等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況，采用分層抽樣

的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取7名和5名學生進行測試.下表是高二年級的

5名學生的測試數(shù)據(jù)(單位：個/分鐘)：

學生編號12345

跳繩個數(shù)179181168177183

踢犍個數(shù)8578797280

(1)求高一、高二兩個年級各有多少人？

(2)設(shè)某學生跳繩6個/分鐘，踢健〃個/分鐘.當機2175,且〃275時，稱該學生為“運動

達人”.

①從高二年級的學生中任選一人，試估計該學生為“運動達人''的概率；

②從高二年級抽出的上述5名學生中，隨機抽取3人，求抽取的3名學生中為“運動達人”的

人數(shù)4的分布列和數(shù)學期望.

39

【答案】(1)196人，140人；⑵①二；②分布列見解析，￡?)=-

【分析】

⑴按照比例求解即可；

(2)①根據(jù)題意找出高二學生中的“運動達人”的個數(shù)，根據(jù)概率公式即可求解；

②找出4可能的取值，算出相應的概率，列出分布列，即可得到J的期望.

【詳解】

(1)設(shè)高一年級有a人，高二年級有6人.

有，=』

采用分層抽樣,L=，±

3361233612

所以高一年級有196人，高二年級有140人.

(2)從上表可知，從高二抽取的5名學生中，編號為1,2,5的學生是“運動達人”.

3

故從高二年級的學生中任選一人，該學生為“運動達人”的概率估計為二.

(3)J的所有可能取值為L2,3.

r'C23C2cl3C31

—D=—太=《"3)=才歷

所以J的分布列為

123

331

P

10510

3319

故4的期望49=1'6+2、彳+3、6=1.

JLV/。JLV_z?7

【點睛】

本題主要考查了分層抽樣各層個數(shù)的求法以及求離散型隨機變量的均值，屬于中檔題.

19.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=lnx---1.

(1)若曲線y=/(x)存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求“X)的單調(diào)區(qū)間;

16

Y*_i_a

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=三求證：當一l<a<0時,g(x)在(1,內(nèi))上存在極小值.

【答案】(1)(—,0).(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【詳解】

試題分析：

(1)求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為必+%+4=0存在大于0的實數(shù)根，根據(jù)y=d+x+a

在x〉0時遞增，求出。的范圍即可；

(2)求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論。的范圍，判斷導數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(3)求出函數(shù)g(x),根據(jù)/(e)=-?>0,得到存在％w(l,e),滿足g'(%o)=O,從而

讓得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，證處結(jié)論即可.

試題解析：

(1)由/(x)=lnx_?_l得/(x)=J+/=^^(x>0).

由已知曲線y=/(x)存在斜率為-1的切線，所以/。)=-1存在大于零的實數(shù)根，

即V+%+a=0存在大于零的實數(shù)根，因為y=d+%+。在%>0時單調(diào)遞增，

所以實數(shù)a的取值范圍(-8,0).

(2)由/'(*)=史",%>0,4€7?可得

當。2()時，/'(x)>0,所以函數(shù)“X)的增區(qū)間為(0,+8);

當"0時，若xe(-a,+oo),/'(x)>0,若xe(0,-a),/'(x)<0,

所以此時函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一。,田)，減區(qū)間為(0,一。).

,a1

x+aInx----1

(3)由g(x)=x

Inxzw

(叫2

由一1<"0可得0<—a<l,由⑵可知函數(shù)在(-凡物)上遞增,

所以7(1)=一取x=e，顯然e>l,

/(e)=ln￡----l=-->0,所以存在玉w(l,e)滿足/(玉))=0,即存在與e(l,e)滿足

g'(xo)=O,所以g(x),g'(x)在區(qū)間(1,+oo)上的情況如下：

x(l,x0)xQ(x0,+oo)

g'(x)-0+

g(x)、極小/

所以當-1<av0時,g(x)在(1,+00)上存在極小值.

點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知

識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向

及命題角度從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的

幾何意義，往往與解析兒何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；

已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形

結(jié)合思想的應用.

20.(本小題15分)

已知橢圓C：f+3y2=6的右焦點為尺

(1)求點尸的坐標和橢圓C的離心率；

(2)直線/:y=反+0)過點尸，且與橢圓C交于P,Q兩點，如果點P關(guān)于x軸的

對稱點為P，判斷直線戶。是否經(jīng)過x軸上的定點，如果經(jīng)過，求出該定點坐標；如果不經(jīng)

過，說明理由.

【答案】(1)焦點尸(2,0),離心率e=曰(2)是過x軸上的定點；定點(3,0)

【分析】

18

（1）由橢圓的標準方程即可得出;

（2）直線/:丁=依+加化wO）過點凡可得/:y=Z（x-2）,代入橢圓的標準方程可得：

（342+1卜2_]2左28+12公一6=0.（依題意4〉0）.設(shè)P（XQJ,。（々，乂），可得根與

系數(shù)的關(guān)系，點P關(guān)于x軸的對稱點為尸’，則P（玉,-x）.可得直線P0的方程可以為

丁+凹=生生（》一百），令y=0,x=&"-十九+%=+石必，把根與系數(shù)的關(guān)

馬一百y+%乂+%

系代入化簡即可得出.

【詳解】

22

（1）橢圓。：二+二=1,.?"2=/—〃=4,解得C=2,

62

???焦點尸（2,0）,離心率e邛.

（2）直線/:y=^r+m（左H0）過點凡

:.m=-2k,:.l:y=k（x-2）.

由一+3；V—，，得（3左2+1卜2_]2左2X+]2左2一6=0.（依題意/>0）.

y=k[x-2）'7

設(shè)P@，x）,Q（肛％），則，當飛二空1-

3K十13K十1

點P關(guān)于無軸的對稱點為P,則P（%,一%）.

直線P'Q的方程可以設(shè)為y+y=??（x—x）,

令y=0,.出口b+―X+—

■y+為X+%

kx2（xt-2）+（x2-2）2%也一2（為+%）

k（^x]+x2—4）+x2—4）

2X^6-2X12公

3A2+1|EZ1=3

12公彳

3FZ1-4

直線P'Q過x軸上定點（3,0）.

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓的離心率、橢圓中的定點問題，考查學生

的數(shù)學運算求解能力，是一道中檔題.

21.（本小題15分）

設(shè)〃為給定的大于2的正整數(shù)，集合S={1,2,已知數(shù)列4：毛滿足

條件:

①當時，x（.e5；

②當14i</4〃時，天工龍八

如果對于14i</4〃，有七〉七，則稱（七,勺）為數(shù)歹U4的一個