高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-復(fù)雜數(shù)列的求和問(wèn)題（原卷版）

一．方法綜述數(shù)列的求和問(wèn)題是數(shù)列高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)列的求和問(wèn)題會(huì)滲透多種數(shù)學(xué)思想，會(huì)跟其他知識(shí)進(jìn)行結(jié)合進(jìn)行考查.因此求解過(guò)程往往方法多、靈活性大、技巧性強(qiáng)，但萬(wàn)變不離其宗，只要熟練掌握各個(gè)類(lèi)型的特點(diǎn)即可.在考試中時(shí)常會(huì)考查一些壓軸小題，如數(shù)列求和中的新定義問(wèn)題、子數(shù)列中的求和問(wèn)題、奇偶性在數(shù)列求和中的應(yīng)用、周期性在數(shù)列求和中的應(yīng)用、數(shù)列求和的綜合問(wèn)題中都有所涉及，本講就這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行分析.二．解題策略類(lèi)型一數(shù)列求和中的新定義問(wèn)題【例1】【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三上學(xué)期月考（四)】對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A．2022B．1011C．2020D．1010【指點(diǎn)迷津】1.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.2.解決此類(lèi)問(wèn)題的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特點(diǎn)，找到突破口；（2）盡管此類(lèi)題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法.所以在考慮問(wèn)題時(shí)也要向一些基本知識(shí)點(diǎn)靠攏，弄清本問(wèn)所考察的與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)，以便找到一些線(xiàn)索.（3）在分類(lèi)討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡(jiǎn)單的情況入手，可能在解決的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循.【舉一反三】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為數(shù)列前項(xiàng)的疊加和，若2016項(xiàng)數(shù)列的疊加和為2017，則2017項(xiàng)數(shù)列的疊加和為()A.2017B.2018C.D.類(lèi)型二子數(shù)列中的求和問(wèn)題【例2】已知有窮數(shù)列中，，且，從數(shù)列中依次取出構(gòu)成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則（）A.B.C.D.與的大小關(guān)系不確定【指點(diǎn)迷津】一個(gè)數(shù)列中某些項(xiàng)的求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于弄清楚新的數(shù)列的形式，了解其求和方法.【舉一反三】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和為，則使得的最小正整數(shù)的值為（）A.B.C.D.類(lèi)型三奇偶性在數(shù)列求和中的應(yīng)用【例3】【福建省2019屆高三模擬】已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________（用表示）.【指點(diǎn)迷津】數(shù)列求和中遇到，，都會(huì)用到奇偶性，進(jìn)行分類(lèi)討論.再采用分組轉(zhuǎn)化法求和或者并項(xiàng)求和的方法，即通過(guò)兩個(gè)一組進(jìn)行重新組合，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型還有分段型（如）及符號(hào)型（如）【舉一反三】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,則______類(lèi)型四周期性在數(shù)列求和中的應(yīng)用【例4】數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為_(kāi)_________．【指點(diǎn)迷津】本題主要考查數(shù)列的周期性，數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的子集的函數(shù)，因此數(shù)列具有函數(shù)的部分性質(zhì)，本題觀察到條件中有，于是考慮到三角函數(shù)的周期性，構(gòu)造，周期為4，于是研究數(shù)列中依次4項(xiàng)和的之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列求和問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題要求具有觀察、猜想、歸納能力，將抽象數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問(wèn)題.【舉一反三】已知數(shù)列2008，2009，1，，若這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2019項(xiàng)之和______．類(lèi)型五數(shù)列求和的綜合問(wèn)題【例5】【上海市青浦區(qū)2019屆高三二模】等差數(shù)列,滿(mǎn)足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【指點(diǎn)迷津】先根據(jù)題意可知中的項(xiàng)有正有負(fù)，不妨設(shè)，根據(jù)題意可求得，根據(jù)，去絕對(duì)值求和，即可求出結(jié)果.【舉一反三】1.【新疆烏魯木齊市2019屆高三一?！恳阎獢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，，（），若對(duì)任意的，恒成立，則的最小值為_(kāi)____.2.【湖北省宜昌市2019屆高三年級(jí)元月調(diào)考】已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為.若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________．三．強(qiáng)化訓(xùn)練1.【山東省日照一中2019屆高三11月統(tǒng)考模擬】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意R都有，則=A．B．C．D．2.【四川省涼山州2019屆高三二診】我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（）A． B． C． D．3.【安徽省合肥市2019屆高三第二次檢測(cè)】“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類(lèi)數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的.若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則的值為（）A．7 B．8 C．9 D．104．己知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則數(shù)列的前2018項(xiàng)的和等于A．B．C．D．5.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公差為d，其前n項(xiàng)和為，若直線(xiàn)y＝x＋m與圓(x－2)＋y＝1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＋y－d＝0對(duì)稱(chēng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A．B．C．D．26．【山東省濟(jì)南市歷城第二中學(xué)2019接高三11月月考】定義函數(shù)如下表，數(shù)列滿(mǎn)足，.若，則（）A．7042B．7058C．7063D．72627．【吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆高三期末】設(shè)數(shù)列中，若，則稱(chēng)數(shù)列為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列為“凸數(shù)列”，且，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為（）A．1B．C．D．8．【河北省武邑中學(xué)2019屆高三（上)期中】數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行1項(xiàng)，排；第二行2項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行排3項(xiàng)，依此類(lèi)推設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿(mǎn)足的最小正整數(shù)n的值為A．20B．21C．26D．27二、填空題9.【寧夏銀川一中2019屆高三一模】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足,且.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)_____．10．在如圖所示數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)表中第n行第n列的數(shù)為，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為_(kāi)_____．11．【湖南省株洲市2019屆高三統(tǒng)一檢測(cè)（一)】數(shù)列的首項(xiàng)為1，其余各項(xiàng)為1或2，且在第個(gè)1和第個(gè)1之間有個(gè)2，即數(shù)列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．（用數(shù)字作答）12．【湖南省湘潭市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．13．【安徽省宣城市2019屆高三第二次調(diào)研】數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則_________.14．【江蘇省常州市2019屆高三上期末】數(shù)列滿(mǎn)足，且數(shù)列的前項(xiàng)