人教版講義九年級(jí)第二十一章一元二次方程21.3實(shí)際問題與一元二次方程

/合作探究探究點(diǎn)1數(shù)字問題情景激疑一個(gè)兩位數(shù)如何表示？三位數(shù)呢？你能得到什么規(guī)律呢？知識(shí)詳解個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)為b,那么這兩位數(shù)表示為10b+a.注意：a,b必須都是正整數(shù),a可為0.典例剖析例一：一個(gè)兩位數(shù)、十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是6.把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后,所得的新兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的積是1008.求這個(gè)兩位數(shù)。解析：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y.那么這個(gè)兩位數(shù)表示為10y+x.答案：根據(jù)題意可知,106-x+x10x+(6所以,當(dāng)x=2時(shí).6-x=4;當(dāng)x=4時(shí),6-x=2.故這個(gè)兩位數(shù)是42或24.類題突破1一個(gè)兩位數(shù),十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字的平方少9.如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào),得到的兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)小27.求原來的兩位數(shù).答案：設(shè)原兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x,那么十位上的數(shù)字為(x2-9).∴10(x2-9)+x-10x-(x2-9)=27.解得x1=4.x2=-3(不符合題意,舍去)∴x2-9=7.∴原兩位數(shù)為74.點(diǎn)撥：等量關(guān)系為:原來的兩位數(shù)-新兩位數(shù)=27,把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算可得各位上的數(shù)字,根據(jù)兩位數(shù)的表示方法求得兩位數(shù)即可.探究點(diǎn)2(高頻考點(diǎn))增長(zhǎng)率問題情景激疑你知道關(guān)于增長(zhǎng)率的公式嗎?知識(shí)講解增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量原數(shù)量增長(zhǎng)數(shù)量原數(shù)量說明增長(zhǎng)率、成功率、成活率、發(fā)芽率等等都是此類問題,典例剖析例2某商場(chǎng)于第一年年初投入50萬元進(jìn)行商品經(jīng)營(yíng),以后每年年終將當(dāng)年獲得的利潤(rùn)與當(dāng)年年初投人的資金相加所得的總資金作為下一年年初投入的資金繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營(yíng).(1)如果第一年的年獲利率為P,那么第一年年終的總資金是多少萬元?(用代數(shù)式來表示)(注:年獲利率=年利潤(rùn)年初投入資金(2)如果第二年的年獲利率多10個(gè)百分點(diǎn)(即第年的年獲利率是第一年的年獲利率10%的和),第二年年終的總資金為66萬元.求第一年的年獲利率.解析：要分析出內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系,合理利用公式.答案：(1)第一年年終總資金=50(1+P)萬元,(2)50(1+P)(1+P+10%)=66,整理得:P2+2.1P-0.22=0,解得P=10%.或P=-2.2(不合題意,舍去).類題突破2某種商品的進(jìn)價(jià)為a元,商店將價(jià)格提高20%銷售經(jīng)過一段時(shí)間,又以九折的價(jià)格促銷,這時(shí)這種商品的價(jià)格是A.a元B.0.9a元C.1.12a元D.1.08a元答案D點(diǎn)撥第一次定價(jià)為1.2a,再打九折,變?yōu)?.2×0.9a=1.08a.類題突破3某商廈九月份的銷售額為200萬元,十月份的銷售額比九月份的銷售額下降了20%,商廈從十一月份起加強(qiáng)管理,改善經(jīng)營(yíng),使銷售額穩(wěn)步上升,十二月份的銷售額到達(dá)193.6萬元,求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率。答案：設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為x.依題得200×(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+xr)2=1.21.解得x=-1±1.1.即x1=0.1,x2=-2.1(不合題意,舍去).答:這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為10%.點(diǎn)撥此題主要考查增長(zhǎng)率的問題,運(yùn)用增長(zhǎng)率的公式a(1+x)2=b即可解題,關(guān)鍵是弄清公式中各個(gè)字母的意義,結(jié)合題意確定a,b,n的值,此題中a的值容易誤認(rèn)為是200,而實(shí)際上,a的值應(yīng)為200×(1-20%),另外,解出方程后應(yīng)結(jié)合題意合理地對(duì)兩根進(jìn)行取舍。探究點(diǎn)3(高頻考點(diǎn))面積問題情景激疑某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)32米,寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑假設(shè)干條道路,余下局部作草坪,并請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì),現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案(如圖),根據(jù)兩種設(shè)計(jì)的方案列出方程,使圖(1)和圖(2)的草坪總面積均為540平方米,求圖中道路的寬分別是多少.知識(shí)講解根據(jù)題目畫出幾何圖形據(jù)圖形分析后列出方程解決典例剖析例3某村方案建造如下圖的矩形蔬菜溫室,要求長(zhǎng)與寬的比為2:1.在溫室內(nèi),沿前側(cè)內(nèi)墻保存3m寬的空地,其他三側(cè)內(nèi)墻各保存1m寬的通道,當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)與寬各為多少時(shí),疏菜種植區(qū)域的面積是288m2?解析此題有多種解法,設(shè)的對(duì)象不同那么所得一元二次方程不同,根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程求解.答案：解法一:設(shè)矩形溫室的寬為xm,那么長(zhǎng)為2xm.根據(jù)題意,得(x-2)(2x-4)=288.解這個(gè)方程,得x1=-10(不合題意,舍去),x2=14.所以x=14,2x=2×14=28.答:當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)為28m,寬為14m時(shí),蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2解法二：設(shè)矩形溫室的長(zhǎng)為xm,那么寬為12xm根據(jù)題意得(12x-2)〔解這個(gè)方程,得x1=20(不合題意,舍去),x2=28.所以x-28,12答:當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)為28m,寬為14m時(shí),蔬菜種植區(qū)城的面積是288m2.類題突破4如圖,在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上格寬同樣寬的道路(圖中陰影局部),余下的局部種上草坪,求使店坪的面積為540m2時(shí)道路的寬(局部參考數(shù)據(jù):322=1024,522=2704,482=2304)答案：解法一:由題意轉(zhuǎn)化為如圖(1),設(shè)道路寬為xm.根據(jù)題意列出方程為(20-x)(32-x)=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答：道路寬為2m.解法二:由題意轉(zhuǎn)化為圖(2),設(shè)道路寬為xm.根據(jù)題意,列方程得20×32-(20+32)x+x2=540.整理,得x2-52x+100=0.解得x1=50(舍去),x2=2.答:道路寬為2m.點(diǎn)撥此題可設(shè)道路寬為x米,利用平移把不規(guī)那么的圖形變?yōu)橐?guī)那么圖形,進(jìn)而列方程求解探究點(diǎn)4折疊問題情景激疑在折疊紙片時(shí),想一想,應(yīng)注意些什么?知識(shí)講解在折疊問題中,要注意哪些量折疊前后變化了,哪些量沒變化,哪些可以用“平移〞思想。典例剖析例4張大叔從市場(chǎng)上買回一塊矩形鐵皮,他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形后,剩下的局部剛好能圍成一個(gè)容積為15m3的無蓋長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱(如下列圖),且此長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的長(zhǎng)比寬多2m現(xiàn)購(gòu)置這種鐵皮每平方米需20元錢,同張大權(quán)購(gòu)回這張矩形鐵皮共花多少錢?解析：求購(gòu)置鐵皮所花的錢--需求鐵皮的總面積--需求出原矩形鐵皮的長(zhǎng)和寬--需求出長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的長(zhǎng)和寬.設(shè)寬為xm,那么長(zhǎng)為(x+2)m,根據(jù)條件“無蓋長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱的體積為15m3〞,由長(zhǎng)方體的體積公式可列出方程求解。答案：設(shè)這種運(yùn)輸箱的下底寬xm.那么下底長(zhǎng)為〔x+2)m,張大叔購(gòu)回這張矩形鐵皮用20(x+2)(x+4)元,據(jù)題意,得x(x+2)×1=15.整理,得x2+2x-15=0.解得x1=3,x2=5(不合題意,舍去).所以20(x+2)(x+4)=20×5×7=700〔元).答：張大叔購(gòu)置這張矩形鐵皮共花700元錢類題突破5如下列圖,張矩形紙片ABCD,假設(shè)把△ABE沿折痕BE向上解折,使點(diǎn)A恰好落在CD邊上,設(shè)此點(diǎn)是F且這時(shí)AE：ED=5:3.BE=5,DF=4,這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少?答案:AE:ED=5：3設(shè)AE=5x,ED=3x.由折疊的性質(zhì),得△EAB≌△EFB,∴AE=EF=5x在Rt△DEF中,(5x)2-(3x)2=42,解得x1=1,x2=-1(不合題意,舍去)∴DE=3,AE=5,AD=8.在Rt△ABE中,AB=BE2-AE答:矩形的長(zhǎng)、寬分別是10和8.點(diǎn)撥由折疊可知△EAB≌△EFB,設(shè)AE=EF=5x,ED=3x,利用勾股定理可求出x的值,從而求出矩形的長(zhǎng)與寬.重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1形積問題形積問題中的常見類型:(1)利用勾股定理列一元二飲方程求三角形矩形的邊長(zhǎng);(2)利用三角形、矩形菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程;(3)利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系列比例式,通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積,得到一元二次方程.例1用一面墻(墻的長(zhǎng)度不限),另三邊用58m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)面積為200m2的矩形場(chǎng)地,求矩形的長(zhǎng)和寬.解析：設(shè)垂直于墻的一邊為x米,那么鄰邊長(zhǎng)為(58-2x),利用矩形的面積公式列出方程并解答.答案設(shè)垂直于墻的邊為x米,得:x(58-2x)=200.解得:x1=25,或x2=4.∴另一邊為8米或50米.答:當(dāng)矩形長(zhǎng)為25米時(shí),寬為8米;當(dāng)矩形長(zhǎng)為50米時(shí),寬為4米.類題突破1如圖,在長(zhǎng)為10cm,寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形,使得留下的圖形(圖中陰影局部)面積是原矩形面積的80%,求所截去小正方形的邊長(zhǎng).答案設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm由題意,得80-4x2=80%×10×8.∴解得x1=2,x2=-2.經(jīng)檢驗(yàn)x1=2符合題意,x2=-2不符合題意、舍去所以x=2.答:截去的小正方形的邊長(zhǎng)為2cm.點(diǎn)撥等量關(guān)系為:矩形面積-四個(gè)全等的小正方形面積一矩形面積×80%,列方程即可求解.重難點(diǎn)2增長(zhǎng)(降低)率問題列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問題時(shí),要理清原來數(shù)量、后來數(shù)量、增長(zhǎng)率或降低率,以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系,如果列出的方程是元二次方程,那么應(yīng)在原數(shù)的根底上增長(zhǎng)或降低兩次。如增長(zhǎng)率:假設(shè)原數(shù)是a,每次增長(zhǎng)的百分率為x,那么第一次增長(zhǎng)后為a(1+x);第二次增長(zhǎng)后為a(1+x)+a(l+x)x=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2,即原數(shù)×(1+增長(zhǎng)百分率)2=后來數(shù).同理得降低率問題的關(guān)系式:原數(shù)×(1-降低百分率)2=后來數(shù).例2某工廠2019年年初投資100萬元生產(chǎn)某種新產(chǎn)品,2019年年底將獲得的利潤(rùn)與年初的投資之和作為2009年年初的投資,到2009年年底,兩年共獲利潤(rùn)56萬元2009年的年利潤(rùn)率比2019年的年利潤(rùn)率多10個(gè)百分點(diǎn),求2009年的年利潤(rùn)率,解析如果設(shè)2019年的年利潤(rùn)率為x,那么2009年的年利潤(rùn)率為(x+10%),那么2019年年底所獲利潤(rùn)為100x萬元,2009年年初的投資即為(100x＋100)萬元,2009年年底所獲利潤(rùn)為(100x+100)(x+10%)萬元,而兩年共獲利潤(rùn)為56萬元,所以可列出方程,答案：設(shè)2019年的年利潤(rùn)率為x,那么2009年的年利潤(rùn)率為〔x+10%).根據(jù)題意,得100x+(100x+100)(x+10%)=56.整理,得50x2+105x-23=0.解得x1=20%,x2=一230%(不合題意,舍去),所以x+10%=30%.答:2009年的年利潤(rùn)率為30%.類題突破2某商場(chǎng)今年2月份的營(yíng)業(yè)額為400萬元,3月份的營(yíng)業(yè)額比2月份增加10%,5月份的營(yíng)業(yè)額到達(dá)633.6萬元,求3月份到5月份營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)率。答案設(shè)3月份到5月份的營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)率為x。根據(jù)題意,得400(1+10%)(1+x)2=633.6.整理,得(l+x)2=1.44.解得x1=0.2,x2=-2.2(不合題意,舍去).答:3月份到5月份的營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)率為20%.點(diǎn)撥2月份的管業(yè)額為400萬元,3月份的營(yíng)業(yè)額,400〔1+10%)萬元,假設(shè)設(shè)3月份到5月份營(yíng)業(yè)額的平均月增長(zhǎng)為x.那么4月份的營(yíng)業(yè)額為400(1+10%)(1+x)萬元,5月份營(yíng)業(yè)額為400(1+10%(1+x)2萬元,又因“5月份的營(yíng)業(yè)額到633.6萬元〞,于是,列一元二次方程,求解即可.重難點(diǎn)3動(dòng)點(diǎn)問題物體的運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成條痕跡,運(yùn)行的線與其他條件(如作重線段)會(huì)構(gòu)成直角三角形,有時(shí)運(yùn)動(dòng)的物體在海面上或空中,這就要運(yùn)用方向標(biāo),在使用方向標(biāo)時(shí),正確理解和描述運(yùn)動(dòng)物體任某點(diǎn)的準(zhǔn)確位置(包含距離和方向)往往借助方向標(biāo)構(gòu)造直角三角形,因此,我們可運(yùn)用直角形的性質(zhì)列方程求解,例3如圖,在△ABC中,∠B=900,AB=4cm,BC=10m,P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng),問:經(jīng)過多后,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的平方比點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的8倍大1？解析假設(shè)當(dāng)P點(diǎn)移到E點(diǎn)時(shí)可滿足此題的條件,由題意得EA2-8EB=1.答案設(shè)經(jīng)過x秒后,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的平方比點(diǎn)P到B的距離的8倍大1.由題意,得BE=1×x=xcm.AE2=42+x2-8x=1.解得x1=3,x2=5.答:經(jīng)過3秒或5秒后,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的平方比點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的8倍大1.類題突破3如圖,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm,BC=6cm,某時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)過多少時(shí)間,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19答案設(shè)經(jīng)過t秒,S△AMN等于S矩形ABCD的19那么AM=t,AN=6-2t.由題意,得12AN·AM=19即12t·(6-2t)=19×3×6,整理,得t2答：經(jīng)過1秒或2秒時(shí),△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1點(diǎn)撥易得AM.AN的長(zhǎng),利用△AMN的面積等于矩形ABCD面積的,列出等式求解即可.重難點(diǎn)4利潤(rùn)問題在利潤(rùn)問題中,經(jīng)常用到的等展關(guān)系有:單件利潤(rùn)=單件售價(jià)-單件進(jìn)價(jià),總利潤(rùn)=總收入-總本錢或總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)×銷售量,利潤(rùn)率=售價(jià)例4某商店準(zhǔn)備進(jìn)批來節(jié)性小家電,單價(jià)40元經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè),銷售定價(jià)為52元時(shí),可售出180個(gè),定價(jià)每增加1元,銷售最凈減少10個(gè);定價(jià)每減少1元,銷售量?jī)粼黾?0個(gè),因受庫(kù)存的影響,每批次進(jìn)貨個(gè)數(shù)不得超過180個(gè),商店假設(shè)將準(zhǔn)備獲利2019元,那么應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)?定價(jià)為多少元?解析利用銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià),根據(jù)題中條件可以列出利潤(rùn)與x的關(guān)系式,求出即可,答案設(shè)每個(gè)商品的定價(jià)是x元,由題意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2019.整理,得x2-110x+3000=0.解得x1=50,或x2=60.當(dāng)x=50時(shí),進(jìn)貨180-10(50-52)=200個(gè)>180個(gè),不符合題意,舍去;當(dāng)x=60時(shí)進(jìn)貨180-10(60-52)=100個(gè)<180個(gè),符合題意.答：當(dāng)該商品每個(gè)定價(jià)為60元時(shí),進(jìn)貨100個(gè).類題突破4商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元為了盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件商品每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.設(shè)每件商品降價(jià)x元據(jù)此規(guī)律,請(qǐng)答復(fù):(1)商場(chǎng)日銷售量增加件,每件商品盈利元(用含x的代數(shù)式表示);(2)在上述條件不變、銷售正常情況下,每件商品降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)日盈利可到達(dá)2100元?答案(1)2x50-t(2)由題意,得:(50-x)(30+2x)=2100.化簡(jiǎn),得:x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0.解得:x1=15,或x2=20.∵該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存∴降得越多,越吸引顧客∴選x=20,答：每件商品降價(jià)20元,商場(chǎng)日盈利可達(dá)2100元點(diǎn)撥(1)降價(jià)1元,可多售出2件,降價(jià)x元,可多售出2x件,盈利的錢數(shù)=原來的盈利-降低的錢數(shù);(2)等量關(guān)系為:每件商品的盈利×可賣出商品的件數(shù)=2100,把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算得到適宜的解即可。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確地使用增長(zhǎng)率公式例1某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元,第一季度總產(chǎn)值達(dá)175億元.試求二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少.設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意,得方程為錯(cuò)解50(1+x)2=175錯(cuò)因分析產(chǎn)生錯(cuò)解的原因有兩個(gè):一是審題不認(rèn)真,二是硬套平均增長(zhǎng)