信號(hào)與系統(tǒng)ch2-連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析old

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析第二章1引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)對(duì)電系統(tǒng)而言，《電路分析》課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有KCL和KVL方程線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式2引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法

求齊次方程通解和非齊次方程特解

通解：由方程左邊部分所對(duì)應(yīng)的特征方程解得的特征頻率所求解得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或稱自由響應(yīng)）

特解：由系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)得到系統(tǒng)的受迫響應(yīng)

通解：將初始條件帶入，確定全解中通解的待定系數(shù)線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式3引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程卷積法/近代時(shí)域法/算子法

零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在無輸入激勵(lì)的情況下，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零（無初始儲(chǔ)能）的條件下，僅由輸入激勵(lì)引起的響應(yīng)線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式4引言時(shí)域分析

建立和求解線性微分方程的過程求解線性微分方程經(jīng)典法與卷積法/近代時(shí)域法/算子法在簡(jiǎn)單激勵(lì)信號(hào)形式下經(jīng)典解法求解簡(jiǎn)單，但比較復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào)形式下難確定特解的形式卷積法要求激勵(lì)信號(hào)是有始信號(hào)，否則無法確定初始狀態(tài)零輸入響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，在只有自然響應(yīng)部分零狀態(tài)響應(yīng)可用經(jīng)典法求解，但用卷積積分法更方便卷積積分法可借助計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，求出任意信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)（數(shù)值解），實(shí)用價(jià)值大5內(nèi)容系統(tǒng)方程的算子表示法1系統(tǒng)零輸入響應(yīng)2奇異信號(hào)與信號(hào)時(shí)域分解3系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)4疊加積分與卷積5線性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解66系統(tǒng)方程的算子表示法1算子表達(dá)符號(hào)微分算子

積分算子應(yīng)用算子7系統(tǒng)方程的算子表示法算子簡(jiǎn)化系統(tǒng)方程微分方程積分微分方程8系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡(jiǎn)化9系統(tǒng)方程的算子表示法算子n階微分方程簡(jiǎn)化系統(tǒng)特征多項(xiàng)式系統(tǒng)特征方程算子方程10系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則利用算子符號(hào)：微分方程

形式上的代數(shù)方程。有一些代數(shù)規(guī)則可適用加法交換率分配率乘法交換率分配率結(jié)合率11系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則因式分解系統(tǒng)的特征根12系統(tǒng)方程的算子表示法運(yùn)算規(guī)則不適用算子運(yùn)算等號(hào)兩邊相同微分算子不能相消代數(shù)方程： 微分方程：分子分母中相同算子不能隨意相消，微分積分運(yùn)算次序不能任意顛倒代數(shù)方程： 微分方程：

13系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子（傳遞算子）系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系，反映了系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的影響求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)解齊次方程求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)解非齊次方程14系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例激勵(lì)e(t)作用于電路，求i1(t)與i2(t)的轉(zhuǎn)移算子1

用克雷姆法可求解出i1(t)，i2(t)

但系數(shù)中有p和1/p，為避開算子乘除能否相消，先將方程改寫成為15系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例整個(gè)變量16系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例兩邊微分，先除后乘可消17系統(tǒng)方程的算子表示法轉(zhuǎn)移算子舉例分子、分母中多下公因子，但不能隨意相消，因此產(chǎn)生一個(gè)問題既三階系統(tǒng)其特征多項(xiàng)式為四階，注意以后問題不要這樣處理，求零輸入響應(yīng)時(shí)由于多了一特征根則多出一項(xiàng)18系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)e(t)=0時(shí)，僅由初始狀態(tài)（系統(tǒng)貯能）所產(chǎn)生的響應(yīng)求解方法解特征方程確定零輸入響應(yīng)模式由初始條件確定常數(shù)219系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)若初始r(0),代入可確定C1=r(0)則rzi(t)=r(0)eλt

t≥0若初狀為r(t0)，則rzi(t)=r(t0)eλ(t-t0)

t≥t0220系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件若221系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求取二階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)小結(jié)異實(shí)根重實(shí)根共軛復(fù)根22系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件

特性根，自然頻率

特性方程代數(shù)量23系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)n階系統(tǒng)零輸入響應(yīng)初始條件范德蒙德矩陣24系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題1已知某系統(tǒng)微分方程相應(yīng)的齊次方程為系統(tǒng)的初始條件為求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)25系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例題2在RLC串聯(lián)電路中，設(shè)L=1H，C=1F，R=2Ω激勵(lì)e(t)=0,且電路的初始條件為求兩種初值下電流的零輸入響應(yīng)26奇異信號(hào)單位階躍函數(shù)定義延遲3t

(t)01t

(t-t0)t00127奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)描述理想開關(guān)的動(dòng)作t=0合閘

u(t)=Et=0合閘

i(t)=IsIsKu(t)KEu(t)28奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)表示矩形脈沖

110=+-129奇異信號(hào)利用階躍信號(hào)組成復(fù)雜信號(hào)1t1

f(t)0

1t1

f(t)030奇異信號(hào)任何一個(gè)函數(shù)乘以單位階躍函數(shù)后，其乘積在階躍之前為零，在階躍之后保持原函數(shù)值1t1

f(t)0-11t1

f(t-2)(t-2)02右移2個(gè)單位保持階躍后值31奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)定義設(shè)矩形脈沖函數(shù)f(t)，面積恒定為13（1）

32奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)定義本質(zhì)在t=0處一個(gè)寬度無限小。幅度無限大，面積為“1”的脈沖函數(shù)表示δ(t)

箭頭表示是沖激函數(shù)。沖激函數(shù)的強(qiáng)度,1表示面積t

(t)(1)0333奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)數(shù)學(xué)定義式?jīng)_激函數(shù)面積為A則表示為Aδ(t)

t

(t)(1)0334奇異信號(hào)單位沖激函數(shù)延遲t0處沖激函數(shù)t

(t-t0)t00（1）335奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)抽樣性任一函數(shù)f(t)與單位沖激函數(shù)相乘后,在(－∞,＋∞)區(qū)間上的積分，等于f(t)在沖激時(shí)刻的函數(shù)值

從函數(shù)f(t)中抽取一個(gè)樣值t

(t)(1)0f(t)f(0)336奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)偶函數(shù)時(shí)域壓擴(kuò)性337奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激函數(shù)338奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)奇異函數(shù)若干次積分和微分也是奇異函數(shù)單位階躍函數(shù)的積分是單位斜變函數(shù)單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是單位沖激偶11010求導(dǎo)339奇異信號(hào)沖激函數(shù)性質(zhì)

練習(xí)：求f(t)，并畫出f(t)的導(dǎo)數(shù)的波形f(t)44t(1)(2)f(t)t1Att2f(t)11t(3)-12340奇異信號(hào)沖激函數(shù)練習(xí)41奇異信號(hào)斜變函數(shù)f(t)tt342奇異信號(hào)沖激偶t由－∞→0－時(shí),是一個(gè)強(qiáng)度無限大的正沖激t由+∞→0＋時(shí),是一個(gè)強(qiáng)度無限大的負(fù)沖激f(t)343信號(hào)時(shí)域分解任務(wù)外加的復(fù)雜激勵(lì)信號(hào)分解成一系列單元激勵(lì)信號(hào)周期性脈沖信號(hào)分解為奇異函數(shù)之和3矩形脈沖44信號(hào)時(shí)域分解周期性脈沖信號(hào)分解為奇異函數(shù)之和鋸齒形脈沖梯形脈沖345信號(hào)時(shí)域分解任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分分解為無限多個(gè)小階躍函數(shù)相疊加的疊加積分表示式將t軸n等分每段△t作階梯信號(hào)fa(t)逼近f(t)

fa(t)≈f(t)當(dāng)△t→0，n→∞，fa(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)-f((k-1)△t)346信號(hào)時(shí)域分解任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分分解為無限多個(gè)沖激函數(shù)相疊加的疊加積分的形式將t軸n等分每段△t作階梯信號(hào)fb(t)逼近f(t)

fb(t)≈f(t)當(dāng)△t→

，n→∞，fb(t)→f(t)△tk△tf(0)f(t)t(k-1)△tf(k△t)347信號(hào)時(shí)域分解總結(jié)信號(hào)在時(shí)間域里分解成階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、斜變函數(shù)這樣的一些單元激勵(lì)信號(hào)任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)或沖激函數(shù)的積分為求響應(yīng)方便，分解的單元激勵(lì)種類越少越好求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，可先求對(duì)各單元激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)，再利用系統(tǒng)線性、時(shí)不變性求所有單元響應(yīng)348系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)定義無初始狀態(tài)條件下，系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)e(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)典型單元激勵(lì)響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)斜變響應(yīng)449系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位沖激函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用h(t)表示

450系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位階躍函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rε(t)表示

451系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)斜變響應(yīng)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，對(duì)單位斜變函數(shù)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，用rR(t)表示

52系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的平衡求取法保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等求沖激響應(yīng)53系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法54系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解55系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解56系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n>m第i項(xiàng)構(gòu)成的一階微分方程解依同樣方法可求出部分分式中每一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的一階微分方程的解，得到57系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n＝m58系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法

n<m59系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論存在重根或共軛復(fù)根和單根情況下h0(t)的模式一定與零輸入響應(yīng)模式相同60系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論若系統(tǒng)有m重根λs,n－m個(gè)相異實(shí)根若系統(tǒng)有2m個(gè)復(fù)根，n－2m個(gè)相異實(shí)根461系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法討論h0(t)與rzi(t)的差別rzi(t)中待定系數(shù)是由t=0－時(shí)系統(tǒng)的初態(tài)決定的h0(t)中，系統(tǒng)在t=0－時(shí)具有初值一定為零

t=0時(shí)，δ(t)激勵(lì)系統(tǒng)，這樣，系統(tǒng)在t=0+時(shí)具有一定初值，h0(t)的待定系數(shù)時(shí)可用初始條件求得462系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)n階系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求法微分方程為一般形式時(shí)利用線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分特性及線性性質(zhì)由標(biāo)準(zhǔn)形式方程微分方程的沖激響應(yīng)h0(t)及h0(t)的各階導(dǎo)數(shù)加權(quán)組合而構(gòu)成463系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)例題1求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)464系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)例題2求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)465系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)總結(jié)求取沖激響應(yīng)h(t)步驟確定模式(n>m,n=m,n<m)求標(biāo)準(zhǔn)方程沖激響應(yīng)h0(t)的系數(shù)單根部分：系數(shù)為轉(zhuǎn)移算子，展為部分分式的系數(shù)重根，共軛復(fù)根：

系數(shù)h0(t)及h0(t)的各階導(dǎo)數(shù)加權(quán)組合而構(gòu)成466系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)總結(jié)沖激響應(yīng)h(t)的響應(yīng)模式與零輸入模式相同，只是求待定系數(shù)的方法有區(qū)別沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)本身固有特性，與外界激勵(lì)無關(guān)。階躍響應(yīng)也如此。467疊加積分任務(wù)疊加原理對(duì)激勵(lì)信號(hào)各分量的響應(yīng)進(jìn)行疊加，求任意函數(shù)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)各沖激分量響應(yīng)疊加求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分疊加積分疊加積分5激勵(lì)函數(shù)沿垂直方向分解表示成沖激函數(shù)積分68疊加積分卷積積分定義利用疊加積分由沖激響應(yīng)求解系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的零狀態(tài)積分公式n→∞,Δt→0

kΔt→τ,Δt→dτ,Σ→∫系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)函數(shù)的響應(yīng)卷積積分69疊加積分例題(p54)RC串聯(lián)電路，初始狀態(tài)為零求響應(yīng)電流70卷積積分卷積的定義

和是具有相同變量的兩個(gè)函數(shù)，它們相卷積后所成的變量為,、和滿足下列運(yùn)算關(guān)系

卷積積分571卷積積分卷積物理意義沖激函數(shù)的抽樣性可知任意信號(hào)可表示為沖激函數(shù)的積分線性時(shí)不變系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)的激勵(lì)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積積分物理意義72卷積積分卷積的積分限激勵(lì)信號(hào)e(t)是有始函數(shù)e(t)=0

(t<0)系統(tǒng)h(t)是因果系統(tǒng)。有激勵(lì)，才有響應(yīng)。激勵(lì)在t=0時(shí)加入，因此t<0,h(t)=0響應(yīng)卷積73卷積積分卷積的積分限

根據(jù)所給的e(t)和h(t),確定積分限74卷積積分卷積的積分限函數(shù)有“有始有終”且起點(diǎn)不在t=0處積分限的確定要更為復(fù)雜常用積分限一般e(t),一般h(t)因果e(t),一般h(t)一般e(t),因果h(t)因果e(t),因果h(t)舉例：因果e(t),因果h(t)75卷積性質(zhì)卷積的運(yùn)算性質(zhì)互換律分配律結(jié)合律卷積后微分卷積后積分延時(shí)后卷積相關(guān)與卷積576卷積性質(zhì)卷積的代數(shù)運(yùn)算交換律分配律

證明:

77卷積性質(zhì)卷積的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律

證明:

78卷積性質(zhì)函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積一個(gè)函數(shù)與δ(t)相卷積等于函數(shù)本身推廣

進(jìn)一步79卷積性質(zhì)卷積的積分與微分微分證明:

80卷積性質(zhì)卷積的積分與微分積分證明:

81卷積性質(zhì)卷積的積分與微分積分同理可得:

可推得:

82卷積性質(zhì)卷積的積分與微分思考題83卷積性質(zhì)函數(shù)延時(shí)后的卷積證明:

84卷積性質(zhì)相關(guān)與卷積相關(guān)自相關(guān)相關(guān)與卷積關(guān)系85卷積性質(zhì)例題1已知LTI系統(tǒng)h1(t)=

(t),h2(t)=

(t-1),h3(t)=e-3(t-2)

(t-2)，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)86卷積性質(zhì)例題2

T(t)為周期為T的周期性單位沖激函數(shù)序列2<Tt0

T(t)…3T2TT-2T-T…f

(t)A-

t087卷積性質(zhì)練習(xí)題88卷積積分卷積的求取方法圖解法直接法公式法卷積性質(zhì)589卷積積分圖解法大致步驟橫坐標(biāo)換成τ,反褶f2

f1(τ)和f2(-τ)f2(-τ)沿正τ軸平移時(shí)間t

f2(t-τ)隨著平移時(shí)間t

的變化,f1(τ)與f2(t-τ)相乘積分

f1(τ)f2(t-τ)曲線下相交面積t:-

沿軸移動(dòng)乘積積分反褶沿軸移動(dòng)t90卷積積分圖解法舉例f1(t)f2(t)10tt1230-23f1(

)f2(-

)反褶

121反褶沿軸移動(dòng)t91卷積積分圖解法舉例

0<t<1

1<t<2

t

3

1

0

-1

2

t

τ

2

3

1

0

-1

t:0

沿軸移動(dòng)乘積積分92卷積積分圖解法舉例2<t<3τ

2

3

1

0

t

-1

t

10

2-13τ3<t<4t:0

沿軸移動(dòng)乘積積分93卷積積分圖解法舉例τ

2

3

1

0

t

-1

τ

2

3

1

0

t