北京市首師附2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

北京市首師附2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有5個(gè)僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，則兩球不同顏色的概率為（）A． B． C． D．3．已知向量，，，則（）A． B． C． D．4．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．5．如圖，在正方體，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷正確的是（）①平面平面②平面③異面直線與所成角的取值范圍是④三棱錐的體積不變A．①② B．①②④ C．③④ D．①④6．正四棱柱的高為3cm,體對(duì)角線長(zhǎng)為cm,則正四棱柱的側(cè)面積為()A．10 B．24 C．36 D．407．《張丘建算經(jīng)》中女子織布問題為：某女子善于織布，一天比一天織得快，且從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，已知第一天織5尺布，一月（按30天計(jì)）共織390尺布，則從第2天起每天比前一天多織（）尺布.A． B． C． D．8．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．9．點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，0，0） B． C． D．10．公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．48 B．36 C．24 D．12二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列an中，a1=2,a12．已知數(shù)列滿足，，，則__________．13．在數(shù)列中，，是其前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，恒有、、成等比數(shù)列，則________．14．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，則該三角形的最大內(nèi)角為_________15．在上，滿足的的取值范圍是______.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”，左邊需增乘的代數(shù)式是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知直線恒過定點(diǎn)，圓經(jīng)過點(diǎn)和定點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一端點(diǎn)為點(diǎn)，問軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．18．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）設(shè)，若的任意一條對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不屬于區(qū)間，求c的取值范圍.19．已知，，與的夾角為，，，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，（1）；（2）.20．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）令，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21．在ΔABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，a=8，c-1（1）若ΔABC有兩解，求b的取值范圍；（2）若ΔABC的面積為82，B>C，求b-c

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

對(duì)于A，利用線面平行的判定可得A正確.對(duì)于B，利用線面垂直的性質(zhì)可得B正確.對(duì)于C，利用面面垂直的判定可得C正確.根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系即可判斷D不正確.【題目詳解】對(duì)于A，根據(jù)平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線平行于這個(gè)平面，可判定A正確.對(duì)于B，根據(jù)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，判定B正確.對(duì)于C，根據(jù)一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直，可判定C正確.對(duì)于D，若，則或相交，所以D不正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定，同時(shí)考查了線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.2、D【解題分析】

現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出兩球不同顏色的概率．【題目詳解】甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有5個(gè)僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個(gè)數(shù)，則兩球不同顏色的概率為．故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．3、D【解題分析】

利用平面向量垂直的坐標(biāo)等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】，，，，解得，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，解題時(shí)將向量垂直轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積為零來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

試題分析：，故選A．5、B【解題分析】

①連接DB1，容易證明DB1⊥面ACD1，從而可以證明面面垂直；②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得；③分析出A1P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變；【題目詳解】對(duì)于①，連接DB1，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，正確．②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得A1P∥平面ACD1，正確．③當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，錯(cuò)誤；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變．∴三棱錐A﹣D1PC的體積不變，正確；正確的命題為①②④．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間想象能力，中檔題．6、B【解題分析】

設(shè)正四棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，由正四棱柱體對(duì)角線的平方等于從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和，可得關(guān)于的方程.【題目詳解】如圖，正四棱柱，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，解得：，所以正四棱柱的側(cè)面積.【題目點(diǎn)撥】本題考查正棱柱的概念，即底面為正方形且側(cè)棱垂直于底面的幾何體，考查幾何體的側(cè)面積計(jì)算.7、B【解題分析】由題可知每天織的布的多少構(gòu)成等差數(shù)列,其中第一天為首項(xiàng),一月按30天計(jì)可得,從第2天起每天比前一天多織的即為公差.又,解得.故本題選B.8、D【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導(dǎo)出，，，的平均數(shù)和方差．【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以的平均?shù)為；因?yàn)?，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)與方差的公式計(jì)算，考查對(duì)概念的理解與應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.9、B【解題分析】

根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)關(guān)系,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)過點(diǎn)作平面的垂線,垂足為,可知故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

由開始，按照框圖，依次求出s，進(jìn)行判斷。【題目詳解】，故選C.【題目點(diǎn)撥】框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構(gòu)，依次準(zhǔn)確求出數(shù)值，進(jìn)行判斷，是解題關(guān)鍵。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2+【解題分析】

因?yàn)閍1∴a∴=(=2+ln12、-2【解題分析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了求數(shù)列中的某些項(xiàng)，一般方法是求出數(shù)列通項(xiàng)，對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項(xiàng)，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項(xiàng).13、.【解題分析】

由題意得出，當(dāng)時(shí)，由，代入，化簡(jiǎn)得出，利用倒數(shù)法求出的通項(xiàng)公式，從而得出的表達(dá)式，于是可求出的值.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，由題意可得，即，化簡(jiǎn)得，得，兩邊取倒數(shù)得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，，則，因此，，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，同時(shí)也考查了數(shù)列通項(xiàng)的求解，在含的數(shù)列遞推式中，若作差法不能求通項(xiàng)時(shí)，可利用轉(zhuǎn)化為的遞推公式求通項(xiàng)，考查分析問題和解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中等題.14、【解題分析】

由題意可得三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，由余弦定理可得cosθ的值，即可求得θ的值．【題目詳解】根據(jù)三角形中，大邊對(duì)大角，故邊長(zhǎng)分別為3，5，7的三角形的最大內(nèi)角即邊7對(duì)的角，設(shè)為θ，則由余弦定理可得cosθ，∴θ＝，故答案為：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，大邊對(duì)大角，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

由，結(jié)合三角函數(shù)線，即可求解，得到答案.【題目詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以滿足的的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，以及三角函數(shù)線的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、.【解題分析】

從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是，化簡(jiǎn)即可得出．【題目詳解】假設(shè)時(shí)命題成立，則，當(dāng)時(shí)，從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）先求出直線過定點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，由題意列方程組，即可求圓的方程；（2）由（1）可知：求得直線的斜率，根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)坐標(biāo)，由在圓外，所以點(diǎn)不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，分類討論，即可求得的值．【題目詳解】(1)直線的方程可化為，由解得∴定點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)圓的方程為，則圓心則依題意有解得∴圓的方程為；(2)由(1)知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,∴圓心，半徑.∵是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，∴圓心是與的中點(diǎn)，∵軸上的點(diǎn)在圓外，∴是銳角，即不是直角頂點(diǎn)．若是的直角頂點(diǎn)，則，得；若是的直角頂點(diǎn)，則，得.綜上所述，在軸上存在一點(diǎn)，使為直角三角形，或.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，屬于中檔題．18、（1），（2）；.（3）【解題分析】

（1）由相鄰最高點(diǎn)距離得周期，從而可得，由對(duì)稱性可求得；（2）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最值．（3），先由半個(gè)周期大于得出的一個(gè)范圍，在此范圍內(nèi)再尋找，求出對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸且得的范圍．【題目詳解】（1）因?yàn)榈膱D象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以的最小正周期，而，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，又，所以.綜上，，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.（3），的任意一條對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，，即，令，得，且，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故所求范圍.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三角函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查正弦函數(shù)的最值，考查函數(shù)的對(duì)稱性．掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）利用平面向量共線的判定條件進(jìn)行求解；（2），利用平面向量的數(shù)量積為0進(jìn)行求解．試題解析：（1）若，則存在實(shí)數(shù)，使，即，則，解得得；（2）若，則，解得.考點(diǎn)：1.平面向量共線的判定；2.平面向量垂直的判定．20、（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)【解題分析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；（2）由題意得，對(duì)兩邊同時(shí)平方得，求出的取值范圍即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.【題目詳解】（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)榱?，由，可得，所以，，故即，所以函?shù)在定義域上單調(diào)遞增.（2）由，，故，，當(dāng)時(shí)，，有，可得：，故，由，可得，故函數(shù)的值域?yàn)?，?）由（2）知，則，令，則，令，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，又，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明、值域的求解和零點(diǎn)問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想，屬于中檔題.21、（1）(8,62)；（2）【解題分析】

（1）由