上海市崇明區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時(shí)間100分鐘）考生注意：1.本試卷含三個(gè)大題，共25題，答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為，那么它們對(duì)應(yīng)邊之比為（

）A． B． C． D．2．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的連線與x軸正半軸的夾角為，那么的值為（

）A． B． C． D．3．將拋物線向左平移3個(gè)單位后，得到的新拋物線的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．4．已知非零向量，下列條件中不一定能判定的是（

）A． B． C． D．5．在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，以下能推出的條件是（

）A． B．C． D．6．在二次函數(shù)中，如果，那么它的圖像一定不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．已知，那么的值為．8．計(jì)算：．9．已知點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則的值=．10．在中，，則的長(zhǎng)為．11．如果拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么該拋物線的開口方向．12．已知一條拋物線的對(duì)稱軸是直線，且在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么該拋物線的表達(dá)式可以是．（只要寫出一個(gè)符合條件的即可）13．如圖，已知，它們與直線依次交于點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)D、E、F，如果，，那么線段的長(zhǎng)是．14．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，聯(lián)結(jié)，交對(duì)角線于點(diǎn)F，如果，，那么．15．如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔25海里的A處，它沿正北方向航行到達(dá)位于燈塔正東方向上的B處，那么此時(shí)輪船與燈塔P的距離為海里．16．如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，且，如果，那么＝．

17．如圖，將矩形沿折疊，點(diǎn)A、D分別與對(duì)應(yīng)，B、C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在AD上的點(diǎn)G處，且，如果，那么的長(zhǎng)為．18．定義：P為內(nèi)一點(diǎn)，連接，在和中，如果存在一個(gè)三角形與相似，那么就稱P為的自相似點(diǎn)，根據(jù)定義求解問題：已知在中，是邊上的中線，如果的重心P恰好是該三角形的自相似點(diǎn)，那么的余切值為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．計(jì)算：．20．如圖，已知在中，，點(diǎn)D在邊上，．(1)求的長(zhǎng)；(2)連接，設(shè)，試用表示．21．已知二次函數(shù)(1)用配方法把二次函數(shù)化為的形式，并指出這個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如果該函數(shù)圖像與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形的面積．22．如圖，某校九年級(jí)興趣小組在學(xué)習(xí)了解直角三角形知識(shí)后，開展了測(cè)量山坡上某棵大樹高度的活動(dòng)．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D處有一棵樹（假設(shè)樹垂直水平線），在坡底B處測(cè)得樹梢A的仰角為，沿坡面方向前行30米到達(dá)C處，測(cè)得樹梢A的仰角為．（點(diǎn)B、C、D在一直線上）

(1)求A、C兩點(diǎn)的距離；(2)求樹的高度（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：）23．如圖，已知在梯形中，，E是邊上一點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)F，且．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，與相交于點(diǎn)O，若，求證：．24．已知在直角坐標(biāo)平面中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn)．

備用圖(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，將拋物線向下平移個(gè)單位后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，過B、E兩點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)F．①如果，求的值；②如果與相似，求m的值．25．已知中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于E．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，聯(lián)結(jié)，設(shè)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；(3)過點(diǎn)C作射線的垂線，垂足為H，射線與射線交于點(diǎn)Q，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．

參考答案與解析

1．B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為，∴它們對(duì)應(yīng)邊之比為，故選B．2．D【分析】本題考查了求銳角的正切值；畫出圖形，過A作軸于B，則由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得，由正切的定義即可求解．【詳解】解：如圖，過A作軸于B，∵，∴，∴；故選：D．3．C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，關(guān)鍵是抓住拋物線頂點(diǎn)的平移；原拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，向左平移3個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由此即可得平移后新拋物線的表達(dá)式．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)向左平移3個(gè)單位后的坐標(biāo)為，由于平移不改變圖象的大小與形狀，則平移后的新拋物線表達(dá)式為；故選：C．4．A【分析】本題考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解題關(guān)鍵是對(duì)向量性質(zhì)的理解．根據(jù)向量的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、只能判定的模的數(shù)量關(guān)系，不能判定，符合題意；B、，能判定，不符合題意；C、，根據(jù)平行的傳遞性得到，不符合題意；D、，得到，平行的傳遞性得到，不符合題意；故選A．5．C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定；畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：畫出圖形如下：A、由不能得出相似，故不能判定；B、由不能得出相似，故不能判定；C、∵，則有，∴，則，∴，從而；D、由不能得出相似，故不能判定；故選：C．6．B【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)，和二次函數(shù)的性質(zhì)，可知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開口向下，然后即可判斷該函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第二象限．【詳解】解：∵二次函數(shù)，，∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸，開口向下，∴該函數(shù)圖象存在三種情況，如圖所示，∴它的圖象一定不經(jīng)過第二象限，故選：B．7．【分析】本題考查了分式的性質(zhì)．熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，故答案為：．8．【分析】本題考查了向量的線性運(yùn)算；根據(jù)向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：.9．【分析】根據(jù)黃金分割的定義列可得答案．【詳解】∵點(diǎn)是線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為黃金分割；其比值是；理解黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．10．10【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在中，，∵∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)．解題的關(guān)鍵是掌握正弦等于對(duì)邊比斜邊．11．向下【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中可求得m的值，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)可確定拋物線的開口方向．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線為；∵，∴拋物線開口向下；故答案為：向下．12．（答案不唯一）【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；由題意知，拋物線的開口向上，根據(jù)對(duì)稱軸與開口方向?qū)懗鲆粋€(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式即可．【詳解】解：∵在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的∴拋物線的開口向上；∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴拋物線可為：；故答案為：（答案不唯一）．13．15【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由得，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：15．14．5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；由平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行可得，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，即；故答案為：5．15．【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；由題意，利用余弦函數(shù)即可求解．【詳解】解：∵輪船位于燈塔P的南偏東方向，∴，在中，（海里）；即此時(shí)輪船與燈塔P的距離為海里．故答案為：．16．##【分析】由題意可以得到，判定兩個(gè)三角形相似，然后用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算求出最終結(jié)果；本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)所以故答案為：．17．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)；由折疊的性質(zhì)及已知可和，結(jié)合面積得；設(shè)，則可得的關(guān)系，再由面積可求得b，從而求得a的值．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴；由折疊知，，；，，∴；∵，∴三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，∴，∴，∵，∴，∴；∵，∴，即；設(shè)，則；由得：，即；∵，∴（負(fù)值舍去），∴；故答案為：．18．##【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，重心的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)；過點(diǎn)E作于E，由題意得，結(jié)合重心性質(zhì)得；設(shè)，則，由勾股定理得；由E為中點(diǎn)及，可得，進(jìn)而得，由中線性質(zhì)及面積關(guān)系可求得，由勾股定理求得，則由余切的定義即可求得結(jié)果；由相似及重心性質(zhì)得到的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，中線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作于E，∵，，∴不可能與相似，∴與相似，即，且，∴，即；∵P是重心，∴；∵是斜邊上中線，∴，∴，∴，∴；設(shè)，則，由勾股定理得；∵E為中點(diǎn)，，∴，由重心性質(zhì)得：；∵為中線，∴，即，∴，由勾股定理得：，在中，；故答案為：．19．【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵；利用特殊角三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：原式．20．(1)(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算：（1）證明得到，則，由此可得；（2）先求出，再由得到，則．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴21．(1)，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)15【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（1）配方法配方即可，配方后即可求得對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E；令，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；令，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；由即可求解．【詳解】（1）解：配方得：，則拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E；令，即，解得：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，即，令，得，∴，即；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴．22．(1)(2)樹的高度約為【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等等：（1）如圖所示，延長(zhǎng)交于G，過點(diǎn)C作于H，先得到，進(jìn)而推出，再求出，則可推出，得到；（2）先解得到，再解得到，則．【詳解】（1）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于G，過點(diǎn)C作于H，∵，∴，∵小山的斜坡的坡度，∴在中，，∴，∵，∴，同理可得，∵，∴，∴，∴，∴；

（2）解：中，，在中，，∴，∴樹的高度約為．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）由及可得，則有；再由平行條件得，則可證明；（2）由及，可得，則可得，進(jìn)而得；再證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴；（2）證明：∵∴；由（1）知，∴，∴，∴，∴；∵，∴；由（1）知，∴，∴，即．∵，∴．24．(1)(2)①；②或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出拋物線對(duì)稱軸為直線，則，進(jìn)而得到；求出直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，進(jìn)而求出；利用勾股定理求出，，，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，則；②時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，則與重合，可得；當(dāng)時(shí)，則，如圖所示，設(shè)直線交x軸于G，則，推出，得到，如圖所示，取點(diǎn)，則，，，證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)F在直線上，同理可得直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，則，即可得到；綜上所述，或．【詳解】（1）解：把代入中，得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：①∵拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)，∴，∵將拋物線向下平移個(gè)單位后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，且，∴；設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，同理可得直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴；∴，，，∴，∴是直角三角形，且，∴；②當(dāng)時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，則與重合，∴；當(dāng)時(shí)，則，如圖所示，設(shè)直線交x軸于G，則，∴，∴，∴，如圖所示，取點(diǎn)，則，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)F在直線上，同理可得直線的解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化—平移，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，通過利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明直角三角形是解題的關(guān)鍵．25．(1)(2)函數(shù)關(guān)系式為，定義域?yàn)?3)【分析】（1）由平行關(guān)系可得，由，則可得，由面積關(guān)系可求得，進(jìn)而由勾股定理求得結(jié)果；（2）由已知易得，由相似三角形的性質(zhì)及，可得，由相似三角形的性質(zhì)即可得函數(shù)關(guān)系式；再由點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、B重合，即可確定自變量的取值范圍；（3）由（2）得，則可得，進(jìn)