吉林省長春市二道區(qū)2023-2024學年九年級上學期12月期末數學試題（含解析）

九年級質量調研數學試題本試卷包括三道大題，共24題，共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考試結束后，只交答題卡．一、選擇題（本大題共8道小題，每小題3分，共24分）1．若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍（）A．x≥2 B．x≤2C．x＞2 D．x＜22．若關于的一元二次方程的一個根是，則的值是（

）A． B． C．3 D．63．用配方法解方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．4．若，則的值為（

）A． B． C． D．5．如果在中，點、、分別為邊、、的中點，，，，那么的面積為（

）A． B．15 C．30 D．606．教育部發(fā)布的統(tǒng)計數據顯示，近年來越來越多的出國留學人員學成后選擇回國發(fā)展，留學回國與出國留學人數“逆差”逐漸縮?。?021年各類留學回國人員總數為36.48萬人，而2023年各類留學回國人員總數為43.25萬人．如果設2021年到2023年各類留學回國人員總數的年平均增長率為x，那么根據題意可列出關于x的方程為（

）A． B．C． D．7．如圖，已知直線，且相鄰兩平行線間的距離均相等，等腰直角三角形中，．若點在上，點在上，點在上，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖是一個的正方形網格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、均為格點．與相交于點，則圖中的面積為（

）A．5 B．6 C． D．二、填空題（本大題共6道小題，每小題3分，共18分）9．比較大?。海ㄕ?zhí)顚憽?gt;”、“<”或“=”）．10．關于的方程是一元二次方程，則的值為．11．在一個不透明的袋子中裝有紅、白兩種顏色的小球共20個，這些小球除了顏色不同外其它特質均相同．欣欣同學進行了摸球試驗，每次摸出一個小球記下顏色，然后放回袋中攪拌均勻，再從中摸出一個…如此重復，經大量的試驗發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，由此可以估計袋中紅球的個數為個．12．如圖，在測量一個小口圓形容器的壁厚（厚度均勻）時，小明先用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）按圖中方法測量零件的內孔直徑．現如果，且量得，零件的外徑為，則圓形容器的壁厚是．13．如圖，在平面直角坐標系中，是第一象限的點，其坐標為，且與軸正半軸的夾角的正切值為，則的值為．14．如圖①，一張正三角形紙片，，點在邊上，，點是邊上的一點．如圖②，將沿翻折得到，與的邊相交于點和點．若，，則的長度為．三、解答題（本大題共10小題，共78分）15．計算：．16．解方程：．17．為了進一步培養(yǎng)青少年對冰雪運動的興趣，長春市多家滑雪場面向青少年優(yōu)惠開放，有凈月潭滑雪場、天定山滑雪場、廟香山滑雪場三個雪場可供學生選擇．現有三張正面印有這三個滑雪場圖案的不透明卡片，依次記為A、B、C，這三張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，小張從中隨機抽取一張，記下圖案后背面向上放回，重新洗勻后小亮再從中隨機抽取一張.請用畫樹狀圖或列表的方法，求小張和小亮抽到同一雪場的概率．

18．已知關于的一元二次方程．求證：對于任意實數，原方程總有兩個實數根．19．如圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，四邊形為平行四邊形，點、均為格點.只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作圖：(1)在圖①中，點、、為格點，在邊上找一點，連結，使得．(2)在圖②中，點、為格點，點為邊上任意一點，連結，在上找一點，使得.（保留作圖痕跡）(3)在圖③中，點、為為網格線上的點，點為邊上任意一點連結，在邊上找一點，連結，使得．（保留作圖痕跡）20．某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖①所示的遮陽棚，其側面如圖②所示，遮陽棚展開長度，遮陽棚與墻面的夾角.，求遮陽棚前端到墻面的距離．（結果精確到，參考數據：，，）21．如圖，公園有一塊正方形空地，現在從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（圖中陰影部分），原空地邊減少到點處，另一邊減少到點處，若剩余空地是矩形且面積為．(1)求原正方形空地的邊長．(2)實際建造時要求栽種鮮花的面積是原正方形空地面積的一半，且不改變的長度，求實際建造時的長度．22．【閱讀材料】閱讀下列材料，然后回答問題：（?。┯欣砘蚴剑簝蓚€含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（ⅱ）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去，指的是如果二次根式中分母有根號，那么通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中根號的目的．例如：；．【知識運用】（1）填空：的有理化因式是______（寫出一個即可）；的有理化因式是______．（2）把下列各式的分母有理化：①；②．（3）化簡：．23．【感知】小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在中，點是的中點，點是的一個三等分點，且．連結，交于點，求的值．小明發(fā)現，過點作交于，可證明，得到相關結論后，再利用相似三角形的性質即可得到問題的答案．下面是小明的部分證明過程：解：如圖①，過點作交于，則，，∵是的中點，∴，∴，∴，∴，∵是的一個三等分點，且，∴，∴，∴請你補全余下的證明過程．【嘗試應用】如圖②，在中，為上一點，，連結，若，交、于點、．若，，，則的長為______．【拓展提高】如圖③，在平行四邊形中，點為的中點，點為上一點，與、分別交于點、，若，則的值為______．24．如圖，在矩形中，是對角線，，．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒4個單位長度的速度向點運動；與此同時，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向點運動，當其中一點到達終點時，、兩點同時停止運動，以和為鄰邊作平行四邊形．設點的運動時間為秒（）．(1)用含的代數式表示線段的長為______．(2)______．(3)當與平行四邊形重合部分是四邊形時，求的取值范圍．(4)當直線將平行四邊形分成兩部分的面積比為時，直接寫出的值．

參考答案與解析

1．A【分析】二次根式有意義，被開方數為非負數，即x-2≥0，解不等式求x的取值范圍．【詳解】∵在實數范圍內有意義，∴x?2≥0，解得x≥2．故選：A．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練的掌握二次根式有意義的條件．2．D【分析】本題考查一元二次方程的根，根據定義“一元二次方程的根是使這個一元二次方程兩邊相等的未知數的值”，將代入，得到關于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值．【詳解】解：將代入，得：，解得，故選D．3．C【分析】此題考查了解一元二次方程?配方法，利用此方法解方程時，首先將二次項系數化為1，常數項移動方程右邊，然后左右兩邊都加上一次項系數一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個非負常數，開方轉化為兩個一元一次方程來求解．方程常數項移動右邊，左右兩邊都加上16，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果．【詳解】解：方程，移項得：∴，即．故選：C．4．B【分析】本題考查比例的性質，解題的關鍵是學會利用參數解決問題．設，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴可以假設∴．故選：B．5．A【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據勾股定理的逆定理得到，求出的周長和面積，證明，根據相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵，，，，∴，，的周長，∴，∴，∴∵點、、分別為邊、、的中點，∴∴，且相似比為，∴的周長，故選：A．6．C【分析】本題主要考查一元二次方程的應用增長率的計算，根據題意解題即可．【詳解】解：設2021年到2023年各類留學回國人員總數的年平均增長率為x，則2022的留學回國人員總數為：，2023的留學回國人員總數為：，那么可得方程：故選：C．7．B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．過點作于，過點作于，根據同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后利用勾股定理列式求出，由銳角的余弦定義即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于，過點作于，設相鄰兩平行線間的距離為，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，．故選：B．8．C【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形面積．根據相似三角形的判定與性質求出，再根據三角形面積公式求出，，兩式相減求解即可．【詳解】解：根據題意得，，，，，，，，，，故選：C．9．【分析】先將兩個無理數平方后比大小，進而可得兩個無理數的大小．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了無理數比大?。忸}的關鍵在于熟練掌握無理數比大小的方法．10．【分析】根據二次項系數不為零，最高次項的次數為2，求解即可．【詳解】∵關于x的方程是一元二次方程，∴，∴，且，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．11．12【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數量，在大量反復試驗下，頻率的穩(wěn)定值即為概率值得到摸到紅球的概率為，再用球的總數乘以摸到紅球的概率即可求出紅球的數量．【詳解】解：∵經大量的試驗發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸到紅球的概率為，∴可以估計袋中紅球的個數為個，故答案為：12．12．4【分析】本題考查相似三角形的應用，只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求出零件的內孔直徑即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴圓形容器的壁厚是，故答案為：4．13．6【分析】本題考查解直角三角形，過P作軸于H，由P的坐標，得到，，由銳角的正切等于求出，即可得到x的值為6．【詳解】解：過P作軸于H，∵P的坐標是，∴，，∵，∴，∴x的值為6．故答案為：6．14．9【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據等邊三角形的性質可得，，從而可得，再利用折疊的性質可得：，，從而可得，，然后證明8字模型相似，從而利用相似三角形的性質求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，由折疊得：，，，，，，，，，，故答案為：9．15．【分析】本題考查二次根式，解題的關鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎題型．根據二次根式的運算法則即可求出答案．【詳解】原式.16．，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據配方法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．17．【分析】本題考查用列表法或樹狀圖法求概率，通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的情況，再從中找出符合條件的情況，利用概率公式計算即可．【詳解】解：根據題意，樹狀圖如下：

由圖可知，共有9種等可能的情況，其中小張和小亮抽到同一雪場的情況有3種，，因此小張和小亮抽到同一雪場的概率為．18．見解析【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此求解即可．【詳解】證明：在一元二次方程中，∵，，，∴．

∵無論為任意實數，．∴對于任意實數，原方程總有兩個實數根．19．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了無刻度直尺作圖，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線的性質；（1）取的中點，連接即可；（2）取BC的中點，的中點，連接交一點，點即為所求；（3）取BC的中點，的中點，連接交一點，連接交于點，連接即可．【詳解】（1）如圖①中，線段即為所求；（2）如圖②中，點即為所求；（3）如圖③中，線段即為所求．20．遮陽棚前端到墻面的距離為【分析】本題考查了解直角三角形的應用，作于E，在中，根據列式計算是解題的關鍵．【詳解】過點作于點，則．在中，，，，

∴．∴遮陽棚前端到墻面的距離為．21．(1)原正方形空地邊長為6米(2)實際建造時的長度為4.5米【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程．（1）設原正方形空地的邊長為根據剩余空地是矩形且面積為．列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）根據實際建造時栽種鮮花的面積是原正方形空地面積的一半，列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設原正方形空地的邊長為由題意得：，解得，（舍）.答：原正方形空地邊長為6米.（2）解：依題意，答：實際建造時的長度為4.5米.22．（1）；；（2）①；②；（3）2【分析】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化：（1）根據有理化因式定義求解；（2）①②利用分母有理化計算；（3）先分母有理化，然后合并即可．【詳解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是.故答案為：（答案不唯一）；；（2）①.②.

（3）.23．【感知】3，補全證明見詳解；【嘗試應用】；【拓展提高】【感知】由得，可推導出，進而得出答案．【嘗試應用】取的中點H，連結，得，則，可證，得，可得，進而求得．【拓展提高】作交于點L，得，由平行四邊形得和，可證，得到，由，得到，進一步得，則有．【詳解】解：感知：如圖①，過點作交于，則，，∵是的中點，∴，∴，∴，∴，∵是的一個三等分點，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，嘗試應用：取的中點H，連結，如下圖：則，∵，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．拓展提高：如圖，作交于點L，∵點E為的中點，∴，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，則，∵，∴，∴，則，那么，，∴，故．故答案為∶．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形的中位線定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，解題的關鍵是作輔助線并轉化線段之間的關系．24．(1)(2)(3)當時，與平行四邊形重合部分是四邊形(4)t的值為1或或或【分析】（1）根據題意易得先到達終點，所以，，即可得到答案；（2）；（3）分別討論點在線段和上的兩種情況即可，在線段上時需要點在線段以下，在線段上時需要點在點以上；（4）分別討論點在線段和上的重合部分分別為三角形和四邊形的四種情