2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究證明題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究證明題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．已知四邊形ABCD是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線(xiàn)BC，CD于M，N．(1)如圖1，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD上時(shí)，求證：BM+DN=MN(2)如圖2，當(dāng)M，N分別在邊BC，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系(3)如圖3，直線(xiàn)AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的長(zhǎng)．2．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線(xiàn)、于、，交直線(xiàn)于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線(xiàn)段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫(xiě)出線(xiàn)段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為．3．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE與BF交于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證AE⊥BF；（2）如圖2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)N，連接CN，求證：AN+CN＝BN；4．綜合與實(shí)踐：如圖1，在正方形中，連接對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，O重合），連接，．過(guò)點(diǎn)E作交直線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）試猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）試猜想線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，當(dāng)E在線(xiàn)段上時(shí)（不與點(diǎn)C，O重合），交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，保持其余條件不變，直接寫(xiě)出線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．5．在正方形和正方形中，，連接，H是的中點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)B、D、F在同始終線(xiàn)上，求的長(zhǎng)；（2）在（1）條件下，連接．求線(xiàn)段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；（3）如圖2，正方形繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)H在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，求的長(zhǎng)度．6．如圖1，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接、，點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，試推斷四邊形的外形，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線(xiàn)翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，正方形的邊長(zhǎng)為3，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．7．已知正方形，，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、于點(diǎn)M、N，于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，可以通過(guò)證明，得到與的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系是___________；（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中發(fā)覺(jué)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由；（3）如圖③，已知中，，于點(diǎn)H，，，求的長(zhǎng)．8．感知：如圖①，平分，，．推斷與的大小關(guān)系并證明．探究：如圖②，平分，，，與的大小關(guān)系變嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．應(yīng)用：如圖③，四邊形中，，，，則與差是多少（用含的代數(shù)式表示）9．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)覺(jué)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？假如不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，假如成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）10．如圖1，在正方形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）在圖1中，若G在上，且，則成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的閱歷和學(xué)問(wèn)，完成下題：①如圖2，在直角梯形中，，，，E是上一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．②如圖3，在中，，，，，則的面積為_(kāi)___（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）11．已知四邊形和四邊形都是正方形，且．（1）如圖1，連接、，求證：；（2）如圖2，將正方形圍著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置，恰好使得，.①求的度數(shù)；②若正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形的邊長(zhǎng)的值．12．如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，以、為鄰邊作，如圖①所示．（1）求證：是菱形；（2）若，連接、、，如圖②所示，求證：；（3）若，，，是的中點(diǎn)，如圖③所示，求的長(zhǎng)．13．如圖1，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）延長(zhǎng)AE交CE于點(diǎn)F，連接DE．（1）試推斷四邊形BE′FE的外形，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，若DA＝DE，請(qǐng)猜想線(xiàn)段CF于FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（3）如圖1，若AB＝，CF＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．14．已知正方形ABCD，∠EAF＝45°，將∠EAF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊始終與直線(xiàn)CD交于點(diǎn)E，與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)F，連接EF．（1）如圖①，當(dāng)BF＝DE時(shí)，求證：△ABF≌△ADE；（2）若∠EAF旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，求證：∠AFB＝∠AFE；（3）若BC＝4，當(dāng)邊AE經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)時(shí)，在AF的右側(cè)作以AF為腰的等腰直角三角形AFP，直接寫(xiě)出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離．15．如圖1，在正方形中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），垂直于的一條直線(xiàn)分別交、、于點(diǎn)、、．（1）求證；（2）如圖2，若垂足恰好為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求的度數(shù)；（3）如圖3，若該正方形邊長(zhǎng)為11，將正方形沿著直線(xiàn)翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，若，則______．16．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)．（1）問(wèn)題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）問(wèn)題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．推斷△PQB的外形，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延長(zhǎng)：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△PQB的面積．17．中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°得到，E與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如圖1．（1）延長(zhǎng)BC、EF，交于點(diǎn)K，求證：∠BKE=n°；（2）當(dāng)m=150，n=60時(shí)，求四邊形CEFA的面積；（3）如圖3．當(dāng)n=150時(shí)，取BE的中點(diǎn)P和CF的中點(diǎn)Q，直接寫(xiě)出的值．18．（1）如圖1，正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，猜想AE與AF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AC交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，觀(guān)看并猜想CE與MF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王師傅想切一刀后把它拼成正方形．請(qǐng)你幫王師傅在圖3中畫(huà)出剪拼的示意圖．19．如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．（1）試猜想線(xiàn)段BG和AE的關(guān)系（直接寫(xiě)出答案，不用證明）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α≤60°），推斷（1）中的結(jié)論是否仍舊成立？請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論；（3）若BC＝DE＝4，當(dāng)α等于多少度時(shí)，AE最大？并求出此時(shí)AF的值．20．已知，如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BE=DF，連接EF．（1）求∠E的度數(shù)；（2）將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿(mǎn)足0°＜α＜45°時(shí)，設(shè)EF與射線(xiàn)AB交于點(diǎn)G，與AC交于點(diǎn)H，如圖所示，試推斷線(xiàn)段FH、HG、GE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，連接DF、BE，并延長(zhǎng)EB交直線(xiàn)DF于點(diǎn)P，連接PC，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；線(xiàn)段PC的取值范圍為．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．（1）證明：如圖，延長(zhǎng)到使，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，，，∴，，，在與中，，，，又∵，，；（2），理由如下：如圖，在BM上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，又∵，，∴，故答案為：；（3）如圖，在DN上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，，在與中，，，，，∴，∴，又，，在與中，，，，設(shè)，∵，，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵，∴，在與中，，，，∴CP的長(zhǎng)為3．2．解：（1）證明：把△DBM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴點(diǎn)Q在直線(xiàn)CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，則DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴點(diǎn)P在BM上，∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等邊三角形，∴△BMG是等邊三角形，∴BM=MG=BG，依據(jù)（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，依據(jù)MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案為：2.83．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，，在和中，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作，交AN于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AC，，∵，，∴，由（1）得，，∴，∴,∴，∴，在和中，∴（SAS），∴，∵AN平分，∴，∴，，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴BH=BN，在和中，∴（SAS），∴AH=CN，在中，依據(jù)勾股定理，∴；4．解：（1），理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，在與中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，∴，由（1）知：，∴，∴，∴在中，，在與中，∴，∴，又∵，∴；（3），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交BC于點(diǎn)G，設(shè)CD與EF的交點(diǎn)為點(diǎn)P，∴，由（1）可知：，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，由（1）可知：，∴，在與中，∴，∴，又∵，∴．5．解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴AB=AD=1，，∠A=∠G=90°，∴，，∵H為BF的中點(diǎn)，∴；（2）AH=GH，AH⊥GH，理由如下：如圖所示，連接AC交BD于P，連接EG交DF于Q，∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，∴，，∠APH=∠GQH=90°，∴∠GHQ+∠HGQ=90°，∴，，∴，，∴△APH≌△HQG（SAS），∴AH=GH，∠AHP=∠HGQ，∴∠AHP+∠GHQ=90°，∴∠AHG=90°，∴AH⊥GH；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AH交AH的延長(zhǎng)線(xiàn)于P，連接AG，GP∵AB⊥AH，∴AB∥PF，∴∠ABH=∠PFH，在△ABH和△PFH中∴△ABH≌△PFH（AAS），∴AH=PH，AB=PF，又∵AB=AD，∴AD=PF，∵∠HPF=∠FGD=90°，∴∠ADG=∠PFG，∴△ADG≌△PFG（SAS），∴AG=PG，∠PGF=∠AGD，∵∠PGF+∠PGD=90°，∴∠AGD+∠PGD=90°，∴△AGP為等腰直角三角形，∴AH=GH，AH⊥GH，設(shè)DH=x，則AH=GH=1+x，在Rt△DHG中，∴，解得，∴DH=1，AH=GH=2，∴，∴∠FHG=∠FGH，∵∠AHB+∠FHG=∠FHP+∠FHG=90°，∠FGH+∠DGH=90°，∴∠AHB=∠DGH，又∵∠EDH+∠GDH=∠DGH+∠GDH=90°，∴∠AHB=∠DGH=∠EDH，連接BD，在△BDH和△EHD中，，∴△BDH≌△EHD（SAS）∴EH=BD=．6．（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，∴∠AHB=90°，∴，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：四邊形為正方形，理由如下：∵、為、中點(diǎn)，∴為的中位線(xiàn)，∴，，∵點(diǎn)、、、分別是、、、的中點(diǎn)，∴PQ是的中位線(xiàn)，MQ為的中位線(xiàn)，NP為的中位線(xiàn)，，∴，，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，∴四邊形為菱形，∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為正方形．（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知，，，在中，，∴，設(shè)，則，在中，，，∴，在中，．7．解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．由折疊可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，設(shè)AH＝AB＝BC＝CD＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，∴，解得或（舍去），∴．8．【詳解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：與的大小關(guān)系不變，還是相等，理由如下：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠DEB=∠DFC=90°，如圖所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB與△DGC都為等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．9．解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案為：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延長(zhǎng)CB至E，使BE＝DN，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∵BE＝DN，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH．（3）分別沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C，如圖：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，設(shè)NH＝x，則MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．10．解：（1）證明：在正方形ABCD中CB=CD，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE≌△DCF（已證），∴∠BCE=∠DCF．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=FG．∵FG=GD+DF，∴GE=BE+GD．（3）①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，由（2）和題設(shè)知：DE=DG+BE，設(shè)DG=x，則AD=12-x，DE=x+4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得：AD2+AE2=DE2∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2解得x=6．∴DE=6+4=10；②將△ABD沿著AB邊折疊，使D與E重合，△ACD沿著AC邊折疊，使D與G重合，可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，∴∠EAG=∠E=∠G=90°，AE=AG=AD，BD=EB=2，DC=CG=3，∴四邊形AEFG為正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，可得BF=x-2，CF=x-3，在Rt△BCF中，依據(jù)勾股定理得：BF2+CF2=BC2，即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2，解得：x=6或x=-1（舍去），∴AD=6，則S△ABC=BC?AD=15．11．（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°.∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，∴∠BCG=∠DCE.在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE(SAS).∴BG=DE；（2）①連接BE.由（1）可知：BG=DE.∵CG//BD，∴∠DCG=∠BDC=45°.∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°.∵∠GCE=90°，∴∠BCE=360°?∠BCG?∠GCE=360°?135°?90°=135°.∴∠BCG=∠BCE.∵BC=BC，CG=CE，在△BCG和△BCE中，,∴△BCG≌△BCE(SAS).∴BG=BE.∵BG=BD=DE，∴BD=BE=DE.∴△BDE為等邊三角形．∴∠BDE=60°.②延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG(SSS)，∴∠BEC=∠DEC，∴EH⊥BD，BH=BD.∵BC=CD=，在Rt△BCD中由勾股定理，得∴BD=2.∴BE=2∴BH=1.∴CH=1.在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH，∴CE=?1.∴正方形CEFG的邊長(zhǎng)為?1.12．（1）證明：平分，．四邊形是平行四邊形，，，，，，．又四邊形是平行四邊形，平行四邊形為菱形；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，．由（1）知，四邊形是菱形，，，，，．是的平分線(xiàn)，，，，，，，；（3）如圖，連接，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形．又由（1）可知四邊形為菱形，，四邊形為正方形，．為中點(diǎn)，，．在和中，，是等腰直角三角形．，，，．13．解：（1）四邊形BE′FE是正方形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四邊形BE′FE是矩形，由旋轉(zhuǎn)得，BE′＝BE，∴四邊形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，則∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，在△ADG和△BAE中，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四邊形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋轉(zhuǎn)得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，∵BE＝FE′，CF＝3，∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝，∴(BE+3)2+BE2＝()2，解得，BE＝1或BE＝﹣4（不符合題意，舍去），∴AE＝1+3＝4，由（2）得，△ADG≌△BAE，∴DG＝AE＝4，AG＝BE＝1，∴GE＝AE﹣AG＝4﹣1＝3，∵∠DGE＝90°，∴DE＝＝＝5．14．解：（1）證明：四邊形為正方形，，．在和中，，．（2）延長(zhǎng)到，使，連接，如圖，四邊形為正方形，，．．在和中，，．，．，．即．，．在和中，，．．（3）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為或4，理由：當(dāng)①時(shí)，；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，如圖，四邊形為正方形，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．設(shè)，，，，．，．．在中，，．．解得：，（不合題意，舍去）．．，，，，．在和中，，．，到直線(xiàn)的距離為．②當(dāng)，時(shí)，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，如圖，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，，，，．在和中，，．．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．綜上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為或4．15．（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖1所示∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴∵，∴，在和中，∴∴，∴；（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，如圖2所示：∵四邊形是正方形，∴四邊形為矩形，∴，，，∵是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵是的垂直平分線(xiàn)，∴，在和中，∴，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，即；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖3所示，由折疊的性質(zhì)可知，∴∴∴16．解:（1）∵點(diǎn)O為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P為BC的中點(diǎn)，Q為BO的中點(diǎn)，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案為：PQBO，PQ⊥BO．（2）△PQB的外形是等腰直角三角形．理由如下：連接O'P并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵將△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF為等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)Q為O'B的中點(diǎn)，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的外形是等腰直角三角形；（3）延長(zhǎng)O'E交BC邊于點(diǎn)G，連接PG，O'P．∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線(xiàn)，∴∠ECG＝45°，由旋轉(zhuǎn)得，四邊形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC為等腰直角三角形．∵點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB為等腰直角三角形，∵點(diǎn)Q是O'B的中點(diǎn)，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ?PQ．17．（1）設(shè)、交于點(diǎn)，是旋轉(zhuǎn)所得，，，，，；（2）連，作于，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；（3）如圖，取CE中點(diǎn)G，連接PG，QG，則PG，QG為△BCE和△FCE的中位線(xiàn)，∴，，△GPQ為等腰三角形，依據(jù)中位線(xiàn)定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，∴在四邊形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，作CN⊥FA于N點(diǎn)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，∴∠CAN=30°，在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，∴CN=3，，∴NF=AN+AF=由勾股定理得：，∴，即：，此時(shí)，作GM⊥PQ，則依據(jù)“三線(xiàn)合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，∴，∴，∴．18．（1）AE=AF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD．∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE．在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE（ASA）∴AE=AF；（2）CE=MF．理由：∵△ABF≌△ADE，∴∠BAF=∠DAE，∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM=∠AEC．∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°，∴∠MAF=∠EAC，在△AMF和△ACE中，∴△AMF≌△ACE（ASA），∴CE=MF．(3)如圖所示．過(guò)A作AE⊥BC交BC于E，由于A