方程組的解集 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

2.1.3方程組的解集新授課2.1等式1.知道方程組解集的表示方法2.掌握求方程組解集的方法情境與問(wèn)題：《九章算術(shù)》第八章“方程”問(wèn)題一：今有上禾三秉,中禾二秉，下禾一秉；實(shí)三十九斗；上禾ニ秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗.問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何.怎么求解這個(gè)問(wèn)題.

思考：為了更好地解決上述問(wèn)題，我們先來(lái)研究以下問(wèn)題，將x-y=1看成含有兩個(gè)未知數(shù)x，y的方程：知識(shí)點(diǎn)：方程組的解集?x∈R，?y∈R，x-y=1，方程x-y=1的解集是無(wú)限集.因?yàn)?-2=1,所以(x，y)=(3,2)是方程x-y=1的解；(1)判斷(x，y)=(3,2)(指的是)是否是這個(gè)方程的解；(2)判斷這個(gè)方程的解集是有限集還是無(wú)限集.

在剛才二元一次方程的基礎(chǔ)上再增加一個(gè)方程，如何求方程組的解集？解集是有限集還是無(wú)限集．①+②②-①方程組中，由每個(gè)方程的解集得到的交集稱(chēng)為這個(gè)方程組的解集.①②x=2消去yy=1方程組的解為(x,y)=(2,1)消去x該方程組的解集{(x,y)|x-y=1}∩{(x,y)|x+y=3}={(2,1)}，是有限集.求方程組解集的過(guò)程要不斷應(yīng)用等式的性質(zhì)，常用方法是消元法.

設(shè)上禾實(shí)一秉x斗，中禾實(shí)一秉y斗，下禾實(shí)一秉z斗，根據(jù)題意可列方程組回到情境問(wèn)題:由此可解得這個(gè)方程組的解集為②①③①-②消去z，得y=x-5④,②×3-③消去z，得5x+7y=76⑤④代入⑤消去y，得

(x，y，z)=(3,2,0)和(x，y，z)=(4,4,1)均為上述方程組的解.

將z看成已知數(shù)，可得方程組的解集可以寫(xiě)成A={(x,y,z)|x=z+3，y=2z+2，z∈R}.x=z+3,y=2z+2,

思考：如果是三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程，如何求解集呢？設(shè)方程組

的解集為A.判斷(x，y，z)=(3,2,0)和(x，y，z)=(4,4,1)是否是集合A中的元素；判斷A是一個(gè)有限集還是一個(gè)無(wú)限集.這個(gè)集合含有無(wú)限多個(gè)元素，是一個(gè)無(wú)限集.

當(dāng)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解集可能含有無(wú)窮多個(gè)元素.此時(shí)，如果將其中一些未知數(shù)看成常數(shù)，那么其他未知數(shù)往往能用這些未知數(shù)表示出來(lái).歸納總結(jié)例1

求方程組的解集.解：將②代入①，整理得解得x=1或x=-2.利用②可知x=1時(shí)，y=2；x=-2時(shí)，y=-1.所以原方程組的解集為①②例2

求方程組的解集.解：由①－②，整理得由③解得x=3-2y.代入①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得或①②③所以原方程組的解集為利用③可知y=1時(shí)，x=1；

時(shí)，

由兩個(gè)關(guān)于x，y的二元二次方程組成的二元二次方程組，一般不能直接用代入消元法求解，往往需要先消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)關(guān)于x，y的一次方程，再利用所得一次方程進(jìn)行代入消元.歸納總結(jié)練一練求下列方程的解集：解：(1)由2x-y=0得y=2x，將其代入得x2-(2x)2+3=0，解得x=1或x=-1.當(dāng)x=1時(shí)y=2；x=-1時(shí)，y=-2.所以原方程組的解集為(1)

(2)

①②①②求下列方程的解集：將③代入①得(4-2y)2+y2=4,整理得5y2-16y+12=0,所以原方程組的解集為(1)

(2)

①②①②(2)①-②