二面角+第1課時 高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第一冊

1.2.4

二面角

第1課時新授課回顧：在初中，角的定義是什么？

由公共端點出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點叫做角的頂點，兩條射線叫做角的兩條邊.角1.理解二面角及其平面角的概念.2.掌握作二面角的基本方法和步驟，會求二面角的大小.

情境：日常生活中，很多場景中都有平面與平面成一定角度的形象，如圖(1)(2)所示日常生活中還有哪些類似的例子？怎樣刻畫平面與平面所成的角呢？知識點一：二面角及其平面角的概念.

一個平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫做半平面.

一條直線上的一個點把這條直線分成兩個部分，其中的每一部分都叫做射線.概念生成二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形l

二面角的棱二面角的面AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCD表示方法：生活中的二面角思考：類比二面角和平面角，如何表示二面角的大小?如圖所示，在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O(shè)為垂足，分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.特別地，平面角是直角的二面角稱為直二面角.二面角的大小用它的平面角大小來度量則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角A′B′O′∠AOB=∠A′OB′約定二面角及其平面角大小范圍：[0，π]二面角的平面角的定義的三個主要特征：(1)過棱上任意一點；(2)分別在兩個半平面內(nèi)作射線；(3)射線垂直于棱.l

在地理學科中所學過的黃赤交角，指的就是黃道平面(即地球公轉(zhuǎn)的軌道所在平面)與赤道平面之間的夾角，它的大小為23°26'，如圖所示.

例1如圖所示，已知二面角α-l-β的棱上有A，B兩個點，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α-l-β的大小.解：如圖所示，在平面β內(nèi)過A作BD的平行線AE，且使得AE=BD，連接CE，ED.因為四邊形AEDB是一個矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一個平面角.又AB⊥面AEC，所以ED⊥面AEC，從而在△AEC中，由余弦定理可知

定義法求二面角的一般步驟：歸納總結(jié)(1)作(找)出二平面的平面角；(2)寫出(或證明)作(找)出平面角的過程；(3)計算：利用解三角形知識求解；(4)結(jié)論：根據(jù)題意給出結(jié)果.

思考：如圖所示，設(shè)S為二面角α-AB-β的半平面α上的一點，過點S作半平面β的垂線SS'，設(shè)O為棱AB上一點.(1)判斷SO⊥AB是S′O⊥AB的什么條件；(2)結(jié)合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？

(1)因為S′是S在平面β內(nèi)的射影，所以S′O是SO在平面β內(nèi)的射影.根據(jù)三垂線定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S'O⊥AB的充要條件.知識點二：作二面角的平面角(2)當二面角α-AB-β是一個銳角時，得到作出它的平面角的另一種方法：

①過其中一個半平面內(nèi)一點S，作另一個半平面的垂線段SS'②過S(或S')作棱的垂線SO(或S'O)③連接S'O(或SO)即可.面積射影定理：射影三角形與原三角形的面積之比為cosθ.如果二面角α-AB-β的大小為θ，在△SOS′中，因為所以

解：設(shè)O，E分別為AC，AB的中點，連接SO，OE，SE，如圖所示.因為SA=SC，所以SO⊥AC，因此SE在平面ABC內(nèi)的射影為OE，且OE為△ABC的中位線，AB⊥BC，所以AB⊥OE.又因為面SAC⊥面ABC，所以SO⊥面ABC，由三垂線定理可知AB⊥SE，因此∠SEO為二面角S-AB-C的一個平面角.

即所求二面角大小為45°.

歸納總結(jié)1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，求二面角B1-A1C1-B的大小.練一練解：連接B1D1交AC于O，連接BO.∵BB1⊥面A1B1C1D1，而B1D1⊥A1C1，∴BO⊥A1C1，∠BOB1是二面角B