信息光學(xué)課件CHAP6

第六章計(jì)算全息Computer－GeneratedHologram

涉及多學(xué)科知識(shí)，包括全息學(xué)、干涉術(shù)、調(diào)制技術(shù)、付里葉變換、數(shù)字計(jì)算方法和程序設(shè)計(jì)。16.1計(jì)算全息的理論基礎(chǔ)6.1.1概述如果知道物光波的數(shù)學(xué)描述，用計(jì)算機(jī)模擬物光波和參考光波的干涉，并將計(jì)算結(jié)果繪制或輸出到透明膠片上。合成的全息圖為計(jì)算全息圖。可以產(chǎn)生三維虛構(gòu)像。2歷史1965年羅曼（A.W.Lohmann)研究計(jì)算機(jī)繪制振幅濾波器，制出第一張計(jì)算全息圖。1967年巴里斯（Paris）引入快速付里葉變換算法，得到付里葉變換計(jì)算全息圖。1969年賴賽姆（Lesem)提出相息圖。1971年李威漢（Wai－HonLee）提出計(jì)算全息圖技術(shù)。3應(yīng)用范圍二維、三維物體像的顯示光學(xué)信息處理中使用的空間濾波器產(chǎn)生特定的波面用于全息干涉計(jì)量激光掃描器數(shù)據(jù)存貯4計(jì)算全息圖制作流程物體離散樣點(diǎn)分布全息圖面上付里葉變換譜全息透過率函數(shù)計(jì)算全息圖像抽樣離散付里葉變換編碼繪圖再現(xiàn)抽樣：得到物體或波面在離散樣點(diǎn)上的值計(jì)算：計(jì)算物光波在全息平面上光場(chǎng)分布（離散付里葉變換）。編碼：把全息平面上的光波復(fù)振幅分布編碼成全息圖的透過率變化。成圖：圖像輸出，可通過縮微獲得實(shí)現(xiàn)高分辨率全息圖。再現(xiàn)：和普通全息圖相同。56.1.2抽樣定理

將連續(xù)分布函數(shù)用離散點(diǎn)集上的函數(shù)值即抽樣來表示。如連續(xù)函數(shù)f(x)和序列f（n)之間滿足式中：t0為抽樣起點(diǎn)，n為抽樣點(diǎn)序號(hào)，Dt為抽樣間隔，f(n)是抽樣值或抽樣值序列。61.函數(shù)的抽樣梳狀函數(shù)性質(zhì)Dx是抽樣間隔。7利用梳狀函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)f(x,y)抽樣，抽樣函數(shù)由d函數(shù)的陣列構(gòu)成。利用卷積定理，抽樣函數(shù)的頻譜為8函數(shù)在空域被抽樣，對(duì)應(yīng)函數(shù)的頻譜在頻域的周期性重復(fù)?？沼虺闃娱g隔Dx

Dy，在頻域重復(fù)的頻譜島的中心間距為1/Dx和1/Dy。9抽樣還原條件假定f(x,y)是有限帶寬函數(shù)，2Bx和2By是x和h方向的帶寬只要1/Dx≥2Bx，及1/Dy≥2By，或抽樣間隔滿足Fs(x,h)中各頻譜島就不會(huì)出現(xiàn)混淆現(xiàn)象，可以通過濾波的方法從Fs(x,h)中分離出原函數(shù)頻譜，從而恢復(fù)原函數(shù)。10奈魁斯特（Nyquist)定理一個(gè)有限帶寬的函數(shù)，它沒有頻率在Bx和By以上的頻譜分量，則該函數(shù)可以由一系列間隔小于1/Bx和1/By的抽樣值唯一確定。112.函數(shù)的復(fù)原

將抽樣函數(shù)作為輸入，加到低通濾波器上，只要抽樣函數(shù)的頻譜不產(chǎn)生混疊，總可以選擇適當(dāng)?shù)臑V波函數(shù)，使Fs(x,h)中n＝0,m=0的項(xiàng)無畸變通過，而濾除其它各項(xiàng)，濾波器的輸出就是復(fù)原的原函數(shù)。12如果選擇矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)，從Fs(x,h)中分離出F(x,h)可等效于空域中的卷積運(yùn)算式中13代入得若取最大的抽樣間隔，Dx＝1/Bx，Dy＝1/By，則上式稱惠特克－香農(nóng)（Whittaker-Shannon)抽樣定理。14惠特克－香農(nóng)抽樣定理意義只要抽樣定理滿足公式（6.1.6)所給的條件則每一個(gè)抽樣點(diǎn)上放置一個(gè)以抽樣值為權(quán)重的sinc函數(shù)作為內(nèi)插函數(shù)，由這些加權(quán)sinc函數(shù)的線性組合可復(fù)原原函數(shù)。15抽樣定理公式就是由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算在抽樣點(diǎn)之間所不知道的非抽樣點(diǎn)函數(shù)值，在數(shù)學(xué)上就是插值公式抽樣定理的重要意義在于它表明，準(zhǔn)確的插值是存在的。也就是說，由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)可以在一定條件下實(shí)現(xiàn)一個(gè)連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息惠特克－香農(nóng)抽樣定理意義166.1.3計(jì)算全息的抽樣與信息容量對(duì)光學(xué)圖像的抽樣也要滿足抽樣定理，以避免出現(xiàn)頻譜混疊，計(jì)算全息圖的再現(xiàn)過程應(yīng)選擇合適的空間濾波器，這樣才能恢復(fù)所需的波前。17

圖像在光學(xué)儀器中傳輸受到兩方面的限制1.孔徑光闌檔掉超過截止頻率的高頻信息；2.視場(chǎng)光闌限制了視場(chǎng)以外的物空間。通過光學(xué)信道的信息容量公式信息量＝頻帶寬度×空間寬度稱空間帶寬積，是空間信號(hào)f(x,y)在空間域和頻譜域中所占的空間量度?？臻g帶寬積是通過光學(xué)信道信息量的量度。大口徑大視場(chǎng)代表著高質(zhì)量的光學(xué)系統(tǒng)?？臻g帶寬積18空間帶寬積若限帶函數(shù)在頻域,以外恒為零，根據(jù)抽樣定理，函數(shù)在空域中抽樣數(shù)至少為

式中4XY表示函數(shù)在空域覆蓋的面積,4BxBy表示函數(shù)在頻域中覆蓋的面積。在該區(qū)域的函數(shù)可由數(shù)目為16XYBxBy

的抽樣值來近似表示?？臻g帶寬積就定義為函數(shù)在空域和頻域中所占有的面積之積：19SW的計(jì)算圖像在空域和頻域中所占的面積都是矩形，其各邊長(zhǎng)為Dx,Dy,Dx,Dh,則有SW＝DxDyDxDh或SW＝DxDy2Bx2By例圖像空間尺寸40mm×40mm，最高空間頻率Bx＝10l/mm，By＝10l/mm，該圖像的空間帶寬積為SW＝40×40×20×20＝8002由空間帶寬積確定計(jì)算全息抽樣點(diǎn)數(shù)由空間帶寬積確定計(jì)算全息抽樣點(diǎn)數(shù)為8002206.1.4時(shí)域信號(hào)和空域信號(hào)的調(diào)制和解調(diào)調(diào)制（編碼）將連續(xù)的信號(hào)變成脈沖序列；解調(diào)（解碼）將脈沖序列還原出連續(xù)信號(hào)。通信系統(tǒng)中的調(diào)制方式1.脈沖幅度調(diào)制（PAM)2.脈沖寬度調(diào)制（PWM)3.脈沖位置調(diào)制（PPM)21二元全息圖的抽樣單元每個(gè)單元中有一個(gè)矩形開孔，其透過率為1，未開孔部分透過率為0。用開孔面積表示對(duì)應(yīng)抽樣點(diǎn)的物波幅值，用開孔的中心偏離單元中心的距離表示抽樣點(diǎn)的物波相位。因?yàn)楣鈭?chǎng)分布一般是復(fù)值函數(shù)，要用兩個(gè)實(shí)值函數(shù)來表示，所以對(duì)振幅采用空間脈沖寬度調(diào)制對(duì)相位采用空間脈沖位置調(diào)制226.1.5計(jì)算全息的分類1.第一種分類方法依據(jù)物體和記錄平面的相對(duì)位置區(qū)分為（1）計(jì)算傅立葉變換全息（2）計(jì)算像全息（3）計(jì)算菲涅耳全息232.第二種分類方法依據(jù)全息透過率函數(shù)性質(zhì)區(qū)分振幅型 二元計(jì)算全息 抗干擾能力強(qiáng) 灰階計(jì)算全息相位型衍射效率高6.1.5計(jì)算全息的分類246.1.5計(jì)算全息的分類依據(jù)制作時(shí)的編碼技術(shù)可分為 迂回相位型計(jì)算全息圖 修正型離軸參考光計(jì)算全息 相息圖 計(jì)算全息干涉圖256.2計(jì)算全息的編碼方法6.2.1計(jì)算全息的編碼將二維光場(chǎng)復(fù)振幅分布變換為二維透過率分布的過程，稱計(jì)算全息的編碼。由于成圖設(shè)備的輸出大多只能是實(shí)值非負(fù)函數(shù)，因此編碼問題歸結(jié)為將二維離散的復(fù)值函數(shù)變換為二維離散的實(shí)值函數(shù)的問題；而且，這種轉(zhuǎn)換能夠在再現(xiàn)階段完成其逆轉(zhuǎn)換，即從二維離散實(shí)值函數(shù)恢復(fù)二維復(fù)值函數(shù)。26編碼過程的數(shù)學(xué)表示hi是計(jì)算全息的透過函數(shù)，是實(shí)值非負(fù)函數(shù)。f(x,y)是待記錄的光波復(fù)振幅分布；Ci可看成編碼算符，表示不同的編碼技術(shù)。f(x,y)可以是物光波，對(duì)應(yīng)計(jì)算像全息；也可以是f(x,y)的傅立葉變換，對(duì)應(yīng)計(jì)算傅立葉變換全息。271.羅曼型對(duì)光波振幅的編碼控制全息圖上小單元的透過率或開孔面積實(shí)現(xiàn)對(duì)相位編碼相位板技術(shù)困難。羅曼采用不規(guī)則光柵衍射技術(shù)，提出迂回相位編碼方案。平面波垂直照射光柵，如果光柵間距恒定，每一級(jí)衍射都是平面波。

設(shè)柵距為d，第K級(jí)衍射角為qk，在qk方向上的光程差為是

Lk＝dsinqk＝Kl。如果柵距有誤差，如某一根光柵柵距增大了D，則該處沿qk方向相鄰光線的光程差變?yōu)閝k方向的衍射光波在該位置處引入相應(yīng)的相位延遲為稱迂回相位。6.2.2迂回相位編碼方法28迂回相位的值與衍射級(jí)次成正比，與波長(zhǎng)無關(guān)。通過改變局部的光柵柵距可以在某個(gè)衍射方向上得到所需要的相位調(diào)制。利用這種效應(yīng)對(duì)相位進(jìn)行編碼。假定全息圖平面共有M×N個(gè)抽樣單元，抽樣間距為dx和dy，在全息圖上待記錄的光波復(fù)振幅的樣點(diǎn)值是式中Amn是歸一化振幅，0≤Amn≤1在全息圖每個(gè)抽樣單元內(nèi)放置一個(gè)矩形透光孔，通過改變透光孔徑面積來編碼復(fù)數(shù)波面的振幅；改變透光孔徑中心與抽樣單元中心位置來編碼相位。Lk＝dsinqk＝Kl29矩形孔徑寬度Wdx，W是常數(shù)；高度是Lmndy，與歸一化振幅成正比，高度方向與單元中心對(duì)稱分布；Pmndx是孔徑中心與單元中心的距離，與抽樣點(diǎn)的相位成正比。孔徑參數(shù)與復(fù)值函數(shù)關(guān)系為在y方向上采用脈沖寬度調(diào)制，在x方向采用了脈沖位置調(diào)制。制作簡(jiǎn)單、噪聲低、抗干擾能力強(qiáng)，對(duì)記錄材料的非線性效應(yīng)不敏感。再現(xiàn)方法與光學(xué)全息圖相似，觀察范圍僅限于沿x方向的某個(gè)特定的衍射級(jí)次K方向，才能再現(xiàn)波前f(x,y)。采用適當(dāng)?shù)臑V波可以將期望的波前和與其它衍射級(jí)次的波前分開。302.四級(jí)迂回相位法將全息圖的一個(gè)單元沿x方向分為四等分，各部分相位分別是0,p/2，p，3p/2。復(fù)振幅可以沿圖中四個(gè)相位方向分解為四個(gè)正交分量r+、r-、j+、j-是復(fù)平面上的四個(gè)基矢量，f1,f2,f3,f4是實(shí)的非負(fù)數(shù)，其中只有兩個(gè)為非零值?？赏ㄟ^調(diào)制兩個(gè)子單元中的開孔大小或灰度，實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)單元的復(fù)振幅的振幅和相位的表達(dá)。313.三階迂回相位法在復(fù)平面上用三個(gè)基矢就可以表征平面上任一復(fù)矢量，全息圖上一個(gè)單元可分為三個(gè)子單元，分別表示復(fù)平面上相位差為2p/3的三個(gè)基矢。在子單元上用開孔面積或灰度等級(jí)來表示振幅分量的大小。326.2.3修正離軸參考光的編碼方法通過模仿光學(xué)離軸全息的方法，在計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)光波復(fù)振幅分布與一虛擬軸參考光疊加，使全息圖上的復(fù)振幅分布轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度分布，避免相位編碼問題。在全息圖上用開孔面積或灰度變化來編碼這個(gè)實(shí)的非負(fù)函數(shù)，完成編碼。設(shè)待記錄的物光波復(fù)振幅為f(x,y)，離軸的平面參考光波為R(x,y),在線性記錄條件下，忽略不重要的常數(shù)因子，光學(xué)離軸全息的透過率函數(shù)為第一二項(xiàng)是光學(xué)全息中不可避免地伴生的。在計(jì)算全息中可以將他們?nèi)サ簟?3重新構(gòu)造全息函數(shù)為A(x,y)為歸一化振幅，34物波的空間頻譜范圍，帶寬2Bx和2By光學(xué)離軸全息圖的空間頻譜，中心為x＝±a的兩個(gè)矩形代表物波頻譜，對(duì)稱中心為R2的頻譜，中間的大矩形是A2（x，y)的自相關(guān)。圖c為抽樣后的計(jì)算全息頻譜圖，是光學(xué)離軸全息空間頻譜圖的周期性重復(fù)。其抽樣間隔必須為dx≤1/8Bx,dy≤1/4By，35圖d是修正離軸全息圖頻譜，由于去掉A2(x,y)項(xiàng)，頻域中自相關(guān)項(xiàng)的頻譜不存在。只有兩個(gè)頻代表物波頻譜的矩形和坐標(biāo)原點(diǎn)的d函數(shù)。抽樣后的計(jì)算全息頻譜圖，為了在頻域中避免重疊，只要滿足a≥Bx

，因此制作計(jì)算全息圖時(shí)只要滿足抽樣間隔dx≤1/4Bx,dy≤1/2By?？偟某闃狱c(diǎn)數(shù)降低為原來的1/4。366.2.4二元脈沖密度編碼對(duì)要記錄的物波函數(shù)構(gòu)造一個(gè)計(jì)算全息圖式中：A(x,y)是歸一化振幅，0≤h(x,y)≤1。對(duì)全息圖函數(shù)進(jìn)行二值化抽樣。在二值化時(shí)將誤差向相鄰像素?cái)U(kuò)散。37二維圖像的二值化方法和誤差擴(kuò)散Flogd-Steinberg矩陣38計(jì)算傅立葉變換全息迂回相位編碼法修正離軸參考光編碼法6.3.1抽樣以迂回相位編碼法為例。設(shè)物波函數(shù)f(x,y)，頻譜為F(x,h)。空域?qū)挾菵x，Dy；頻域?qū)挾菵x，Dh或2Bx，2By。并且39抽樣單元數(shù)對(duì)于物波函數(shù)，x方向的抽樣間隔dx≤1/Dx。在y方向dy≤1/Dh。取等號(hào)，空域的抽樣單元數(shù)在頻譜面上，在x方向抽樣間隔取dx＝1/Dx；在h方向抽樣間隔dh＝1/Dy。頻域的抽樣點(diǎn)數(shù)物面的抽樣單元數(shù)和頻譜面上的全息圖抽樣單元數(shù)相等。說明物空間和譜空間具有相同的空間帶寬積。40物波函數(shù)和物譜函數(shù)可以表示為