2024屆貴州省遵義市求是高級中學高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆貴州省遵義市求是高級中學高一數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，已知，則角（）A．90° B．105° C．120° D．135°2．已知，且，，則（）A． B． C． D．3．把等差數(shù)列1,3,5,7,9,…依次分組,按第一個括號一個數(shù),第二個括號二個數(shù),第三個括號三個數(shù),第四個括號一個數(shù),…循環(huán)分為,,,,,,,…,則第11個括號內的各數(shù)之和為()A．99 B．37 C．135 D．804．如圖是某個正方體的平面展開圖，，是兩條側面對角線，則在該正方體中，與（）A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為5．已知某線路公交車從6:30首發(fā)，每5分鐘一班，甲、乙兩同學都從起點站坐車去學校，若甲每天到起點站的時間是在6:30~7:00任意時刻隨機到達，乙每天到起點站的時間是在6:45~7:15任意時刻隨機到達，那么甲、乙兩人搭乘同一輛公交車的概率是（）A． B． C． D．6．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．7．圓心為且過原點的圓的方程是（）A．B．C．D．8．已知集合，，則（）A． B．C． D．9．化簡的結果是（）A． B． C． D．10．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔的南偏西距塔64海里的處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的處,則這只船的航行速度為__________海里/小時．12．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則________13．在中，已知，則下列四個不等式中，正確的不等式的序號為____________①②③④14．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.15．數(shù)列滿足下列條件：，且對于任意正整數(shù)，恒有，則______.16．體積為8的一個正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,四棱錐中,是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面平面.(1)若點E是PC的中點,求證:平面BDE;(2)若點F在線段PA上,且,當三棱錐的體積為時,求實數(shù)的值.18．某高校自主招生一次面試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖均收到了不同程度的損壞，其可見部分信息如下，據(jù)此解答下列問題：（1）求參加此次高校自主招生面試的總人數(shù)、面試成績的中位數(shù)及分數(shù)在內的人數(shù)；（2）若從面試成績在內的學生中任選三人進行隨機復查，求恰好有二人分數(shù)在內的概率.19．在中，D是線段AB上靠近B的一個三等分點，E是線段AC上靠近A的一個四等分點，，設，.（1）用，表示；（2）設G是線段BC上一點，且使，求的值.20．已知數(shù)列滿足：，，.（1）求、、；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；（3）求和.21．某同學假期社會實踐活動選定的課題是“節(jié)約用水研究”.為此他購買了電子節(jié)水閥，并記錄了家庭未使用電子節(jié)水閥20天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了電子節(jié)水閥20天的日用水量數(shù)據(jù)，并利用所學的《統(tǒng)計學》知識得到了未使用電子節(jié)水閥20天的日平均用水量為0.48，使用了電子節(jié)水閥20天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下圖：（1）試估計該家庭使用電子節(jié)水閥后，日用水量小于0.35的概率；（2）估計該家庭使用電子節(jié)水閥后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由誘導公式和兩角差的正弦公式化簡已知不等式可求得關系，求出后即可求得．【題目詳解】，∴，是三角形內角，，，則由得，∴，從而．故選：C.【題目點撥】本題考查兩角差的正弦公式和誘導公式，考查正弦函數(shù)性質．已知三角函數(shù)值只要確定了角的范圍就可求角．2、C【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及兩角和差的正弦公式計算可得.【題目詳解】解：因為，．因為，所以．因為，，所以．所以．故選：【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和差的正弦公式，屬于中檔題.3、D【解題分析】

由已知分析，尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律，找出第11個括號的所有數(shù)據(jù)即可.【題目詳解】因為每三個括號，總共有數(shù)據(jù)1+2+3=6個，相當于一個“周期”，故第11個括號，在第4個周期的第二個括號；則第11個括號中有兩個數(shù)，其數(shù)值為首項為1，公差為2的等差數(shù)列數(shù)列中的第20項(6，第21項的和，即.故選：D.【題目點撥】本題考查數(shù)列新定義問題，涉及歸納總結，屬中檔題.4、D【解題分析】

先將平面展開圖還原成正方體，再判斷求解.【題目詳解】將平面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點重合，所以與相交，連接，則為正三角形，所以與的夾角為.故選D.【題目點撥】本題主要考查空間直線的位置關系，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解題分析】

根據(jù)甲、乙的到達時間，作出可行域，然后考慮甲、乙能同乘一輛公交車對應的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的概率求解方法即可求解出對應概率.【題目詳解】設甲到起點站的時間為：時分，乙到起點站的時間為時分，所以，記事件為甲乙搭乘同一輛公交車，所以，作出可行域以及目標區(qū)域如圖所示：由幾何概型的概率計算可知：.故選：D.【題目點撥】本題考查利用線性規(guī)劃的可行域解決幾何概型中的面積模型問題，對于分析和轉化的能力要求較高，注意幾何概型中面積模型的概率計算方法，難度較難.6、D【解題分析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【題目詳解】因為直線與圓相切，所以，，，故選D.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系進行判斷，考查運算能力，屬于基本題.7、D【解題分析】試題分析：設圓的方程為，且圓過原點，即，得，所以圓的方程為.故選D.考點：圓的一般方程.8、A【解題分析】

先化簡集合，根據(jù)交集與并集的概念，即可得出結果?！绢}目詳解】因為，，所以，.故選A【題目點撥】本題主要考查集合的基本運算，熟記概念即可，屬于基礎題型.9、A【解題分析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、B【解題分析】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.考點：本小題主要考查兩圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想，考查分析問題與解決問題的能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由，行駛了4小時，這只船的航行速度為海里/小時．【題目點撥】本題為解直角三角形應用題，利用直角三角形邊角關系表示出兩點間的距離，在用輔助角公式變形求值，最后利用速度公式求出結果.12、1【解題分析】

由題意首先求得數(shù)列的公差，然后結合通項公式確定m的值即可.【題目詳解】根據(jù)題意，設等差數(shù)列公差為d，則，又由，，則，，則，解可得；故答案為1．【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質，關鍵是掌握等差數(shù)列的通項公式，屬于中等題．13、②③【解題分析】

根據(jù)，分當和兩種情況分類討論，每一類中利用正、余弦函數(shù)的單調性判斷，特別注意，當時，.【題目詳解】當時，在上是增函數(shù)，因為，所以，因為在上是減函數(shù)，且，所以，當時，且，因為在上是減函數(shù)，所以，而，所以.故答案為：②③【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調性在三角形中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【題目詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【題目點撥】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.15、512【解題分析】

直接由，可得，這樣推下去，再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結論。【題目詳解】故選C?！绢}目點撥】利用遞推式的特點，反復帶入遞推式進行計算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結果，本題是一道中等難度題目。16、【解題分析】

由體積為的一個正方體，棱長為，全面積為，則，，球的體積為，故答案為.考點：正方體與球的表面積及體積的算法.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，進一步利用求得最后利用平行線分線段成比例求出λ的值試題解析：（Ⅰ）連接AC，設AC∩BD=Q，又點E是PC的中點，則在△PAC中，中位線EQ∥PA，又EQ?平面BDE，PA?平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依據(jù)題意可得：PA=AB=PB=2，取AB中點O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一點M，則FM⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，則△PBC為直角三角形，所以，則直角三角形△ABD的面積為，由FM∥PO得：考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積18、（1）；；（2）0.6【解題分析】

(1)從分數(shù)落在,的頻率為,人數(shù)為2,求出總人數(shù)的值,從而求出面試成績的中位數(shù)及分數(shù)在,內的人數(shù);(2)用列舉法列出所有可能結果,確定其中符合要求的事件,即可求出概率.【題目詳解】(1)∵分數(shù)落在的頻率為,人數(shù)為2,∴,故,∵分數(shù)在的人數(shù)為15人,∴分數(shù)在的人數(shù)為人,又∵分數(shù)在的人數(shù)為人,∴分數(shù)在的人數(shù)為人,面試成績的中位數(shù)為分;(2)由(1)知分數(shù)在的有5人,分數(shù)在內的有3人,記分數(shù)在的5人為1,2,3,4,5號,分數(shù)在內的3人為1,2,3號,則從這5人中任選3人的基本事件為:123,124,125,134,135,145,234,235,245,345,共10種方式;其中恰有2人的分數(shù)在內的基本事件為:124,125,134,135,234,235,共6種方式,所以所求概率為.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖和莖葉圖的綜合應用,考查古典概型的概率求法,屬于基礎題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）依題意可得、，再根據(jù)，計算可得；（2）設存在實數(shù)，使得，由因為，所以存在實數(shù)，使，再根據(jù)向量相等的充要條件得到方程組，解得即可；【題目詳解】解：（1）因為D是線段AB上靠近B的一個三等分點，所以.因為E是線段AC上靠近A的一個四等分點，所以，所以.因為，所以，則.又，.所以.（2）因為G是線段BC上一點，所以存在實數(shù)，使得，則因為，所以存在實數(shù)，使，即，整理得解得，故.【題目點撥】本題考查平面向量的線性運算及平面向量共線定理的應用，屬于中檔題.20、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】

（1）直接帶入遞推公式即可（2）證明等于一個常數(shù)即可。（3）根據(jù)（2）的結果即可求出，從而求出?！绢}目詳解】（1），，可得；，；（2）證明：，可得數(shù)列為公比為，首項為等比數(shù)列，即；（3）由（2）可得，．【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)通項求數(shù)列中的某一項，以及證明是等比數(shù)列和求前偶數(shù)項和的問題，在這里主要用了分組求和的方法。2