2024屆山西省孝義市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆山西省孝義市第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.已知三角形ABC,如果,則該三角形形狀為()A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上選項均有可能2.已知數(shù)列滿足,且,其前n項之和為,則滿足不等式的最小整數(shù)n是()A.5 B.6 C.7 D.83.已知二次函數(shù),當(dāng)時,其拋物線在軸上截得線段長依次為,則的值是A.1 B.2 C.3 D.44.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù):907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.155.記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點,記.當(dāng)為鈍角時,則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知,與的夾角,則在方向上的投影是()A. B. C.1 D.7.小金同學(xué)在學(xué)校中貫徹著“邊玩邊學(xué)”的學(xué)風(fēng),他在“漢諾塔”的游戲中發(fā)現(xiàn)了數(shù)列遞推的奧妙:有、、三個木樁,木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環(huán),規(guī)定每次只能將一個圓環(huán)從一個木樁移動到另一個木樁,且任意一個木樁上不能出現(xiàn)“編號較大的圓環(huán)在編號較小的圓環(huán)之上”的情況,現(xiàn)要將這七個圓環(huán)全部套到木樁上,則所需的最少次數(shù)為()A. B. C. D.8.已知扇形的半徑為,面積為,則這個扇形圓心角的弧度數(shù)為()A. B. C.2 D.49.如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在河岸邊選定一點C,測出AC的距離為502m,∠ACB=45°,∠CAB=105A.100m B.50C.1002m10.若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA.? B.π6 C.-π二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若,則__________.(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)12.設(shè),,為三條不同的直線,,為兩個不同的平面,下列命題中正確的是______.(1)若,,,則;(2)若,,,則;(3)若,,,,則;(4)若,,,則.13.如圖,在正方體中,點P是上底面(含邊界)內(nèi)一動點,則三棱錐的主視圖與俯視圖的面積之比的最小值為______.14.已知,則____.15.已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則________.16.已知點及其關(guān)于原點的對稱點均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi),則實數(shù)的取值范圍是____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,面積為S,已知(Ⅰ)求證:成等差數(shù)列;(Ⅱ)若求.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且,記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為.(1)若,求序數(shù)的值;(2)若數(shù)列的公差,求數(shù)列的公比及.19.2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際,某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況,隨機抽取了100名學(xué)生,并獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),按閱讀時間分組:第一組[0,5),第二組[5,10),第三組[10,15),第四組[15,20),第五組[20,25],繪制了頻率分布直方圖如下圖所示.已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍.(1)求的值,并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值;(2)現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加?!爸腥A詩詞比賽”.經(jīng)過比賽后,從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊,求這2人來自不同組別的概率.20.某科技創(chuàng)新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設(shè)備,該設(shè)備的第1年的維護費支出為20萬元,從第2年到第6年,每年的維修費增加4萬元,從第7年開始,每年維修費為上一年的125%.(1)求第n年該設(shè)備的維修費的表達式;(2)設(shè),若萬元,則該設(shè)備繼續(xù)使用,否則須在第n年對設(shè)備更新,求在第幾年必須對該設(shè)備進行更新?21.已知等差數(shù)列的前n項和為,且,.(1)求;(2)求.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由正弦定理化簡已知可得:,由余弦定理可得,可得為鈍角,即三角形的形狀為鈍角三角形.【題目詳解】由正弦定理,,可得,化簡得,由余弦定理可得:,又,為鈍角,即三角形為鈍角三角形.故選:B.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

首先分析題目已知3an+1+an=4(n∈N*)且a1=9,其前n項和為Sn,求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|<的最小整數(shù)n.故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到,然后根據(jù)數(shù)列bn=an﹣1為等比數(shù)列,求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案.【題目詳解】對3an+1+an=4變形得:3(an+1﹣1)=﹣(an﹣1)即:故可以分析得到數(shù)列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數(shù)列.所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數(shù)n=7故選C.【題目點撥】此題主要考查不等式的求解問題,其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題,屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題,判斷出數(shù)列an﹣1為等比數(shù)列是題目的關(guān)鍵,有一定的技巧性屬于中檔題目.3、A【解題分析】

當(dāng)時,,運用韋達定理得,運用裂項相消求和可得由此能求出【題目詳解】當(dāng)時,,由,可得,,由,.故選:A.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的極限的運算,裂項相消求和,根與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.4、B【解題分析】

已知三次投籃共有20種,再得到恰有兩次命中的事件的種數(shù),然后利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】三次投籃共有20種,恰有兩次命中的事件有:191,271,932,812,393,有5種∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選:B【題目點撥】本題主要考古典概型的概率求法,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

建立空間直角坐標系,利用∠APC不是平角,可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC<0,即

,從而可求λ的取值范圍.【題目詳解】

由題設(shè),建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,

則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),(0,0,1)

=(1,1,-1),∴

=(λ,λ,-λ),

=

+

=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1)

=

+

=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1)

顯然∠APC不是平角,所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC<0

∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)(λ-1)=(λ-1)(3λ-1)<0,得

<λ<1

因此,λ的取值范圍是(

,1),故選B.

點評:本題考查了用空間向量求直線間的夾角,一元二次不等式的解法,屬于中檔題.6、A【解題分析】

根據(jù)向量投影公式計算即可【題目詳解】在方向上的投影是:故選:A【題目點撥】本題考查向量投影的概念及計算,屬于基礎(chǔ)題7、B【解題分析】

假設(shè)樁上有個圓環(huán),將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上,需要最少的次數(shù)為,根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式,利用遞推公式求出數(shù)列的通項公式,從而得出的值,可得出結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)樁上有個圓環(huán),將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上,需要最少的次數(shù)為,可這樣操作,先將個圓環(huán)從木樁全部套到木樁上,至少需要的次數(shù)為,然后將最大的圓環(huán)從木樁套在木樁上,需要次,在將木樁上個圓環(huán)從木樁套到木樁上,至少需要的次數(shù)為,所以,,易知.設(shè),得,對比得,,且,所以,數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,,因此,,故選:B.【題目點撥】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,同時也考查了利用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項,解題的關(guān)鍵就是利用題意得出數(shù)列的遞推公式,考查推理能力與運算求解能力,屬于中等題.8、D【解題分析】

利用扇形面積,結(jié)合題中數(shù)據(jù),建立關(guān)于圓心角的弧度數(shù)的方程,即可解得.【題目詳解】解:設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為,因為扇形所在圓的半徑為,且該扇形的面積為,則扇形的面積為,解得:.故選:D.【題目點撥】本題在已知扇形面積和半徑的情況下,求扇形圓心角的弧度數(shù),著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】

計算出ΔABC三個角的值,然后利用正弦定理可計算出AB的值.【題目詳解】在ΔABC中,AC=502m,∠ACB=45°,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形,要熟悉正弦定理解三角形對三角形已知元素類型的要求,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

先化簡集合A,B,再求A∩B.【題目詳解】由題得B={x|-1≤x≤3},A=?所以A∩B=π故選:B【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題,二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、;【解題分析】

由條件利用反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【題目詳解】,則,故答案為:【題目點撥】本題考查了反三角函數(shù)的定義和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、(1)【解題分析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定.【題目詳解】(1),,,則,正確(2)若,,,則,錯誤(3)若,則不成立,錯誤(4)若,,,則,錯誤【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理判定,考查了空間想象能力,屬于中檔題.13、【解題分析】

設(shè)正方體的棱長為,求出三棱錐的主視圖面積為定值,當(dāng)與重合時,三棱錐的俯視圖面積最大,此時主視圖與俯視圖面積比值最小.【題目詳解】設(shè)正方體的棱長為,則三棱錐的主視圖是底面邊為,高為的三角形,其面積為,當(dāng)與重合時,三棱錐的俯視圖為正方形,其面積最大,最大值為,所以,三棱錐的主視圖與俯視圖面積比的最小值為.故答案為:.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的三視圖面積計算應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

由于,則,然后將代入中,化簡即可得結(jié)果.【題目詳解】,,,故答案為.【題目點撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系,平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換,商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.15、【解題分析】

利用等差數(shù)列{an}的公差為1,a1,a3,a4成等比數(shù)列,求出a1,即可求出a1.【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的公差為1,a1,a3,a4成等比數(shù)列,

∴(a1+4)1=a1(a1+2),

∴a1=-8,

∴a1=-2.

故答案為-2..【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的通項,考查學(xué)生的計算能力,屬基礎(chǔ)題..16、【解題分析】

根據(jù)題意,設(shè)與關(guān)于原點的對稱,分析可得的坐標,由二元一次不等式的幾何意義可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,設(shè)與關(guān)于原點的對稱,則的坐標為,若、均在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi),則有,解可得:,即的取值范圍為,;故答案為,.【題目點撥】本題考查二元一次不等式表示平面區(qū)域的問題,涉及不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)4.【解題分析】試題分析:(1)在三角形中處理邊角關(guān)系時,一般全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,或全部轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理,出現(xiàn)邊的二次式一般采用余弦定理,應(yīng)用正弦、余弦定理時,注意公式變形的應(yīng)用,解決三角形問題時,注意角的限制范圍;(2)在三角興中,注意隱含條件(3)解決三角形問題時,根據(jù)邊角關(guān)系靈活的選用定理和公式.(4)在解決三角形的問題中,面積公式最常用,因為公式中既有邊又有角,容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.試題解析:(Ⅰ)由正弦定理得:即2分∴即4分∵∴即∴成等差數(shù)列.6分(Ⅱ)∵∴8分又10分由(Ⅰ)得:∴12分考點:三角函數(shù)與解三角形.18、(1);(2),.【解題分析】

(1)先設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題中條件,求出公差,再由通項公式,得到,即可求出結(jié)果;(2)先由題意求出,得到等比數(shù)列的公比,再由等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以,解得:;又,所以,即,解得:;(2)因為數(shù)列的公差,,所以;因此等比數(shù)列的公比為,所以其前項和為.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,熟記通項公式與求和公式即可,屬于??碱}型.19、(1)a=0.06,平均值為12.25小時(2)【解題分析】

(1)由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和,第三組的頻率,由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),從而可估計該校學(xué)生一周課外閱讀時間的平均值;(2)從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1,設(shè)為A,B,C,D,E,F(xiàn),利用列舉法能求出從該6人中選拔2人,從而得到這2人來自不同組別的概率.【題目詳解】(1)由頻率

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