2024屆江蘇省泰安市長(zhǎng)城中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆江蘇省泰安市長(zhǎng)城中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象2．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．已知向量，且，則的值是（）A． B． C．3 D．4．已知向量是單位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影為，則A．36 B．21 C．9 D．65．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．6．兩圓和的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切7．已知，，若對(duì)任意的，恒成立，則角的取值范圍是A．B．C．D．8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公比()A． B． C．或 D．以上都不對(duì)9．已知，，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，則等于（）A． B．3 C． D．10．已知過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則直線的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期是______．12．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則_____13．過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則________.14．若，，，則M與N的大小關(guān)系為___________．15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____16．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知四棱錐中，平面，，，，是線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）試在線段上確定一點(diǎn)，使得平面，并加以證明．18．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，.（1）求邊的長(zhǎng)；（2）若的面積是，求的值.19．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.20．已知直線l經(jīng)過點(diǎn).（1）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求直線的方程.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)A、B、C三個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，再利用平移“左加右減”及誘導(dǎo)公式得出，進(jìn)而得出答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)其最小正周期為，故選項(xiàng)A正確；函數(shù)在上為減函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，所以選項(xiàng)D不正確．故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

分別考慮即時(shí)；即時(shí)，原不等式的解集，最后求出并集?！绢}目詳解】當(dāng)即時(shí)，，則等價(jià)于，即，解得：，當(dāng)即時(shí)，，則等價(jià)于，即，所以，綜述所述，原不等式的解集為故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】

由已知求得，然后展開兩角差的正切求解．【題目詳解】解：由，且，得，即．，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

根據(jù)公式把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，展開后再根據(jù)和已知條件計(jì)算.【題目詳解】因?yàn)樵诜较蛏系耐队盀椋裕?故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模有關(guān)的計(jì)算，常用公式有，.5、D【解題分析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【題目詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．6、B【解題分析】

由圓的方程可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑；根據(jù)圓心距和半徑之間的關(guān)系，即可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【題目詳解】由圓的方程可知，兩圓圓心分別為：和；半徑分別為：，則圓心距：兩圓位置關(guān)系為：相交本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓與圓位置關(guān)系的判定；關(guān)鍵是明確兩圓位置關(guān)系的判定是根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的長(zhǎng)度關(guān)系確定.7、B【解題分析】

由向量的數(shù)量積得，對(duì)任任意的，恒成立，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一次函數(shù)，保證在和的函數(shù)值同時(shí)小于0即可.【題目詳解】，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，則，，解得：，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角恒等變換及不等式恒成立問題，求解的關(guān)鍵是變換主元的思想，即把不等式看成是關(guān)于變量的一次函數(shù)，問題則變得簡(jiǎn)單.8、C【解題分析】

根據(jù)和可得，解得結(jié)果即可.【題目詳解】由得，所以，所以，所以，解得或故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

先根據(jù),可得,又因?yàn)椋?所以可得:在軸方向上的分量為，在軸方向上的分量為,又根據(jù),可得答案.【題目詳解】，，

，，

在軸方向上的分量為，

在軸方向上的分量為，

，

，，

兩式相比可得:.故選B.【題目點(diǎn)撥】.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用．10、B【解題分析】

由直線的傾斜角求得直線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解．【題目詳解】∵直線的傾斜角為，∵直線的斜率，又直線過點(diǎn)，由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線的方程為，即．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式可得，根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．【題目詳解】．由周期公式可得：．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基本知識(shí)的考查．12、【解題分析】

將向量進(jìn)行等量代換，然后做出對(duì)應(yīng)圖形，利用平面向量基本定理進(jìn)行表示即可．【題目詳解】解：設(shè)，則根據(jù)題意可得，，如圖所示，作，垂足分別為，則又，，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量基本定理及其意義，兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．13、【解題分析】

討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)F為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知，故；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，故，即，故，.綜上所述：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了拋物線中線段長(zhǎng)度問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14、【解題分析】

根據(jù)自變量的取值范圍，利用作差法即可比較大小.【題目詳解】，，，所以當(dāng)時(shí)，所以，即，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了作差法比較整式的大小，屬于基礎(chǔ)題.15、1．【解題分析】

利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出的值．【題目詳解】解：∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16、1.【解題分析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和得答案．【題目詳解】解：在等差數(shù)列中，由，得，，則，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）存在線段上的中點(diǎn)，使平面，詳見解析【解題分析】

（1）利用條件判斷CM與PA、AB垂直，由直線與平面垂直的判定定理可證.（2）取PB的中點(diǎn)Q，PA的中點(diǎn)F，判斷四邊形CQFD為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理可證；或取PB中點(diǎn)Q，證明平面CQM與平面DAP平行，再利用兩平面平行的性質(zhì)可證.【題目詳解】解：（1）∵，∴是等邊三角形，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴平面；（2）取線段的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，連結(jié)，∴，∵是線段的中點(diǎn)，，∴，∴是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面，即存在線段上的中點(diǎn)，使平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間直線與平面的平行、垂直判定與性質(zhì)，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.18、(1)2；(2)【解題分析】

（1）設(shè)，利用余弦定理列方程可得：，解方程即可（2）利用（1）中結(jié)果即可判斷為等邊三角形，即可求得中邊上的高為，再利用的面積是即可求得：，結(jié)合余弦定理可得：，再利用正弦定理可得：，問題得解【題目詳解】（1）在中，設(shè)，則，由余弦定理得：即：解之得：，即邊的長(zhǎng)為2.（2）由（1）得為等邊三角形，作于，則∴，故在中，由余弦定理得：∴在中，由正弦定理得：，即：∴∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用正、余弦定理解三角形，還考查了三角形面積公式的應(yīng)用及計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）見解析.【解題分析】

試題分析：（1）轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo)關(guān)系，最后代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡方程，化簡(jiǎn)可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點(diǎn)問題，一般方法是以算代證：即證，先設(shè)P（m，n），則需證，即根據(jù)條件可得，而，代入即得.試題解析：解：（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），由得.因?yàn)镸（）在C上，所以.因此點(diǎn)P的軌跡為.由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則，.由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.所以，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).20、（2）或（2）或【解題分析】

（2）討論直線是否過原點(diǎn)，利用截距相等進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等，分直線平行和直線過A，B的中點(diǎn)兩種情況進(jìn)行求解即可．【題目詳解】（2）若直線過原點(diǎn)，則設(shè)為y＝kx，則k＝2，此時(shí)直線方程為y＝2x，當(dāng)直線不過原點(diǎn)，設(shè)方程為2，即x+y＝a，此時(shí)a＝2+2＝2，則方程為x+y＝2，綜上直線方程為y＝2x或x+y＝2．（2）若A，B兩點(diǎn)在直線l同側(cè)，則AB∥l，AB的斜率k2，即l的斜率為2，則l的方程為y﹣2＝x﹣2，即y＝x+2，若A，B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)，即l過A，B的中點(diǎn)C（2，0），則k2，則l的方程為y﹣0＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+4，綜上