白淑敏-崔紅衛(wèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案

./白淑敏崔紅衛(wèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題1.11．試判斷下列試驗(yàn)是否為隨機(jī)試驗(yàn)：〔1在恒力的作用下一質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)；〔2在5個(gè)同樣的球〔標(biāo)號(hào)1,2,3,4,5,中,任意取一個(gè),觀察所取球的標(biāo)號(hào)；〔3在分析天平上稱量一小包白糖,并記錄稱量結(jié)果．解〔1不是隨機(jī)試驗(yàn),因?yàn)檫@樣的試驗(yàn)只有唯一的結(jié)果．〔2是隨機(jī)試驗(yàn),因?yàn)槿∏蚩稍谙嗤瑮l件下進(jìn)行,每次取球有5個(gè)可能的結(jié)果：1,2,3,4,5,且取球之前不能確定取出幾號(hào)球．〔3是隨機(jī)試驗(yàn),因?yàn)榉Q量可在相同條件下進(jìn)行,每次稱量的結(jié)果用x表示,則有,其中m為小包白糖的重量,為稱量結(jié)果的誤差限．易見每次稱量會(huì)有無窮多個(gè)可能結(jié)果,在稱量之前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生．2．寫出下列試驗(yàn)的樣本空間．〔1將一枚硬幣連擲三次；〔2觀察在時(shí)間[0,t]內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)；〔3將一顆骰子擲若干次,直至擲出的點(diǎn)數(shù)之和超過2為止；〔4在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn),記錄它的坐標(biāo)．解〔1={〔正正正,〔正正反,〔正反正,〔反正正,〔正反反,〔反正反,〔反反正,〔反反反}；〔2={0,1,2,3,……}；〔3={〔3,4,〔5,6,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<1,1,1>,<1,1,2>,<1,1,3>,<1,1,4>,<1,1,5>,<1,1,6>}.〔4在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn),這一點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為〔x,y,則x,y應(yīng)滿足條件故此試驗(yàn)的樣本空間為3．將一顆骰子連擲兩次,觀察其擲出的點(diǎn)數(shù)．令="兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同",="點(diǎn)數(shù)之和為10",="最小點(diǎn)數(shù)為4"．試分別指出事件、、以及、、、、各自含有的樣本點(diǎn)．解={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>};={<4,6>,<5,5>,<6,4>};={<4,4>,<4,5>,<4,6>,<5,4>,<6,4>};;={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<5,5>,<6,6>};={<4,5>,<4,6>,<5,4>,<6,4>};4．在一段時(shí)間內(nèi),某電話交換臺(tái)接到呼喚的次數(shù)可能是0次,1次,2次,…．記事件〔k=1,2,…表示"接到的呼喚次數(shù)小于k",試用間的運(yùn)算表示下列事件：〔1呼喚次數(shù)大于2；〔2呼喚次數(shù)在5到10次范圍內(nèi)；〔3呼喚次數(shù)與8的偏差大于2．解<1>；<2>；<3>.5．試用事件、、及其運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：〔1發(fā)生而不發(fā)生；〔2不發(fā)生但、至少有一個(gè)發(fā)生；〔3、、中只有一個(gè)發(fā)生；〔4、、中至多有一個(gè)發(fā)生；〔5、、中至少有兩個(gè)發(fā)生；〔6、、不同時(shí)發(fā)生．解<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>6．在某大學(xué)金融學(xué)院的學(xué)生中任選一名學(xué)生．若事件表示被選學(xué)生是女生,事件表示該生是大學(xué)二年級(jí)學(xué)生,事件表示該生是運(yùn)動(dòng)員．〔１敘述的意義．〔2在什么條件下成立？〔3在什么條件下成立？解〔1該生是二年級(jí)女生,但非運(yùn)動(dòng)員．〔2全學(xué)院運(yùn)動(dòng)員都是二年級(jí)女生．〔3全系男生都在二年級(jí)7．化簡(jiǎn)下列各事件：〔1；〔2；〔3；〔4〔5．.解．<1>；<2>；<3>；<4>；<5>.習(xí)題1.21．已知事件、、的概率分別為0.4,0.3,0.6．求解由公式及題設(shè)條件得又2．設(shè),,,求〔1、、中至少有一個(gè)發(fā)生的概率；〔2、、都不發(fā)生的概率.解〔1由已知,且有,所以由概率的單調(diào)性知再由概率的加法公式,得、、中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為〔2因?yàn)?、、都不發(fā)生"的對(duì)立事件為"、、中至少有一個(gè)發(fā)生",所以得P〔、、都不發(fā)生=1-0.625=0.375.3．設(shè),,,求>,,>．解.由得則4．設(shè)、、是三個(gè)隨機(jī)事件,且有,,=0.8,求．解因則又由知,于是5．某城市共有、、三種報(bào)紙發(fā)行.已知該市某一年齡段的市民中,有45%的人喜歡閱讀報(bào),34%的人喜歡閱讀報(bào),20%的人喜歡閱讀報(bào),10%的人同時(shí)喜歡閱讀報(bào)和報(bào),6%的同時(shí)人喜歡閱讀報(bào)和報(bào),4%的人同時(shí)喜歡閱讀報(bào)和報(bào),1%的人、、三種報(bào)紙都喜歡讀.從該市這一年齡段的市民中任選一人,求下列事件的概率：〔1至少喜歡讀一種報(bào)紙；〔2不喜歡讀任何一種報(bào)紙；〔3只喜歡讀報(bào)；〔4只喜歡讀一種報(bào)紙.解設(shè)、、分別表示從該市這一年齡段的市民中任選一人喜歡讀報(bào)、報(bào)、報(bào)由題設(shè)知〔1該市這一年齡段的市民中任選一人至少喜歡讀一種報(bào)紙的概率〔2該市這一年齡段的市民中任選一人不喜歡讀任何一種報(bào)紙的概率<3>該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率<4>同理可以求得：該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率故該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀一種報(bào)紙的概率6．設(shè),則下列說法哪些是正確的？〔1和不相容；〔2和相容；〔3是不可能事件；〔4不一定是不可能事件〔5或；〔6.解因?yàn)楦怕蕿榱愕氖录灰欢ㄊ遣豢赡苁录?所以〔4正確；又因?yàn)?所以〔6正確.習(xí)題1.31．將10本書任意放到書架上,求其中僅有的3本外文書恰排在一起的概率．解設(shè)"3本外文書排在一起".10本書總的排法有10！種；3本書排成一列共有3！種,將這3本書排列后作為一個(gè)元素與另外7本書在一起有8！種排法,所以,事件含有的樣本點(diǎn)數(shù)為,故2．假設(shè)十把鑰匙中有三把能打開門,今任取兩把,求能打開門的概率．解設(shè)"能打開門".樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)是,事件含有的樣本點(diǎn)數(shù)為,則3．某人欲給朋友打電話,但只記得朋友的電話由五個(gè)不同數(shù)字組成,其首位是5,末位是3,中間號(hào)不是0,只好試撥．求其試撥一次即撥對(duì)的概率．解設(shè)"試撥一次即撥對(duì)".由題意,樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為個(gè),而正確的號(hào)碼只有一個(gè).因此4．從裝有5只紅球4只黃球3只白球的袋中任意取出3只球,求下列事件的概率：〔1取到同色球；〔2取到的球的顏色各不相同．解〔1設(shè)"取到3只同色球".任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是,取到3只紅球的樣本點(diǎn)數(shù)是,取到3只黃球的樣本點(diǎn)數(shù)是,取到3只白球的樣本點(diǎn)數(shù)是,則〔2設(shè)"取到的球顏色各不相同".任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是,取到的球顏色各不相同,即取到一只紅球一只黃球一只白球,其樣本點(diǎn)數(shù)是,則5．將上題中的抽取方式改為"放回抽樣",即每次取出1球,記下顏色后放回,再作抽取,連取三次,求上述兩個(gè)事件的概率．解〔1設(shè)"取到3只同色球".樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)是,取到3只紅球的樣本點(diǎn)數(shù)是,取到3只黃球的樣本點(diǎn)數(shù)是,取到3只白球的樣本點(diǎn)數(shù)是,則設(shè)"取到的球顏色各不相同".任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是,取到的球顏色各不相同,即取到一只紅球一只黃球一只白球,其樣本點(diǎn)數(shù)是,則6．一部四卷的文集,按任意次序放到書架上,問各卷自左向右,或自右向左的卷號(hào)的順序恰好為1,2,3,4的概率是多少?解設(shè)={文集排列為1,2,3,4或4,3,2,1的次序},而一切可能的排列總數(shù)為有利于所討論的事件的排序項(xiàng)序總數(shù)為k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1兩種次序排列.則所求概率為=0.08337．從5雙不同的的鞋中任取4只,求這4只鞋中至少有兩只配成一雙的概率.解〔1設(shè)="4只鞋中至少有兩只配成一雙},因?yàn)橛欣谑录嗀的取法總數(shù)為〔即先從5雙中任取一雙,再在其余8只中任取2只的取法共有種.是所取四只恰為兩雙的取法數(shù)是重復(fù)的數(shù)目,應(yīng)用中扣掉,所以有8．兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒,求前兩個(gè)郵筒內(nèi)沒有信的概率．解設(shè)="前兩個(gè)郵筒內(nèi)沒有信".因?yàn)槊糠庑庞?種投法,所以兩封信共有種投法,而所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,從而9．一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué),求他們中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率．解設(shè)="6位同學(xué)中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份".每位同學(xué)的生日可能是12個(gè)月份中的一個(gè)月份,6位同學(xué)的生日可能有種不同分布方式,而事件的樣本點(diǎn)數(shù)為,于是,所求概率為10．某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨,而甲已兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)．設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá),求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率.解設(shè)x,y分別表示兩船到達(dá)某地的時(shí)刻,用A表示兩船中的任何一船都不需等待碼頭空出.依題設(shè),樣本空間事件顯然這是一個(gè)幾何概型,故習(xí)題1.4１．設(shè),．問<1>什么條件下可以取最大值,其值是多少？〔２什么條件下可以取最小值,其值是多少？解〔１因?yàn)?要使最大,則需最大,當(dāng)時(shí),可以取最大值,此時(shí)；<2>因?yàn)樗詴r(shí),取最小值,此時(shí)2．設(shè)箱中有5個(gè)零件,其中2個(gè)為不合格品,現(xiàn)從中一個(gè)個(gè)不放回取零件,求在第三次才取到合格品的概率．解設(shè)表示第i次取到合格品,則所求概率為3．由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知,某一地區(qū)在4月份下雨〔記為事件的概率為,刮風(fēng)〔記為事件的概率為,既刮風(fēng)又下雨的概率為．求解由題設(shè)知,,,則4．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中36％為一等品,54％為二等品,10％為三等品．從中任意取出1件產(chǎn)品,已知它不是三等品,求其是一等品的概率．解設(shè)"取出的產(chǎn)品為一等品","取出的產(chǎn)品為二等品","取出的產(chǎn)品為三等品",則故所求概率為5．一批電子元件中,甲類的占80％,乙類的占12％,丙類的占8％．三類元件的使用壽命能達(dá)到指定要求的概率依次為0.9、0.8和0.7．今任取一個(gè)元件,求其使用壽命能達(dá)到指定要求的概率．解設(shè)"任取一個(gè)元件為甲類","任取一個(gè)元件為乙類","任取一個(gè)元件為丙類","達(dá)到指定要求",則有故由全概率公式,有6．某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱,乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱．甲廠每箱裝100個(gè),廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個(gè),廢品率是0.05,求：〔1任取一箱,從中任取1個(gè)為廢品的概率；〔2若將所有產(chǎn)品開箱混放,則任取1個(gè)為廢品的概率為多少？解〔1設(shè)"任取一箱為甲廠的產(chǎn)品","任取一箱為乙廠的產(chǎn)品","任取一個(gè)產(chǎn)品為廢品",則構(gòu)成完備事件組,由全概率公式,有〔2甲廠產(chǎn)品30箱,每箱100個(gè),廢品率為0.06,故共有甲廠產(chǎn)品個(gè),其中次品個(gè)；乙廠產(chǎn)品20箱,每箱120個(gè),廢品率為0.05,故共有乙廠產(chǎn)品個(gè),其中次品個(gè)；兩廠產(chǎn)品混到一起,共有產(chǎn)品3000+2400=5400個(gè),其中有次品180+120=300個(gè),所以,從中任取一個(gè)為廢品的概率是7．甲袋中有3只白球4只紅球,乙袋中有5只白球2只紅球．從甲袋中任取2球投入乙袋,再?gòu)囊掖腥稳?球．求最后取出的2球全是白球的概率．解設(shè)表示"第一次取到只白球",表示"第二次取到2只均為白球",則是的一個(gè)分割．且,即又故由全概率公式,可得8．設(shè)一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的．開箱檢驗(yàn)時(shí),從中隨機(jī)抽取10件,如果發(fā)現(xiàn)有次品,則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收．〔1求該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收的概率；〔2若已知該箱產(chǎn)品已通過驗(yàn)收,求其中確實(shí)沒有次品的概率．解〔1設(shè)表示"次品個(gè)數(shù)為",表示"該箱產(chǎn)品通過驗(yàn)收"．則由題意,有由全概率公式,得于是該箱通過驗(yàn)收的概率為<2>所求概率為習(xí)題1.51.設(shè),證明、相互獨(dú)立的充分必要條件是證明充分性因?yàn)镻<A︱B>＋P<|>=1即故有即相互獨(dú)立．必要性因?yàn)橄嗷オ?dú)立,則有從而即2.甲、乙、丙三門炮向同一飛機(jī)射擊．設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4、0.5、0.7,又設(shè)若只有一門炮射中,飛機(jī)墜毀的概率為0.2；若有二門炮射中,飛機(jī)墜毀的概率為0.6；若三門炮射中,飛機(jī)墜毀的概率為0.8；無人射中,飛機(jī)不會(huì)墜毀．求飛機(jī)墜毀的概率．解設(shè)"飛機(jī)墜毀","門炮彈射中飛機(jī)"．顯然,構(gòu)成完備事件組．三門炮各自射擊飛機(jī),射中與否相互獨(dú)立,按加法公式及乘法公式,得再由題意知由全概率公式,得3.假設(shè)每名射手命中目標(biāo)的概率都是0.3．問須多少名射手同時(shí)射擊,方能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)？解設(shè)有n名射手同時(shí)射擊,則目標(biāo)被擊中的概率為由題意,求n,使即可得4.某商家對(duì)其銷售的筆記本電腦液晶顯示器作出如下承諾：若一年內(nèi)液晶顯示器出現(xiàn)重大質(zhì)量問題,商家保證免費(fèi)予以更換．已知此種液晶顯示器一年內(nèi)出現(xiàn)重大質(zhì)量問題的概率為0.005,試計(jì)算該商家每月銷售的200臺(tái)電腦中一年內(nèi)須免費(fèi)予以更換液晶顯示器的臺(tái)數(shù)不超過1的概率．解根據(jù)題意,這是一個(gè)的200重的伯努利試驗(yàn)問題,所求概率為5.某工廠生產(chǎn)的儀器中一次檢驗(yàn)合格的占60％,其余的需重新調(diào)試．經(jīng)重新調(diào)試的產(chǎn)品中有80％經(jīng)檢驗(yàn)合格,而20％會(huì)被判定為不合格產(chǎn)品而不能出廠．現(xiàn)該廠生產(chǎn)了200臺(tái)儀器,求下列事件的概率：〔1全部?jī)x器都能出廠；〔2恰有10臺(tái)不合格.解設(shè)"儀器需要重新調(diào)試",那么"儀器能直接出廠"；又設(shè)"儀器能出廠",則"儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠",且易知.于是考察200臺(tái)儀器,相當(dāng)于的200重伯努利試驗(yàn),則〔1〔2.6.某廠的產(chǎn)品,80％按甲工藝加工,20％按乙工藝加工,兩種工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9．現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來檢驗(yàn),求其中最多只有一件次品的概率．解設(shè)"產(chǎn)品是按甲工藝加工的",那么"產(chǎn)品是按乙工藝加工的"；又設(shè)"取出一件產(chǎn)品為次品",則由全概率公式,得現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來檢驗(yàn),相當(dāng)于的200重伯努利試驗(yàn),則所求概率為綜合練習(xí)一一填空題1.將一顆骰子連擲兩次,該試驗(yàn)的樣本空間為〔.2.三事件至多發(fā)生兩個(gè)可表示為〔.3.若事件互斥,,則〔0.4..4.已知兩個(gè)事件滿足條件且,則<>.5.設(shè)為二隨機(jī)事件,,則〔0.6.6.將一枚硬幣連擲兩次,則出現(xiàn)一次正面一次反面的概率為〔.7.已知兩個(gè)隨機(jī)事件滿足條件,則<0.4>.8.設(shè)5產(chǎn)品中有2件不合格品,從中任取兩件,已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品,則另一件也是不合格品的概率為〔.9.設(shè)某系統(tǒng)由元件和兩個(gè)并聯(lián)的元件串聯(lián)而成,若損壞與否相互獨(dú)立,且它們損壞的概率依次為0.3,0.2,0.1,則系統(tǒng)正常工作的的概率為〔0.089..10.將一只骰子連續(xù)擲3次,則至少有一次出現(xiàn)3點(diǎn)的概率為〔.二選擇題1．.對(duì)擲一枚硬幣的試驗(yàn),"出現(xiàn)正面"稱為〔<d>.<a>樣本空間<b>必然事件<c>不可能事件<d>隨機(jī)事件2．設(shè)A,B是任意兩個(gè)概率不為零的互不相容事件,則必有〔<d>.<a><b>與相容<c>與互不相容<d>3．設(shè)當(dāng)同時(shí)發(fā)生時(shí),事件C必發(fā)生,則〔<b>.<a><b><c><d>4．設(shè),則<<d>>.5．設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件,且,則〔<a>6．設(shè)對(duì)于事件有,,,則至少發(fā)生一個(gè)的概率為<<d>>7．設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件,且,則有〔<c><a><b><c> <d>8．事件相互獨(dú)立,且〔<b>.9．設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件都不發(fā)生的概率為,發(fā)生B不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則<<c>>10．若則〔<a>.三解答題1．判斷關(guān)于事件的結(jié)論是否成立,為什么?解利用事件運(yùn)算的分配律,有顯然,一般不等于A,故結(jié)論不一定成立,,只有時(shí),結(jié)論成立.2．設(shè)6位同學(xué)每位都等可能地進(jìn)入十間教室中任何一間自習(xí),求下列事件的概率：〔1某指定教室有2位同學(xué)；〔26位同學(xué)所在的教室各不相同；〔3只有2位同學(xué)在同一教室；〔4至少有2位同學(xué)在同一教室．解因?yàn)閷?duì)教室中的人數(shù)沒有限制,所以每位同學(xué)都有10種選擇,6位同學(xué)共有種選法,即樣本點(diǎn)總數(shù)為．〔1設(shè)"某指定教室有2位同學(xué)",則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,故〔2設(shè)"6位同學(xué)所在的教室各不相同",則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,故〔3設(shè)"只有2位同學(xué)在同一教室",則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,故〔4設(shè)"至少有2位同學(xué)在同一教室",則"6個(gè)同學(xué)均在不同的教室",故3．〔1從7副同型號(hào)的手套中任意取出4只,求恰有一雙配套的概率；〔2若是7副不同型號(hào)的手套,上述事件的概率為何？解〔1設(shè)="從7副同型號(hào)的手套中任意取出4只,恰有一雙配套",則樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為,事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,于是〔2設(shè)"從7副不同型號(hào)的手套中任意取出4只,恰有一雙配套",則樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為,事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為,于是4．甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同種產(chǎn)品,次品率分別為0.05、0.08、0.1．從三個(gè)車間各取1件產(chǎn)品檢查,求下列事件的概率：〔1恰有2件次品；〔2至少有1件次品．解設(shè)="從甲車間取出的是次品","從乙車間取出的是次品","從丙廠取出的是次品".〔1設(shè)D="恰有2件次品",則,于是〔2設(shè)"至少有1件次品",則5．在[0,1]區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),求兩數(shù)乘積小于的概率.解設(shè)任取得兩個(gè)數(shù)為x,y,用A表示兩數(shù)的乘積小于這一事件,樣本空間事件顯然利用幾何概型的計(jì)算公式有,6．甲、乙兩人輪流投籃,甲先開始,假定他們的命中率分別為0.4及0.5,問誰先投中的概率較大,為多少？解設(shè)表示"甲第次投中",表示"乙第次投中"．事件"甲先投中"可表示為則甲先投中的概率為即甲先投中的概率較大,概率為0.57.7．某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為3類："謹(jǐn)慎的"、"一般的"、"冒失的".統(tǒng)計(jì)資料表明,上述3種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05、0.15和0.30；如果"謹(jǐn)慎的"被保的人占20%,"一般的"占50%,"冒失的"占30%.<1>求被保險(xiǎn)的人一年內(nèi)出事故的概率.〔2現(xiàn)知某被保險(xiǎn)的人在一年內(nèi)出了事故,則他是"謹(jǐn)慎的"的概率是多少？解〔1設(shè)"被保險(xiǎn)的人一年出事故","被保險(xiǎn)的人是謹(jǐn)慎的","被保險(xiǎn)的人是一般的,"被保險(xiǎn)的人是冒失的"顯然,構(gòu)成完備事件組．三類人一年內(nèi)是否出事故,相互獨(dú)立,<2>8．設(shè)某車間共有5臺(tái)車床,每臺(tái)車床使用電力是間歇性的,平均每小時(shí)約有6分鐘使用電力.假設(shè)車工們工作是相互獨(dú)立的,求在同一時(shí)刻,〔1至少有三臺(tái)車床被使用的概率〔2至多有有三臺(tái)車床被使用的概率〔3至少有一臺(tái)車床被使用的概率.解設(shè)A表示"車床被使用"即使用電力事件.有9．某種疾病在牲畜中傳染的概率為0.25.設(shè)對(duì)20頭牲畜注射某種血清后,其中仍有一頭受到感染,試問這種血清是否有效？解若這種血清無效,則因每頭牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染兩種結(jié)果,且牲畜間是相互獨(dú)立的,故此試驗(yàn)相當(dāng)于20重貝努利試驗(yàn),n=20,p=0.25,故知20頭牲畜中出現(xiàn)至多一頭受感染的概率為因?yàn)檫@個(gè)概率很小,一般在一次試驗(yàn)中不易發(fā)生,故根據(jù)小概率推斷原理,知此種血清是有效的.10．某自動(dòng)化機(jī)器發(fā)生故障的概率為0.2.如果一臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障只需要一個(gè)維修工人去處理,因此,每8臺(tái)機(jī)器配備一個(gè)維修工人.試求：<1>維修工人無故障可修的概率；〔2工人正在維修一臺(tái)出故障的機(jī)器時(shí),另外又有機(jī)器出故障待修的概率.如果認(rèn)為每四臺(tái)機(jī)器配備一個(gè)維修工人,還經(jīng)常出來故障得不到及時(shí)維修.那么,四臺(tái)機(jī)器至少應(yīng)配備多少個(gè)維修工人才能保證機(jī)器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%.解〔1由已知條件知,每臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障是相互獨(dú)立的,故維修工人無故障可修的事件,即為8臺(tái)機(jī)器均不發(fā)生故障的事件,故所求概率為〔2因?yàn)楣と苏诰S修一臺(tái)出故障的機(jī)器時(shí),另外又有機(jī)器出了故障待修的事件的逆事件為8臺(tái)機(jī)器中至多有一臺(tái)發(fā)生故障,故所求機(jī)器待修的概率為又按四臺(tái)機(jī)器配備維修工人時(shí),若配備一個(gè)工人,則當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障,又不能及時(shí)維修〔發(fā)生故障的機(jī)器多于1臺(tái)的概率為若四臺(tái)機(jī)器配備2人時(shí),則當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障又不能及時(shí)維修的概率為故四臺(tái)機(jī)器至少應(yīng)配備2個(gè)維修工人才能保證機(jī)器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%.11*巴拿赫火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根．試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少〔r=1,2,3,┄,N？第一次用完一盒火柴時(shí)〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根的概率又是多少？解設(shè)選取甲盒火柴為"成功",選取一盒火柴為"失敗",于是相繼選取甲盒"成功"與"失敗"的概率均為1∕2,且為獨(dú)立試驗(yàn)序列〔1當(dāng)在某一時(shí)刻首次發(fā)現(xiàn)甲盒中無火柴,意味著取到甲盒N+1次,取到乙盒N-r次.且最后一次取到甲盒,前N+N-r=2N-r次中恰有N次取到甲盒,故其概率為再由對(duì)稱性可知,他首次發(fā)現(xiàn)乙盒中無火柴而甲盒中恰剩r根事件的概率亦為故所求概率為〔2同理,第一次用完一盒火柴〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根事件的概率為事實(shí)上,第一次用完一盒火柴〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根意味著取到甲盒N次,取到乙盒N-r,且最后一次取到甲盒,前N-1+N-r=2N-r-1次中恰有N-1次取到甲.習(xí)題2.11．試分別給出隨機(jī)變量的可能取值為可列、有限的實(shí)例．解用表示一個(gè)電話交換臺(tái)每小時(shí)收到呼喚的次數(shù),的全部可能取值為可列的0,1,2,3,…,；用表示某人擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),的全部可能取值為有限個(gè)1,2,3,4,5,6；2．試給出隨機(jī)變量的可能取值至少充滿一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間的實(shí)例．解用表示某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命〔以小時(shí)記,的全部可能取值為區(qū)間〔0,+∞〔0,+∞3．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為=確定常數(shù)的值,計(jì)算.解由可得.4．試討論：、取何值時(shí)函數(shù)是分布函數(shù)．解由分布函數(shù)的性質(zhì),有,可得于是習(xí)題2.21．設(shè)10個(gè)零件中有3個(gè)不合格．現(xiàn)任取一個(gè)使用,若取到不合格品,則丟棄重新抽取一個(gè),試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)的概率分布．解由題意知,的取值可以是0,1,2,3.而取各個(gè)值的概率為因此的概率分布為2．從分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,7的七張卡片中任意取兩張,求余下的卡片中最大號(hào)碼的概率分布．解設(shè)X為余下的卡片的最大號(hào)碼,則X的可能取值為5、6、7,且即所求分布為3．某人有n把外形相似的鑰匙,其中只有1把能打開房門,但他不知道是哪一把,只好逐把試開．求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)的概率分布．解設(shè)此人將門打開所需的試開次數(shù)為,則的取值為,事件,且,,……,故所需試開次數(shù)的分布為4．隨機(jī)變量只取1、2、3共三個(gè)值,并且取各個(gè)值的概率不相等且組成等差數(shù)列,求的概率分布．解設(shè),則由題意有解之得設(shè)三個(gè)概率的公差為,則,即的概率分布為,5．設(shè)隨機(jī)變量的全部可能取值為1,2,…,n,且與成正比,求的概率分布．解由題意,得其中是大于0的待定系數(shù)．由,有即,解之得.把代入,可得到的概率分布為6．一汽車沿街道行駛時(shí)須通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口．設(shè)各信號(hào)燈相互獨(dú)立且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相同,求汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)的概率分布．解設(shè)汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)為,則的可能值為0,1,2,3．以表示事件"汽車在第個(gè)路口首次遇到紅燈",則相互獨(dú)立,且． 對(duì),有所以汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)的概率分布為7．將一顆骰子連擲若干次,直至擲出的點(diǎn)數(shù)之和超過3為止．求擲骰子次數(shù)的概率分布．解設(shè)擲骰子次數(shù)為,則可能取值為1,2,3,4,且；；所以擲骰子次數(shù)的概率分布為8．設(shè)的概率分布為01230.20.30.10.4試求〔1的分布函數(shù)并作出其圖形；〔2計(jì)算,,．解〔1由公式,得〔29．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求〔1求的概率分布；〔2計(jì)算,,,解<1>對(duì)于離散型隨機(jī)變量,有,因此,隨機(jī)變量的概率分布為<2>由分布函數(shù)計(jì)算概率,得；；；10．已知隨機(jī)變量服從0—1分布,并且=0.2,求的概率分布．解只取0與1兩個(gè)值,=－＝0.2,11．已知=,n=1,2,3,,求的值．解因?yàn)橛薪獯朔匠?得.12．商店里有5名售貨員獨(dú)立地售貨．已知每名售貨員每小時(shí)中累計(jì)有15分鐘要用臺(tái)秤．〔1求在同一時(shí)刻需用臺(tái)秤的人數(shù)的概率分布；〔2若商店里只有兩臺(tái)臺(tái)秤,求因臺(tái)秤太少而令顧客等候的概率．解<1>由題意知,每名售貨員在某一時(shí)刻使用臺(tái)秤的概率為,設(shè)在同一時(shí)刻需用臺(tái)秤的人數(shù)為,則,所以<2>因臺(tái)秤太少而令顧客等候的概率為13．保險(xiǎn)行業(yè)在全國(guó)舉行羽毛球?qū)官?該行業(yè)形成一個(gè)羽毛球總隊(duì),該隊(duì)是由各地區(qū)的部分隊(duì)員形成．根據(jù)以往的比賽知,總隊(duì)羽毛球隊(duì)實(shí)力較甲地區(qū)羽毛球隊(duì)強(qiáng),但同一隊(duì)中隊(duì)員之間實(shí)力相同,當(dāng)一個(gè)總隊(duì)運(yùn)功員與一個(gè)甲地區(qū)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí),總隊(duì)運(yùn)動(dòng)員獲勝的概率為0.6,現(xiàn)在總隊(duì)、甲隊(duì)雙方商量對(duì)抗賽的方式,提出三種方案：〔1雙方各出3人；〔2雙方各出5人；〔3雙方各出7人．3種方案中得勝人數(shù)多的一方為勝利．問：對(duì)甲隊(duì)來說,哪種方案有利？解設(shè)以上三種方案中第i種方案甲隊(duì)得勝人數(shù)為則上述3種方案中,甲隊(duì)勝利的概率為〔1〔2〔3因此第一種方案對(duì)甲隊(duì)最為有利．這和我們的直覺是一致的.14．有某商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述．為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解設(shè)該商店每月銷售這種商品數(shù)為X,月底進(jìn)貨為a件,則為了時(shí)不脫銷,故有由于上式即為查表可知于是,這家商店只要在月底進(jìn)貨這種商品9件〔假定上個(gè)月沒有存貨,就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷.15．一本300頁(yè)的書中共有240個(gè)印刷錯(cuò)誤．若每個(gè)印刷錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在任意1頁(yè)中,求此書首頁(yè)有印刷錯(cuò)誤的概率．解根據(jù)題意,可將問題看作是一個(gè)240重伯努利試驗(yàn),每一個(gè)錯(cuò)誤以概率出現(xiàn)在指定的一頁(yè)上,以概率不出現(xiàn)在這一頁(yè)上．以表示出現(xiàn)在首頁(yè)上的錯(cuò)誤數(shù),則,而所求概率為16．設(shè)某高速公路上每天發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為=2的泊松分布．已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故,求今天該公路上至少發(fā)生三起交通事故的概率．解設(shè)每天發(fā)生交通事故的次數(shù)為,由題知服從參數(shù)為的泊松分布,即已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故,則今天至少發(fā)生一次交通事故,其概率為該公路上每天至少發(fā)生三起交通事故的概率為所以所求概率為17．某傳呼臺(tái)有客戶3000．已知每個(gè)客戶在任意時(shí)刻打傳呼的概率為千分之二,問傳呼臺(tái)至少應(yīng)安排多少名傳呼員才能以不低于0.9的概率保證客戶打入電話時(shí)立刻有人接？解設(shè)在任意時(shí)刻打傳呼的客戶數(shù)為,由題意可知,．又設(shè)安排名傳呼員,則由題意有．由泊松定理,近似服從的泊松分布,即查的泊松分布表,可得．18．某公司采購(gòu)人員在購(gòu)買一種電腦用芯片時(shí)被告知：此種芯片的合格率為0.98,為了以不低于0.95的概率保證至少買到80只合格的芯片,該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買多少只芯片？解設(shè)該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買只芯片,則其中的不合格芯片數(shù)為,由題意可知,,且由泊松定理近似服從參數(shù)為的泊松分布,其中〔這里n顯然不會(huì)太大.于是有查表得,所以該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買84只芯片習(xí)題2.31．已知函數(shù)其,問是否為密度函數(shù),為什么？解顯然又所以是密度函數(shù).2．設(shè)隨機(jī)變量試確定常數(shù)的值,如果=0.5,求的值．解解方程得解關(guān)于b的方程：得3．某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量,概率密度為3個(gè)這種元件串聯(lián)在一個(gè)線路中．計(jì)算這3個(gè)元件使用了150小時(shí)后仍能使線路正常工作的概率解由已條件知,串聯(lián)線路正常工作當(dāng)且僅當(dāng)3個(gè)元件都能正常工作.而三個(gè)元件的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,因此若用事件A表示"線路正常工作",則故4．設(shè)隨機(jī)變量的密度為試求〔1常數(shù)；〔2的分布函數(shù)．解<1>由密度函數(shù)的性質(zhì),有<2>由,有于是,X的分布函數(shù)為.5．已知連續(xù)隨機(jī)變量的密度為〔1求的分布函數(shù)；〔2計(jì)算,．解<1>由分布函數(shù)的定義,有6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定、并求．解因X為連續(xù)型隨機(jī)變量,故其分布函數(shù)在上連續(xù),從而解得于是習(xí)題2.41．設(shè)隨機(jī)變量在[2,5]上服從均勻分布．現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè),求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率．解因?yàn)殡S機(jī)變量X服從均勻分布,故其密度函數(shù)為易得設(shè)A表示"對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè),至少有兩次的觀測(cè)值大于3的"事件,則2．設(shè)隨機(jī)變量服從[0,5]上的均勻分布,求關(guān)于x的二次方程=0有實(shí)數(shù)根的概率．解的二次方程有實(shí)根的充要條件是它的判別式即解得或由假設(shè),在區(qū)間上服從均勻分布,其概率密度為故所求概率為3．設(shè),求：〔1的分布函數(shù)；〔2；〔3常數(shù),使=．解由題知,即的概率密度為〔1由定義當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以,的分布函數(shù)為<2><3>由題知,則4．某種電腦顯示器的使用壽命〔單位：千小時(shí)服從參數(shù)為的指數(shù)分布．生產(chǎn)廠家承諾：購(gòu)買者使用1年內(nèi)顯示器損壞將免費(fèi)予以更換．〔1假設(shè)用戶一般每年使用電腦2000小時(shí),求廠家須免費(fèi)為其更換顯示器的概率；〔2顯示器至少可以使用10000小時(shí)的概率為何？〔3已知某臺(tái)顯示器已經(jīng)使用10000小時(shí),求其至少還能再用10000小時(shí)的概率．解因?yàn)榉膮?shù)為的指數(shù)分布,所以的密度函數(shù)為<1><2><3>5．設(shè),求：〔1,,；〔2常數(shù),使=0.8944．解<1>因?yàn)楣视?lt;2>由得即于是6．某種電池的使用壽命〔單位：小時(shí)是一個(gè)隨機(jī)變量,．〔1求其壽命在250小時(shí)以上的概率；〔2求一允許限x,使落入?yún)^(qū)間〔300－x,300＋x內(nèi)的概率不小于0.9．解<1>由,可得<2>由題意,知即查表得則,即．7．某高校一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布,其中90分以上的占學(xué)生總數(shù)的4％．求：〔1數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比；〔2數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5～80分之間的學(xué)生的百分比．解先求方差.因?yàn)?0分以上的占學(xué)生總數(shù)的4%,所以有即從而查表可知,則．于是.<1>數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比為<2>數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜种g的學(xué)生的百分比為習(xí)題2.51．設(shè)的分布列為－2－101求及的概率分布．解將函數(shù)值相同的概率相加,得隨機(jī)變量的概率分布為隨機(jī)變量的概率分布為2．設(shè),求的概率密度．解因?yàn)?所以的密度函數(shù)為由于函數(shù)單增且其反函數(shù)故Y=的概率密度函數(shù)為3．設(shè)=,求的密度．解函數(shù)單增且其反函數(shù),故Y=lnX的密度函數(shù)為．4．設(shè)服從的指數(shù)分布,證明在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布．證由定義知,的分布函數(shù)為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由服從的指數(shù)分布,故因而所以隨機(jī)變量的分布函數(shù)為即證得在區(qū)間上服從均勻分布．5．隨機(jī)變量服從[0,]上的均勻分布,,求的概率密度.解由于在上單調(diào),于是在上,．又隨機(jī)變量服從[0,]上的均勻分布,因此綜合練習(xí)二一、填空題1.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,則〔6.2.一批零件的次品率為0.01,連取三次,每次一件<有放回>,則取到的次品次數(shù)服從的概率分布為〔.3.設(shè)隨機(jī)變量X～B<2,p>,Y～B<3,p>,若P<X1>=,則P<Y1>=<>.4.設(shè),且,則〔.5.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則〔100.6.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則〔.7.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,則的分布函數(shù)為〔.8.已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則〔.9.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則的密度函數(shù)為〔.10.設(shè),則〔二、選擇題1．下列函數(shù)為某隨機(jī)變量密度函數(shù)的是<>．<a><b><c><d>2．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為且,是的分布函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù),有〔．3．設(shè)與分別為隨機(jī)變量與的分布函數(shù),為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取〔〔a<a><b><c><d>．4．設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),則〔<d>．5．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,則的分布函數(shù)為〔<c>．6．設(shè)一個(gè)零件的使用壽命X的密度函數(shù)為,則三個(gè)這樣的零件中恰好有一個(gè)的使用壽命超過1000的概率為〔<b>．.7．設(shè)隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為,分布函數(shù)是,則正確的結(jié)論是〔<b>8．下列函數(shù)中不是正態(tài)密度函數(shù)的為〔<b>．9．設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為,則的密度函數(shù)為〔<c>．<a><b><c><d>10．若隨機(jī)變量服從均勻分布,則的密度函數(shù)為〔<d>．三、解答題1．如果,n=1,2.,問它是否能成為一個(gè)離散型概率分布,為什么？解因?yàn)橛捎诩?jí)數(shù)收斂,若記,只要取則有且所以它可以成為離散型隨機(jī)變量的分布.2．一條公共汽車路線的兩個(gè)站之間,有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈,假定汽車經(jīng)過每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過,其概率為0.6,遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn),其概率為0.4,求汽車開出站后,在第一次停車之前已通過的路口信號(hào)燈數(shù)目X的概率分布〔不計(jì)其他因素停車．解X可以取0,1,2,3,4.,3．一盒中有6個(gè)球,在這6個(gè)球上標(biāo)注的數(shù)字分別為-3,-3,1,1,1,2,現(xiàn)從盒中任取一球,試取得的球上標(biāo)注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù)．解的全部可能取值為-3,1,2.則分布律為-312故的分布函數(shù)為4．據(jù)調(diào)查有同齡段的學(xué)生,他們完成一道作業(yè)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,單位為小時(shí)．它的密度函數(shù)為〔1確定常數(shù)；〔2寫出的分布函數(shù)；〔3試求出在20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的概率；〔4試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率．解<1>由密度函數(shù)的性質(zhì),有由,有〔2X的分布函數(shù)為〔3P{20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的}=<4>P{10分鐘以上完成一道作業(yè)}=5.某工廠為了保證設(shè)備正常工作,需要配備一些維修工．如果各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的,且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01,試在以下各種情況下,求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率．〔1一名維修工負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備．〔23名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備．〔310名維修工負(fù)責(zé)500臺(tái)設(shè)備．解<1>由題意,用X表示20臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算,得所求概率為<2>用Y表示90臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算,得所求概率為由這一結(jié)論說明,在這種情況下不但所求概率比〔1中有所降低,而且3名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備相當(dāng)于每個(gè)維修工負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備,工作效率顯然高于〔1中,是〔1中的1.5倍.〔3用Z表示500臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算,得所求概率為由這一結(jié)論說明,在這種情況下所求概率比與〔2中基本一致,,而且10名維修工負(fù)責(zé)500臺(tái)設(shè)備相當(dāng)于每個(gè)維修工負(fù)責(zé)50臺(tái)設(shè)備,工作效率顯然高于〔2中,是〔2中的1.67倍,是〔1中的2.5倍.6．某汽車站為職工上班方便每日特地安排了兩趟定員均為30人的早班車,分別于7：20和7：30準(zhǔn)時(shí)開車．已知汽車站周邊每日有50名職工要趕這兩班車上班,每名職工都獨(dú)自趕往車站,且每人到達(dá)車站的時(shí)刻均勻分布于7：15～7：30之間．試求：〔1任何1名職工在7：15～7：20之間到達(dá)車站的概率；〔2有職工在7：15～7：20之間到達(dá)車站但卻須乘第二班車上班的概率〔只給出表達(dá)式,不必計(jì)算．解<1>因?yàn)槊咳说竭_(dá)車站的時(shí)刻均勻分布于7:157:30之間,所以任意一名職工在7:157:20之間到達(dá)車站的概率為<2>設(shè)在7:157:20之間到達(dá)車站的乘客人數(shù)為,根據(jù)題意,而所求概率為7．隨機(jī)變量隨機(jī)變量,若,計(jì)算的值,求解因,所以,查表得解之得查表得0.32288．某單位招聘員工,共有10000人報(bào)考.假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布,且已知90分以上有359人,60分以下有1151人.現(xiàn)按考試成績(jī)從高分到低分依次錄用2500人,試問被錄用者中最低分為多少？解用隨機(jī)變量X表示考試成績(jī),則則有,整理后得解方程組得設(shè)錄用者中最低分?jǐn)?shù)為a,則有,即,查表得a=78.7可見,被錄用者中最低分為78.7.9．設(shè)隨機(jī)變量,求的密度函數(shù)．解因?yàn)?所以的分布函數(shù)從而的密度函數(shù)為10．設(shè),求的密度．.解由于在上滿足,故時(shí),．當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí),綜上所述得于是Y=sinX的密度函數(shù)為習(xí)題3.11.試給出二維隨機(jī)變量的實(shí)例解.參考教材2.已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為〔1求關(guān)于和的邊緣分布函數(shù)和．〔2求．解〔1關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為注意到所以=．3．二元函數(shù)是否是某個(gè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？說明理由．解若二元函數(shù)為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),則必須滿足二維分布函數(shù)的所有性質(zhì).但若取,便可得到所以不是任何二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)．習(xí)題3.21．盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只．以表示取到黑球的只數(shù),以表示取到紅球的只數(shù)．求的聯(lián)合概率分布．解設(shè)和的可能取值分別為,則.因盒子里有3種球,在這3種球中任取4只,其中黑球和紅球的個(gè)數(shù)之和另一方面,因?yàn)榘浊蛑挥?個(gè),則在取的4只球中,故當(dāng)時(shí)當(dāng)或時(shí)于是有012000102302．將一顆骰子連擲兩次,令為第一次擲出的點(diǎn)數(shù),為兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù),求的聯(lián)合分布和邊緣分布．解設(shè)第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為,則的可能取值都為1,2,3,4,5,6,且有依次可求得,,,即有1234561203004000500006000003．設(shè),令,求的聯(lián)合分布和邊緣分布．解由已知,的所有可能取值為〔0,-1,〔0,1,〔1,-1,〔1,1,〔2,-1,〔2,1.其概率分別為于是,的聯(lián)合分布和邊緣分布為10010204．設(shè),,且．求的聯(lián)合分布.解由,得,于是設(shè)和的聯(lián)合分布及邊緣分布有如下的結(jié)構(gòu)01-100101則可得,即同理可得由,可得于是的聯(lián)合分布如下表：01-1000105．將一硬幣拋擲三次,以表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與反面次數(shù)之差的絕對(duì)值,試寫出與的聯(lián)合分布律與邊緣分布．解的可能取值為0,1,2,3；的可能取值為1,3,即正面出現(xiàn)1次或2次時(shí)=1,正面出現(xiàn)3次或0次時(shí)=3.,,,,,,,所求概率分布為1300102030習(xí)題3.31．設(shè)的聯(lián)合密度為〔1求常數(shù)；〔2求的聯(lián)合分布函數(shù)；〔3求與．解〔1由密度函數(shù)的性質(zhì)得〔2當(dāng)時(shí),當(dāng)為其他情況時(shí),所以,聯(lián)合分布函數(shù)為〔32．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試求：〔1聯(lián)合密度函數(shù)及的邊緣密度函數(shù)．〔2求概率．解〔1對(duì)分布函數(shù)求偏導(dǎo)可得的概率密度函數(shù)為故X的邊緣密度函數(shù),同理Y的邊緣密度函數(shù)．〔2．3．設(shè)的聯(lián)合密度為〔1求常數(shù)；〔2求邊緣密度；〔3求與．解〔1由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知所以,得〔2的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為〔34．設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1求邊緣密度函數(shù)；〔2求．解<1>的邊緣密度為的邊緣密度函數(shù)為<2>5．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1求隨機(jī)變量的密度函數(shù)；〔2求概率．解〔1的邊緣概率密度為〔26．設(shè)在上服從均勻分布,試證明分別服從和上的均勻分布．證明因?yàn)閰^(qū)域的面積,所以的聯(lián)合分布密度為的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為所以X,Y分別服從區(qū)間上的均勻分布.7．設(shè)在上服從均勻分布,求：〔1的邊緣密度；〔2．解因區(qū)域D=的面積為,故的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1的邊緣密度為的邊緣密度為〔2設(shè)半圓形區(qū)域的面積為,則因,又區(qū)域D=的面積為,且〔X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布,故8．設(shè)～求.解顯然有,所以引進(jìn)極坐標(biāo)則習(xí)題3.41.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表所示：3690.40.80.150.050.300.120.350.03〔1求關(guān)于的邊緣分布律；〔2與是否相互獨(dú)立？解〔1由聯(lián)合分布律的邊緣分布為3690.40.80.150.050.300.120.350.030.80.20.20.420.38〔2由于故與不獨(dú)立.2.設(shè)已知的分布列分別為Y01PX01P且．試問是否獨(dú)立？解設(shè)〔X,Y的聯(lián)合分布列為YX01pi·01因?yàn)樗杂谑强傻脧亩吹谩瞂,Y的聯(lián)合分布列為YX01pi·01000因?yàn)?可見不獨(dú)立.3.設(shè)在圓域上服從均勻分布,問X和Y是否相互獨(dú)立？解的聯(lián)合密度為可見在在圓域上,,故不獨(dú)立.4.從〔0,1中任取兩個(gè)數(shù),求下列事件的概率〔1兩數(shù)之和小于1.2.〔2兩數(shù)之積小于0.25.解設(shè)從〔0,1中任取兩個(gè)數(shù)分別記為X,Y,則X和Y相互獨(dú)立,且都服從〔0,1上的均勻分布,由此〔X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為x+x+y=1.2xyoSA用A表示"兩數(shù)之和小于1.2"事件,則所求事件的概率,如右圖陰影部分面積SA與正方型面積SΩ之比,即xy=0.25xyxy=0.25xyoSB如右圖陰影部分面積SB與正方型面積SΩ之比,于是5．甲、乙相約9：10在車站見面．假設(shè)甲、乙到達(dá)車站的時(shí)間分別均勻分布在9：00～9：30及9：10～9：50之間,且兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立．求下列事件的概率：〔1甲后到；〔2先到的人等后到的人的時(shí)間不超過10分鐘．解設(shè)甲和乙到達(dá)車站的時(shí)間分別為隨機(jī)變量和,則由題知,和的邊緣密度分別為,又因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立,所以聯(lián)合概率密度為由的聯(lián)合密度函數(shù)可知二維隨機(jī)變量在矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布.〔1設(shè),則〔2設(shè),則習(xí)題3.51．設(shè)的聯(lián)合分布為YX01230120.0500.10.10.10.10.10.050.10.10.20求下列各隨機(jī)變量的概率分布：〔1；〔2；〔3解〔1的可能取值有0,1,2,3,4,5故的分布律為〔2的可能取值有0,1,2,3故的分布律為〔3的可能取值有0,1,2故的分布律為2．設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的幾何分布,即〔,k=1,2,…與獨(dú)立同分布,求的分布．解已知?jiǎng)t當(dāng)時(shí),有由于Y與X獨(dú)立,從而3．設(shè)與相互獨(dú)立且,.求的密度函數(shù)．解設(shè)Z=X＋Y的密度函數(shù)為,則由卷積公式顯然,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),注意到只有當(dāng)時(shí),才均取非0表達(dá)式,故于是,Z=X＋Y的密度函數(shù)為.4．設(shè)與相互獨(dú)立且都服從〔0,a上的均勻分布,求隨機(jī)變量的密度函數(shù).解由題意有,由于與相互獨(dú)立,故由卷積公式當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),欲使被積函數(shù)非零,必須有,從而,所以當(dāng)時(shí),欲使被積函數(shù)非零,必須有,從而,所以；當(dāng)時(shí),不可能同時(shí)滿足,所以.綜合起來,有.5．設(shè)為隨機(jī)變量,已知=,=〔1求；〔2求解〔1〔26．設(shè)與相互獨(dú)立,已知服從〔0,1上的均勻分布,服從指數(shù)分布e<3>.試求,的概率密度．解因即其概率密度及分布函數(shù)分別為,即其概率密度及分布函數(shù)分別為<1>的分布函數(shù)為故〔2的分布函數(shù)為故習(xí)題3.61．盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只．以X表示取到黑球的只數(shù),以表示取到紅球的只數(shù)．求隨機(jī)變量在條件下的條件分布．解條件分布的公式為代入習(xí)題3.2中第1題的數(shù)字,得依次為依次為依次為2．將一顆骰子連擲兩次,令為第一次擲出的點(diǎn)數(shù),為兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù),求隨機(jī)變量條件下的條件分布．解條件分布的公式為代入習(xí)題3.2中第2題的數(shù)字,得3．已知的聯(lián)合密度函數(shù),求兩個(gè)條件密度與．〔1〔2〔3〔4解〔1于是,有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)〔2于是,有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)〔3可以求得于是,有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)〔4先求兩個(gè)邊緣密度函數(shù)從而可得綜合習(xí)題三一、填空題1.將一枚硬幣連續(xù)擲兩次,以分別表示兩次所出現(xiàn)的正面次數(shù),則的聯(lián)合概率分布為〔.X01012.二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布為Y－112X00.10.050.210.20.10.0520.10.20則〔0.6.3.設(shè)隨機(jī)變量,令,則的聯(lián)合概率分布為〔01.014.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XY0101則〔,b＝〔.5.設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為,則〔8.6.設(shè)隨機(jī)變量都服從均勻分布,且與相互獨(dú)立,則隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)<>.7.設(shè)與相互獨(dú)立同分布,且的分布律為X01P則隨機(jī)變量的分布律為〔.8.維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布為Y01X00.10.310.20.120.10.2則隨機(jī)變量的概率分布律為〔.9.若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且,,則服從的分布是〔.10.設(shè)與相互獨(dú)立同分布,服從參數(shù)為的指數(shù)分布,即,則的概率密度函數(shù)為〔.二、選擇題1.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY0101則〔<c>.2.設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,則的聯(lián)合密度函數(shù)〔<b>.<a><b><c><d>3.若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為,則系數(shù)〔<b>.4.若二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,則<<d>>..5.與相互獨(dú)立且均在在區(qū)間〔0,3上服從均勻分布,則〔<b>.6.設(shè)與相互獨(dú)立,且在區(qū)間〔0,2上服從均勻分布,服從指數(shù)分布,則的聯(lián)合密度函數(shù)為〔<b>.<a><b><c><d>7*.設(shè)與相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為,則的分布函數(shù)為〔<c>.<a><b><c><d>8*.設(shè),,且與相互獨(dú)立,則〔<c>.9.下列命題不正確的是〔<a>.<a>兩個(gè)獨(dú)立的服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和仍服從指數(shù)分布；<b>兩個(gè)獨(dú)立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量之和仍服從正態(tài)分布；<c>二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布均為一維正態(tài)分布；<d>若在區(qū)域上服從均勻分布,則X與Y相互獨(dú)立.10*.若的聯(lián)合密度函數(shù)為,則條件密度〔<a>.<a><b><c><d>三、解答題1.某高校學(xué)生會(huì)共有8名成員,其中來自會(huì)計(jì)學(xué)院2名,來自金融學(xué)院和工商管理學(xué)院各3名,現(xiàn)從8名成員中隨機(jī)指定3名擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席和副主席,設(shè)分別為主席和副主席來自會(huì)計(jì)學(xué)院和金融學(xué)院的人數(shù)．求〔1的聯(lián)合分布；〔2邊緣分布．解<1>的聯(lián)合分布為〔2邊緣分布為．YX01230120002．設(shè)二連續(xù)型維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,試求的分布函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù),判斷隨機(jī)變量與的獨(dú)立性.解依題意在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,則其概率密度函數(shù)為其分布函數(shù)于是所得分布函數(shù)為X的邊緣概率密度函數(shù)為Y的邊緣概率密度函數(shù)為由于故與的獨(dú)立.3．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為〔1求常數(shù)；〔2求；〔3求和；〔4求；解<1>由聯(lián)合密度函數(shù)性質(zhì)知即得<2><3><4>4．設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為<1>求的邊緣密度；〔2與是否獨(dú)立？〔3落在區(qū)域的概率,其中為曲線與所圍成的區(qū)域.解〔1X的邊緣密度函數(shù)Y的邊緣密度函數(shù)；〔2由于,所以與不獨(dú)立.〔35．某電腦批發(fā)商經(jīng)營(yíng)臺(tái)式電腦和筆記本電腦．該商家每月收到的臺(tái)式電腦和筆記本電腦訂單的1周內(nèi)能及時(shí)發(fā)貨的比例分別為隨機(jī)變量和,其聯(lián)合密度函數(shù)為p<x,y>=〔1求某月內(nèi)臺(tái)式電腦和筆記本電腦訂單在1周內(nèi)能及時(shí)發(fā)貨的比例都超過75%的概率；〔2假設(shè)某月內(nèi)臺(tái)式電腦和筆記本電腦訂單數(shù)量相同,求全部訂單的75%以上在1周內(nèi)能及時(shí)發(fā)貨的概率；〔3隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立？〔4已知某月內(nèi)臺(tái)式電腦訂單在1周內(nèi)能及時(shí)發(fā)貨的比例為x〔0<x<1,試確定筆記本電腦能及時(shí)發(fā)貨的比例不少于50%的概率．當(dāng)x增大時(shí),此條件概率如何變化？解〔1〔2取x=0.2,y=0.8所以隨機(jī)變量與是不相互獨(dú)立.〔4當(dāng)0<x<1時(shí)令,說明當(dāng)x增大時(shí),此條件概率增大.6．某公司生產(chǎn)一種化工原料的月平均價(jià)格〔萬元/每公斤和月銷售量〔噸都是隨機(jī)變量,其聯(lián)合密度函數(shù)為求〔1公司某個(gè)月內(nèi)銷售此種產(chǎn)品的總收入超過1000萬元的概率；〔2月平均價(jià)格的密度函數(shù)；〔3月銷售量的條件密度函數(shù),并分別計(jì)算當(dāng)=0.15和=0.2時(shí)月銷售量超過4噸的概率,比較兩結(jié)果,說明其經(jīng)濟(jì)意義．解〔1〔2月平均價(jià)格的密度函數(shù)〔3當(dāng)時(shí),月銷售量的條件密度函數(shù)為分別將=0.15和=0.2代入上式得：通過以上計(jì)算可得：價(jià)格提高時(shí)售出同樣數(shù)量產(chǎn)品的概率降低．7．在區(qū)間〔-1,2上隨機(jī)選取兩點(diǎn),其坐標(biāo)分別為與．求兩坐標(biāo)之和大于1且兩坐標(biāo)之積小于1的概率．解由于與在區(qū)間〔-1,2上隨機(jī)選取點(diǎn),故與在區(qū)間〔-1,2上都服從均勻分布,且相互獨(dú)立,其聯(lián)合密度函數(shù)為所以8．設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為XY12312試問,為什么數(shù)值時(shí),X和Y才是相互獨(dú)立的？解易得X和Y的邊緣概率分布分布分別為,由概率分布的性質(zhì)有又由X和Y相互獨(dú)立,則有解得9*．設(shè)隨機(jī)變量,當(dāng)觀察到<0<x<1>時(shí),,求的概率密度.解因?yàn)?有同理,對(duì)于任給定的值x<0<x<1>,在的條件下,的條件概率密度因此,的聯(lián)合概率密度為于是,的概率密度10*.設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為其中為常數(shù).設(shè)隨機(jī)變量,求Z的概率分布和分布函數(shù)．解因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以的聯(lián)合概率密度函數(shù)為即Z的概率分布為Z的分布函數(shù)為習(xí)題4.11．設(shè)10個(gè)零件中有3個(gè)不合格．現(xiàn)任取一個(gè)使用,若取到不合格品,則丟棄重新抽取一個(gè),試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學(xué)期望為2．.某人有n把外形相似的鑰匙,其中只有1把能打開房門,但他不知道是哪一把,只好逐把試開．求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學(xué)期望為3．設(shè)5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中每次試驗(yàn)的成功率為0.9,若記失敗次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.解由題意,則的數(shù)學(xué)期望為4．設(shè)某地每年因交通事故死亡的人數(shù)服從泊松分布．據(jù)統(tǒng)計(jì),在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡兩人的概率的,求該地每年因交通事故死亡的平均人數(shù).解設(shè)該地每年因交通事故死亡的人數(shù)為,由題意服從泊松分布.因即于是的數(shù)學(xué)期望為所以地每年因交通事故死亡的平均人數(shù)為4人.5．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,求.解因X在區(qū)間上服從均勻分布,故的數(shù)學(xué)期望為于是6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為又知,求的值解由密度函數(shù)的性質(zhì)可得即又由,可得即求解可得.7．設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求數(shù)學(xué)期望解8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X-2-101P0.20.30.10.4求；〔2.解<1>其中則<29．假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若一周5個(gè)工作日里無故障,可獲利潤(rùn)10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？解設(shè)為一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù),由題意,；又設(shè)為一周的利潤(rùn)〔單位：萬元,則于是一周的期望利潤(rùn)為10．計(jì)算第1,2,3各題中隨機(jī)變量的方差.解〔1因的分布律為故于是<2>因的概率分布為可得的數(shù)學(xué)期望為,又于是〔3由題意,則的方差為11.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的方差.解故12.設(shè)某公共汽車站在5分鐘內(nèi)的等車人數(shù)服從泊松分布,且由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知,5分鐘內(nèi)的平均等車人數(shù)為6人,求.解由題設(shè)知,隨機(jī)變量的期望為,則泊松分布的參數(shù),于是的方差,故13.已知隨機(jī)變量X的概率密度為<<1>設(shè),求.<2>設(shè),求解由隨機(jī)變量的密度函數(shù)可知,服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則,則〔1〔2又故有14*.設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布,均具有概率密度令已知A與B相互獨(dú)立,且.試求：〔1a的值.〔2的數(shù)學(xué)期望.解由題意知故于是由及A與B相互獨(dú)立知解得<2>習(xí)題4.21.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為求.解2.設(shè)二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為試求.解3.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的概率密度分別為求.解由的密度函數(shù)可知,分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則,于是4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且,,求解由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知又由相互獨(dú)立可得于是有5將一顆均勻的骰子連擲10次,求所得點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望及方差.解設(shè)為第i次擲骰子所出的點(diǎn)數(shù),則10次擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),有其中故又因相互獨(dú)立,故其中于是6.設(shè)〔X,Y的概率密度函數(shù)為求cov<X,Y>.解由已知得,因此,7.設(shè)<X,Y>的聯(lián)合概率分布為XY-10100.10.20.110.20.30.1求解由<X,Y>的聯(lián)合概率分布可得及則可得故8.*設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量,且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布.試求隨機(jī)變量的協(xié)方差..解因相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則于是,的協(xié)方差為9.設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,相關(guān)系數(shù)為0.5.求.解由題設(shè)知?jiǎng)t習(xí)題４.３1．設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),若給定=1,2,實(shí)際計(jì)算并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立．解因X的概率函數(shù)為所以可見切比雪夫不等式成立.2．已知正常成人男性每升血液中的白細(xì)胞數(shù)平均是7.3ⅹ109,標(biāo)準(zhǔn)差是0.7ⅹ109．試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)每升血液中的白細(xì)胞數(shù)在5.2ⅹ109至9.4ⅹ109之間的概率的下界.解設(shè)每升血液中的白細(xì)胞數(shù)為隨機(jī)變量,由題設(shè)則由切比雪夫不等式3．將一顆骰子連續(xù)擲4次,點(diǎn)數(shù)總和記為,試估計(jì)．解利用習(xí)題4.2的5題計(jì)算結(jié)果,可求得則由切比雪夫不等式有4．設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望均為2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5,試用切貝雪夫不等式估計(jì)．證明則由切比雪夫不等式,有5．設(shè)事件Ａ發(fā)生的概率記為P,P未知,若試驗(yàn)1000次,用發(fā)生的頻率替代概率P,估計(jì)所產(chǎn)生的誤差小于10%的概率為多少？解設(shè)1000次試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù)為X,,.由于P未知,用切比雪夫不等式估計(jì)最后一步是由于p的二次函數(shù)p〔1-p,當(dāng)p=0.5時(shí)取最大值0.25.習(xí)題4.41.隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立同分布N〔,,當(dāng)n充分大時(shí),可否認(rèn)為近似服從正態(tài)分布N〔n,n,為什么？解可以,事實(shí)上,由于X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立同分布N〔,,當(dāng)n充分大時(shí),由定理4.10知,近似服從正態(tài)分布N〔n,n,且進(jìn)一步由定理3.8得,精確地服從正態(tài)分布N〔n,n.2．設(shè)隨機(jī)變量序列,X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立同分布,其概率密度i=1,2,…,問它們是否滿足中心極限定理,為什么？解不滿足.因?yàn)榭梢?Xi的數(shù)學(xué)期望不存在.因此不滿足中心極限定理.3．一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng),由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件所組成.在整個(gè)運(yùn)行期間,每個(gè)部件損壞的概率為0.1為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用,至少需有85個(gè)部件.求整個(gè)系統(tǒng)工作的概率..解設(shè)為100個(gè)部件中正常工作的部件數(shù),由題意,.根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有近似服從正態(tài)分布.于是,系統(tǒng)正常工作的概率為4．設(shè)有30個(gè)電子器件,它們的使用壽命〔單位：小時(shí)T1,T2,…,T30服從參數(shù)λ=0.1的指數(shù)分布.其使用情況使第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用,第二個(gè)損壞第三個(gè)立即使用等等.令T為30個(gè)器件使用的總時(shí)間,求T超過350小時(shí)的概率.解由已知條件可知記,由勒維—林德伯格中心極限定理知近似服從正態(tài)分布,則所求概率為5．抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí),如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè),則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問應(yīng)檢查多少產(chǎn)品才能使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9.解設(shè)檢查產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為,其中的次品個(gè)數(shù)為,則.由題意,要求,使由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理,近似服從正態(tài)分布,于是即查表得,所以故,即應(yīng)該檢查145個(gè)產(chǎn)品,可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9.6．某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)1000人的某種商品,設(shè)該商品在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件的概率為0.6,并假設(shè)這段時(shí)間內(nèi)各人購(gòu)買與否彼此無關(guān),問商店應(yīng)準(zhǔn)備多少這種商品才能以99.7%的概率保證該商品不脫銷？解設(shè)為1000人中需要商品的人數(shù),由題意,,由中心極限定理知,近似服從正態(tài)分布.設(shè)應(yīng)準(zhǔn)備件商品,則若想不脫銷,需滿足,于是有查表得,所以7*．某運(yùn)輸公司有500輛汽車參加保險(xiǎn),在一年內(nèi)汽車出事故的概率為0.006,參加保險(xiǎn)的汽車每年交保險(xiǎn)費(fèi)800元,若出事故保險(xiǎn)公司最多賠償50000元,試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算,保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000元概率.解設(shè)在一年內(nèi)發(fā)生事故的汽車數(shù)量為,則,由中心極限定理,近似服從正態(tài)分布,所求概率為.綜合練習(xí)四一、填空題1.若的分布函數(shù)為,則的數(shù)學(xué)期望〔.2.設(shè)隨機(jī)變量且,則〔1.3.設(shè)隨機(jī)變量,則〔3.4.設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布,且,則〔4.5.若隨機(jī)變量X的概率密度為,則〔2.6.設(shè)的密度函數(shù)為,則的方差＝〔.7.設(shè),令,則的方差＝〔.8.設(shè)〔X,Y～N,則〔9.設(shè)的協(xié)方差,且,則〔91.10.設(shè),,令,則〔10.二、選擇題1.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,且,則參數(shù)的值為〔<b>.2.已知隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為,則必有〔<b>.3.設(shè)X服從泊松分布,且,則〔<c>.4.設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,則〔<a>.5．對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y,若,則〔<b>.6.若二維隨機(jī)變量〔X,Y服從二維正態(tài)分布,則〔<b>.7.設(shè)為不為零的常數(shù),隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為,令,則的協(xié)方差為〔<d>.8.設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同服從參數(shù)為的指數(shù)分布.令,則〔<d>.9.設(shè),且與獨(dú)立,則由切比雪夫不等式有〔<c>.10.設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則下列結(jié)論正確的是〔<a>.其中.三、解答題1.從分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,…,6的6張卡片中任意取兩張,求余下的卡片中最大號(hào)碼X的數(shù)學(xué)期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學(xué)期望為2.設(shè)某型號(hào)的輪船橫向搖擺的隨機(jī)振幅X的密度函數(shù)為求〔1；〔2遇到大于其振幅均值的概率．解〔1〔2搖擺的隨機(jī)振幅X大于其振幅均值的概率3．某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料表明；這種原料的市場(chǎng)需求量X〔單位：噸服從<300,500>上的均勻分布．每售出1噸該原料,公司可獲利1.5〔千元；若積壓一噸,則公司損失0.5〔千克．問公司應(yīng)該組織多少貨源,可使平均收益最大？解設(shè)公司組織貨源t噸.則顯然應(yīng)該有又設(shè)Y為在t噸貨源的條件下的收益〔單位：千元,則收益額Y為需求量X的函數(shù),即當(dāng)時(shí),則此t噸貨源全部售出,共獲利1.5t.當(dāng)時(shí),則售出X噸〔獲利1.5X,且還有噸積壓〔獲利所以共獲利由此知以上是關(guān)于t的一元二次函數(shù),用求極值的方法得,當(dāng)噸時(shí),能使達(dá)到最大,即公司應(yīng)該組織450噸貨源.4.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為對(duì)獨(dú)立重復(fù)觀察4次,表示觀察值大于的次數(shù),求.解設(shè)A表示事件"表示觀察值大于",則由題意,服從二項(xiàng)分布,即,則有,于是5.證明函數(shù)在當(dāng)t=EX時(shí)取得最小值,且最小值為證明因?yàn)榭梢?當(dāng)即時(shí),取得最小值,且6.設(shè)<X,Y>的聯(lián)合概率分布為XY-101-11解由聯(lián)合分布的性質(zhì)有即〔1〔2通過上表求得X,Y的邊緣分布律見下表XY-101-11于是X與Y不相關(guān)的充要條件為由此得或解方程組得得故當(dāng)或時(shí)X與Y不相關(guān).〔3當(dāng)時(shí)可以驗(yàn)證,對(duì)任意的〔i,j,均有,故X與Y相互獨(dú)立.當(dāng)時(shí),由于,故X與Y不獨(dú)立.7...設(shè)二維隨機(jī)變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為求解又故8.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且分別具有下列概率密度：試求：解因?yàn)閄的概率密度為：故,即又故,即于是由期望與方差的性質(zhì)可得：9*.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,并有相同的分布令試求U與V的相關(guān)系數(shù).解因?yàn)閯t10*.某餐廳每天接待400名顧客,設(shè)每位顧客的消費(fèi)額〔元服從〔20,100上的均勻分布,且顧客消費(fèi)額是相互獨(dú)立的.試求：〔1該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額；〔2該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額在平均營(yíng)業(yè)額760元內(nèi)的概率.解設(shè)每天400位顧客中第i位顧客消費(fèi)額為Xi,則i=1,2,3…,400,.又顧客消費(fèi)額是相互獨(dú)立的,故該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額為〔1〔2設(shè)表示該餐廳每天的營(yíng)業(yè)額,由中心極限定理得查表得.11.某公司生產(chǎn)的電子元件合格率為99%.裝箱出售時(shí)：〔1若每箱中裝1000只,不合格品在2到6只之間的概率是多少？〔2若要以99.5%的概率保證每箱中合格品數(shù)不少于1000只,每箱至少應(yīng)多裝幾只這種電子元件？解〔1設(shè)X表示〔一箱1000只中的不合格品數(shù),則利用中心極限定理,不合格品數(shù)在2到6只之間的概率〔2設(shè)每箱多裝x只元件,,以Y表示一箱1000+x只元件中不合格品的只數(shù),則根據(jù)中心極限定理于是,,可求得故取習(xí)題解答習(xí)題5.11．設(shè)樣本值如下：15,20,32,26,37,18,19,43計(jì)算樣本均值、樣本方差、2階樣本矩及2階樣本中心矩．解由樣本均值的計(jì)算公式,有由樣本方差的計(jì)算公式,有由2階樣本矩的計(jì)算公式,有由2階樣本中心矩的計(jì)算公式,有2.設(shè)總體,是來自總體的樣本,求概率.解3.設(shè)總體X～P〔,是容量為n的樣本的均值,求和.解因總體X～P〔,故有,于是4.某保險(xiǎn)公司記錄的起火災(zāi)事故的損失數(shù)據(jù)如下〔單位：萬元：1.86,0.75,3.21,2.45,1.98,4.12.求該樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).解將樣本觀測(cè)值排序可得：則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為5．求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)0.01分位數(shù)和上側(cè)0.48分位數(shù).解由題知,～,求的上側(cè)分位數(shù).即求使?jié)M足得即取,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得上側(cè)0.01分位數(shù)為取,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得上側(cè)0.48分位數(shù)為習(xí)題5.21.設(shè)總體,是取自總體的樣本,是樣本均值,求．解因,且樣本容量,故,于是2.設(shè),求使其滿足解由,得,因?yàn)?所以查表可得3.設(shè)總體,是取自總體的樣本,求及.解由總體可知,且相互獨(dú)立,于是故有4.設(shè)總體X～N〔20,3,從中獨(dú)立地抽取容量分別為10和15的兩個(gè)樣本,求它們的樣本均值之差的絕對(duì)值大于0.3的概率．解設(shè)這兩個(gè)樣本分別為和,則對(duì)樣本均值有～～依定理～,所以<查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得>5.設(shè)X～t<12>,<1>求使得；〔2求使得解〔1由利用t分布的對(duì)稱性可得,查表可得〔2由得,又由t分布的對(duì)稱性可得于是6.設(shè),求使得.解由得,于是查表可得習(xí)題5.31．設(shè)總體X～N〔,4,〔X1,X2,…,X16為